Energie de Planck et cosmos, rien de va plus (pour moi)

[pachacamac]

Comme déjà dit juché sur vos épaules de savant j'avance à pas de géant.

Donc pourquoi ne pas essayer de comprendre vraiment l'équation de Friedmann Lemaître Walker



le membre de droite de l'équation ne me semble pas poser de problème.
A gauche, je reconnais maintenant le terme lié à la courbure par contre (la dérivée de a) /a me pose problème.

Je crois savoir que le facteur d'échelle et la densité sont des fonctions du temps.

a =f(t)
rho = f'(t)

donc faut t'il comprendre les "a " de l'équation comme des valeurs à l'instant t ?

Merci

note 1 : c'est pas trop une question d’étudiant avancé en astrophysique mais j'avoue que j'ai encore quelques grosses lacunes en ce domaine...


note 2 : à propos de l'extrait de thèse proposé par physeb2, ça me fait plaisir de voir que c'est celle de Sébastien Fromentaux. Celui -ci fût en 2015 l'un des formateurs le plus prolixe dans le FLOT/MOOC : Gravité! du Big-Bang aux trous noirs organisé par l'APC
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[yves95210]

donc faut t'il comprendre les "a " de l'équation comme des valeurs à l'instant t ?

Oui, bien sûr.

[pachacamac]

Oui, mais à l'instant t la valeur de a serait donc une constante et donc sa dérivée devrait être nulle...

[Deedee81]

Salut,

Oui, mais à l'instant t la valeur de a serait donc une constante et donc sa dérivée devrait être nulle...

a(t) a une valeur fixe pour t donné mais n'est pas constant (faut que t varie pour parler de constant ou pas constant) et d a(t) / dt n'est pas nul. Tu ne confonds pas 'constant dans l'espace et constant dans le temps' ???

[yves95210]

Mais ce n'est pas parce que la métrique a la même expression générale (FLRW) dans tous les domaines sphériques où elle est ainsi utilisée qu'il s'agit de la même métrique FLRW (avec k=-1, 0 ou 1), solution unique de l'équation d'Einstein pour un espace-temps spatialement homogène et isotrope, puisque les valeurs des paramètres a et k sont spécifiques à chacun des domaines sphériques concernés (et dépendent de leurs densités d'énergie, supposées différentes). Il ne s'agit donc pas d'un modèle de Friedmann-Lemaître (avec sa densité de matière uniforme) appliqué à tout l'univers, mais d'un assemblage de modèles de FL distincts, de courbure spatiale positive ou négative, plongés dans un univers moyen décrit par un modèle FL de courbure spatiale (a priori) nulle. Et dans chacun de ces modèles la valeur de k est bien -1, 0 ou 1.

On peut peut-être décrire cet assemblage par une équation "à la FLRW" avec une valeur variable (et non discrète) de k dépendant des coordonnées spatiales, mais ce n'est plus l'équation d'une métrique.

Je continue sur ce sujet.

En fait, il y a une (et peut-être d'autres) solution rigoureuse à ce problème, c'est la procédure de "moyennage" que Thomas Buchert décrit dans sa publication de 1999, et qui conduit à des équations effectives "à la Friedmann" pour l'évolution du facteur d'échelle, à ça près qu'y apparaît un terme supplémentaire (la "backreaction") qui dépend des invariants du tenseur d'expansion :

Dans ces équations l'expression représente la moyenne de la variable sur le domaine , et est son volume initial.
Dans l'équation (10c), est le taux d'expansion local (d'un volume comobile) et le taux de "shear" (cisaillement). Ces deux scalaires sont calculés à partir du tenseur d'expansion local.

Bref, ça ressemble aux équations de Friedmann, mais ça n'évolue pas forcément comme un modèle de Friedmann, même approximativement. Tout dépend de l'importance du phénomène de backreaction (et il y a débat entre théoriciens sur ce sujet).
En particulier, un univers quasiment "plat" et homogène à l'époque du CMB peut avoir évolué vers un univers possédant une courbure spatiale moyenne significativement non nulle - négative en l'occurrence puisque, au fil de la formation (par contraction d'une zone de sur-densité) et de l'évolution des grandes structures, les vides cosmiques représentent une fraction de plus en plus grande du volume de l'univers observable.

Selon certains théoriciens cela pourrait suffire à construire un modèle de cosmologie inhomogène avec constante cosmologique nulle permettant de reproduire les résultats de LambdaCDM (mais je n'ai vu jusqu'à présent que des "toy models"). Ou au moins ça pourrait expliquer l'écart entre la valeur de H₀ mesurée dans l'univers "local" (donc récent) et celle calculée à partir des observations du CMB.

Quant à la courbure spatiale moyenne à grande échelle de l'univers "récent" (qui serait évidemment un critère permettant de discriminer ces modèles de LambdaCDM), on ne dispose pas encore de méthodes assez précises pour la mesurer.
Peut-être que la mission Euclid permettra d'en savoir plus (si son lancement finit par avoir lieu). J'ai vu (dans des publications) qu'il est question par exemple d'une méthode basée sur la géométrie moyenne des vides cosmiques observés : si l'univers récent est plat, quand on fait cette moyenne (pondérée par le diamètre des vides) sur un nombre assez grand de vides cosmiques de même redshift, on doit obtenir une sphère; mais pas si la courbure spatiale est (significativement) non nulle. Sauf que là aussi on est contraint par la qualité des observations : ce n'est pas simple de définir rigoureusement les contours d'un vide cosmique, et on a besoin d'en identifier un assez grand nombre pour que leur géométrie moyenne soit sphérique (dans l'hypothèse d'une courbure spatiale moyenne nulle dans l'univers récent).

[yves95210]

Salut Deedee,

a(t) a une valeur fixe pour t donné mais n'est pas constant (faut que t varie pour parler de constant ou pas constant) et d a(t) / dt n'est pas nul. Tu ne confonds pas 'constant dans l'espace et constant dans le temps' ???

Les messages de pachacamac et les réponses qu'on lui a données auraient plutôt leur place dans l'ancienne discussion, dans la section "questions de base"... Qu'en penses-tu ?

[Deedee81]

Salut Deedee,
Les messages de pachacamac et les réponses qu'on lui a données auraient plutôt leur place dans l'ancienne discussion, dans la section "questions de base"... Qu'en penses-tu ?

Oui mais pour scinder.... gasp !!!!!

[yves95210]

Oui mais pour scinder.... gasp !!!!!

Laisse tomber, c'est pas grave...
Et pour changer le titre de ce fil, qui n'a plus rien à voir avec l'énergie de Planck ?

[yves95210]

@physeb : ça y est, j'ai compris d'où vient la confusion (et en fait on a raison tous les deux, et ce n'était peut-être pas la peine que je me lance dans ces digressions).

Cf. l'article wikipedia en anglais https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...;Walker_metric :



Ensuite c'est une question de goût ou d'habitude. Perso, j'ai appris la RG à l'aide du cours de Gourgoulhon, qui fait implicitement le choix de la deuxième convention :

La métrique (7.80) est appelée métrique de Robertson-Walker , ou encore métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Elle décrit les espaces-temps spatialement homogènes et isotropes les plus généraux. Notons qu’elle ne dépend que de la constante k ∈ {−1, 0, 1} et d’une fonction scalaire a(t).
Remarque : La coordonnée r est sans dimension et le facteur d’échelle a(t) possède la dimension d’une longueur. Dans le cas k = 0, on pourrait aussi choisir d’avoir r de la dimension d’une longueur (comme une coordonnée radiale usuelle) et a(t) sans dimension.

mais qui précise ensuite que la constante de courbure κ des hypersurfaces à t constant (qu'il a introduite précédemment) est reliée à k par l'équation κ = k/a(t)².

[pachacamac]

Bonjour,

Ceci est mon dernier message sur ce fils de discussion où je n'ai effectivement plus plus ma place vu que je ne comprend rien aux dernier messages entre experts.
Si j'ai d'autres questions j'ouvrirai un autre fils de discussion dans questions de bases et pédagogie.

Je voudrais juste faire quelques remarques sur le problème que pose le déplacement de ce fils dans la rubrique expert.

Les 50 premières discussions sont constituées des questions de base que j'ai posées et des réponses qui m'ont été apporté de manière suffisamment simple pour que je les comprenne. (Merci à tous ceux qui ont répondu avec mention spéciale à Gilgamesh)

Ensuite certain (qui se reconnaitrons ) ont commencé à parlé de problèmes rencontrés pendant leur doctorat ou de la métrique de Tolman-Bond. A mon avis ces discussions auraient du être placés sur nouveau fils placé ici à destination des astrophysiciens physiciens et étudiant avancés.


Avec le nouvel emplacement, les experts seront obligés de lire deux pages de questions et réponses élémentaires avant d'arriver sur ces derniers messages...Et ils ne pourront être averti du contenu des ces messages quelque soit le titre s'il est changé sauf si le nouveau titre est du genre la métrique de Tolman ou quelque chose d’équivalent mais il seront désappointés par tous les premiers messages.

Voilà j'ai tout dit et merci encore pour toutes les réponses apportées.

Ce message ne nécessite pas de réponse.

Bien cordialement
GC

[Deedee81]

Ce message ne nécessite pas de réponse.

Une quand même S'il reste des trucs, tu peux toujours ouvrir une discussion en pédagogie ou en forum libre.

[yves95210]

Je voudrais juste faire quelques remarques sur le problème que pose le déplacement de ce fils dans la rubrique expert.

Les 50 premières discussions sont constituées des questions de base que j'ai posées et des réponses qui m'ont été apporté de manière suffisamment simple pour que je les comprenne. (Merci à tous ceux qui ont répondu avec mention spéciale à Gilgamesh)

Ensuite certain (qui se reconnaitrons ) ont commencé à parlé de problèmes rencontrés pendant leur doctorat ou de la métrique de Tolman-Bond. A mon avis ces discussions auraient du être placés sur nouveau fils placé ici à destination des astrophysiciens physiciens et étudiant avancés.

Tu as raison. Mais ce matin je n'ai lu que le dernier message de physeb, et je n'ai pas réalisé que le fil avait été déplacé intégralement; je pensais qu'il avait été scindé comme cela se fait parfois (raison pour laquelle j'ai demandé à Deedee d'en changer le titre), et que le début de la discussion était toujours dans la section "questions de base".

Avec le nouvel emplacement, les experts seront obligés de lire deux pages de questions et réponses élémentaires avant d'arriver sur ces derniers messages...Et ils ne pourront être averti du contenu des ces messages quelque soit le titre s'il est changé sauf si le nouveau titre est du genre la métrique de Tolman ou quelque chose d’équivalent mais il seront désappointés par tous les premiers messages.

Ne t'inquiète pas, sur le forum Futura il n'y a pas tellement d'"experts" qui risquent de s'intéresser à cette discussion. Je ne suis moi-même qu'un autodidacte en RG (dont j'ai appris les bases tant bien que mal alors que mes études jusqu'au niveau bac+2 en physique dataient de 40 ans et que je n'avais pas fait de physique depuis... C'était d'ailleurs la raison de mon inscription sur le forum Futura où j'espérais trouver de l'aide) et je ne prétends surtout pas être un expert.

A part ça elle ne portait pas sur la métrique LTB (qui n'a été citée qu'en passant, comme exemple de solution pour un espace non homogène mais à symétrie sphérique, dans laquelle la densité et donc aussi la courbure varient en fonction de la coordonnée radiale), mais bien sur la métrique FLRW, et (les limites de) son utilisation pour modéliser notre univers, qui est loin d'être homogène à des échelles inférieures à quelques centaines de millions d'années-lumière. Et finalement cette sous-discussion n'était basée que sur un malentendu (deux façons équivalentes d'écrire la métrique FLRW).

[pachacamac]

@Deedee81 et les autres,

Je pense que la solution la plus simple pour éviter les pb cités plus haut serait de

1) Clôturer ce fils de discussion : motif genre les discussions maintenant ne correspondent plus à la question initiale
2) supprimer tous les messages qu parlent du déplacement de ce fils
3) le replacer en questions de base.

[Deedee81]

Non, on ne peut pas faire ça, le mieux serait de scinder mais.... pitié, ne me demande pas ça.

Le plus simple est d'ouvrir une nouvelle discussion à l'endroit approprié pour approfondir tel ou tel point... s'il y a lieu

[physeb2]

Bonjour,

@pachacamac, je te présente mes excuses pour avoir fait deeriver la discussion, on aurait dû en ouvrir une spécialisé dans la section avancée. C'est toujours le dangé avec les discussion qui continuent sur le long terme. Cependant on continuait de traiter de la signification du terme de courbure qui est dans l'équation centrale de la discussion. Ça me dérange pas qu'on ouvre cette discussion, en revanche je ne sais pas si c'est complètement nécessaire de supprimer les messages, ils sont peu nombreux et peuvent être ignorés, mais comme pas vraiment hors sujet ils peuvent aussi intéresser.

@Yves95210, je pense qu'on est plutôt d'accord (je me réfère en particulier a ton dernier message de réponse). Cependant je pense que c'est un thème très intéressant sur lesauels nous pourrions débattre et apprendre pas mal de chose se faisant. Serais-tu d'accord d'ouvrir une discussion basée sur ton dernier message traitant du sujet?

Cordialement,
Physeb

[yves95210]

@Deedee81 et les autres,

Je pense que la solution la plus simple pour éviter les pb cités plus haut serait de

1) Clôturer ce fils de discussion : motif genre les discussions maintenant ne correspondent plus à la question initiale
2) supprimer tous les messages qu parlent du déplacement de ce fils
3) le replacer en questions de base.

Clôturer : non. Plutôt scinder le fil (mais aie pitié de Deedee !)

Supprimer les messages qui parlent du déplacement : oui, une fois que le fil aura été éventuellement scindé ou déplacé.

Mais s'il est simplement replacé en questions de base il faudrait en supprimer tous les messages qui sortent du cadre de cette section, disons à partir du mien hier à 20h38 - pas parce qu'il n'était pas conforme aux limites de la section "questions de base" (au contraire...) mais parce qu'il a entraîné la réponse (légitime même si résultant d'un malentendu) de physeb à partir de laquelle la discussion a dérivé.

Or je ne suis pas d'accord pour supprimer ces messages, en tout cas pas avant que physeb y ait répondu...

Bref c'est insoluble...

[physeb2]

Bonjour Yeves95210,

je proposes de faire une nouvelle discussion dans la quelle je mettrait en quote les différentes questions que nous avons avec mes réponses. Ainsi on pourra s'en sortir en partie. Qu'en penses tu. En revanche, je suis d'accord qu'il ne faut pas supprimer les messages avant qu'on est généré la nouvelle discussion.
Je vais essayer de le faire rapidement.

[yves95210]

Un petit aparté pour conclure sur le sujet (j'ai vu entre temps le message de physeb proposant d'ouvrir une nouvelle discussion, mais je poste quand-même celui-ci ici car il est lié à mon message précédent (et pourra être supprimé en même temps si c'est la décision prise par la modération).

A mon avis, dans le cadre des questions de base il vaut mieux en rester à la convention utilisée généralement pour l'écriture de la métrique FLRW dans la plupart des cours d'introduction à la RG (en tout cas ceux que j'ai sous la main) - et dans le wiki francophone -, qui a l'avantage de faire directement le lien entre le facteur d'échelle et le rayon de courbure.
D'ailleurs dans "Gravitation" (qui n'est pas juste une petit intro à la RG...), MTW considèrent que la renormalisation k=K/|K| (qui permet de passer de K, paramètre de courbure constant, au paramètre k discret de valeur -1, 0 ou 1 et conduit à la relation K=k/a²) comme étant bénéfique, car elle supprime le côté arbitraire du choix de a (ou de a₀) :

it has been normalized so that its value here and now gives the curvature of a spacelike hypersurface of homogeneity here and now. Previously the factor a(t) was conceived as dimensionless. Now it has the dimension of a length. This length is called the "radius of the model universe" when the curvature is positive. Even when the curvature is negative one sometimes speaks of a(t) as a "radius". Only for zero curvature does the renormalization of a(t) still retains its former arbitrariness.

Mais ça reste une question de goût...

[yves95210]

je proposes de faire une nouvelle discussion dans la quelle je mettrait en quote les différentes questions que nous avons avec mes réponses. Ainsi on pourra s'en sortir en partie. Qu'en penses tu. En revanche, je suis d'accord qu'il ne faut pas supprimer les messages avant qu'on est généré la nouvelle discussion.
Je vais essayer de le faire rapidement.

Je suis d'accord.

[yves95210]

@Yves95210, je pense qu'on est plutôt d'accord (je me réfère en particulier a ton dernier message de réponse). Cependant je pense que c'est un thème très intéressant sur lesauels nous pourrions débattre et apprendre pas mal de chose se faisant. Serais-tu d'accord d'ouvrir une discussion basée sur ton dernier message traitant du sujet?

Désolé, je n'avais pas vu ton message (seulement le suivant). Bien sûr, ça m'intéresse aussi.

[physeb2]

J'ai ouvert une discussion ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post7010397

On pourra supprimer au moins ce message et les deux derniers de Yves95210 dans quelques heures pour nettoyer ce fil (désolé la modération....)

[pachacamac]

Bonjour,

Juste pour dire que j'ai trouvé la réponse à ma question sur la dérivée temporelle du facteur d’échelle



avec cette formule c'est clair.

Me reste plus qu'à trouver comment on calcul la dérivée seconde de a ...



bonne journée à toutes et à tous.

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H.jpgaa.jpg

[yves95210]

Salut,

Je n'avais pas compris que tu te posais encore cette question (après que Deedee t'ait répondu).
La formule H=(1/a)/(da/dt) est la définition de H et il me semble l'avoir déjà utilisée dans une discussion avec toi.
Une fois que tu as compris que a est une fonction du temps (mais pas de la coordonnée spatiale r, et a donc la même valeur dans tout l'espace à un instant t), si tu sais ce qu'est une dérivée (je pense que oui), je ne vois pas où est le problème...

Idem pour la dérivée seconde (une accélération - au sens large : elle peut être positive ou négative, dans le deuxième cas on parle plutôt de décélération).
L'équation (avec p, la pression, négligeable aujourd'hui) montre bien que quand la densité d'énergie de la matière domine on a affaire à une décélération, mais que comme cette densité diminue à mesure que le facteur d'échelle s'accroît, le terme en Lambda finit par devenir dominant et on a affaire à une accélération.

En fait je ne comprends pas bien la question que tu (te) poses. Pourrais-tu l'expliciter ?

[pachacamac]

Salut Yves95210, bonjour les autres,

Je n'avais pas compris que tu te posais encore cette question (après que Deedee t'ait répondu).

Deedee m'a répondu : que a était une fonction du temps ce que je savais déjà et "Tu ne confonds pas 'constant dans l'espace et constant dans le temps' ??? "



Ben non, j'imagine même pas comment a pourrait être variable dans l'espace, mais j'ai pas répondu à sa question et ça à clôt la discussion.

La formule H=(1/a)/(da/dt) est la définition de H et il me semble l'avoir déjà utilisée dans une discussion avec toi.

Oui, j'avais déjà vu cette définition de H plusieurs fois, mais quand je m'étais posé la question sur comment on obtient da/dt , j'ai pas pensé à cette formule.


Je sais ce qu'est une dérivée première où seconde, tant que c'est pas des dérivées partielles ça va. ( j'ai passé en 1977 un certificat C4 de biomathématiques dans le cadre d'une maitrise de biochimie/génétique )

Un petit mot sur la motivation de ma question : après un certain nombre de FLOT/MOOC sur l'astrophysique/cosmologie et de lecture d'un certain nombre d'excellents livres de vulgarisation, je pense avoir à peu près fait le tour de ces domaines, de manière vulgarisée, c'est à dire sans les équations ( bien que j'ai lu aussi un certain nombre de thèse ou d'articles sur arxiv mais en sautant allègrement par dessus les équations après les avoir regardées quand même).


Donc en voyant comment ici vous êtes à l'aise avec ses équations et leur écriture en Latex, je me suis dit que je pourrais essayer de comprendre un peu mieux, grâce à vous, quelques aspects mathématiques (et physique) sur les équations utilisées à commencer par la dérivée du facteur d’échelle.


Donc pour da/dt, j'avais pas pensé à H mais d'une certaine manière je connaissais la réponse vu qu'il suffisait pour cela de calculer le membre de droite de l’Équation ( qui me semble que je saurai calculer si je savais quelle valeur de rho et de a y mettre )

Idem pour la dérivée seconde elle est égale au membre de droite de l'équation (merci Friedmann )

Donc la question que je me (vous) posais était " existe t'il une expression de a = f(t) telle que si on la dérive on obtient le membre de droite de l'équation.

Après réflexion, je pense que non et ma question aurait plutôt du être : Comment Friedmann a t'il obtenu cette équation.?
Et en fait comme elle fait intervenir G K et consort, je pense maintenant qu'il a du partir de l'équation d'Einstein et faire des calcul compliqués avec les tenseurs et les équations différentielles qui en résultent pour aboutir à ces expressions des dérivées de a.

Si c'est la cas une confirmation serait bienvenue, mais pas la peine d'expliquer comment il y est arrivé vu que pour les calculs tensoriels j'ai que lorsqu’on arrive au calcul tensoriel je jette l'éponge.

[Deedee81]

Salut,

Oui, désolé, je n'avais pas compris ton problème

[yves95210]

Donc la question que je me (vous) posais était " existe t'il une expression de a = f(t) telle que si on la dérive on obtient le membre de droite de l'équation.

ça dépend. Avec une densité de matière (et éventuellement une courbure spatiale) et une constante cosmologique non nulles, on ne sait pas intégrer analytiquement cette équation. Quand on n'a qu'un de ces ingrédients, on tombe sur des solutions analytiques assez simples :

dans un espace-temps de courbure spatiale nulle et sans constante cosmo, a = a₀(t/t₀)^2/3 ;
dans un espace-temps vide de matière et sans courbure spatiale mais avec constante cosmo, a = a₀e^H₀t, avec H₀ = c (Λ/3)^1/2 ;
dans un espace-temps de courbure spatiale négative, vide de matière (ou dans lequel la densité de matière sera devenue négligeable) et sans constante cosmo, a = ct .

Cela donne déjà une idée de l'évolution du facteur d'échelle :

- durant les premiers milliards d'années de l'univers, quand il était dominé par la matière et que (selon les observations du CMB) la courbure spatiale moyenne était nulle ou négligeable, on avait donc a = a₀(t/t₀)^2/3 quel que soit le "bon" modèle d'espace-temps.
- dans l'hypothèse aujourd'hui privilégiée où le modèle de Friedmann-Lemaître avec courbure spatiale nulle et une "vraie" constante cosmologique positive représente bien notre univers, dans quelques (dizaines de) milliards d'années la densité de matière sera négligeable et le facteur d'échelle se rapprochera asymptotiquement de a = a₀e^H₀t.
- dans l'hypothèse d'un espace-temps de courbure négative, où la densité de matière devient progressivement négligeable devant la "densité de" courbure spatiale (hypothèse qui semblait crédible avant que d'une part on ait découvert l'accélération de l'expansion, d'autre part on ait des observations suffisamment précises du CMB), le facteur d'échelle se rapprochera asymptotiquement de a = ct .

Après réflexion, je pense que non et ma question aurait plutôt du être : Comment Friedmann a t'il obtenu cette équation.?
Et en fait comme elle fait intervenir G K et consort, je pense maintenant qu'il a du partir de l'équation d'Einstein et faire des calcul compliqués avec les tenseurs et les équations différentielles qui en résultent pour aboutir à ces expressions des dérivées de a..

Ben oui, probablement... Mais si tu as l'occasion de jeter un œil (par exemple) aux Principes de la cosmologie de James Rich, tu verras qu'on peut arriver à l'équation de Friedmann (au moins quand on n'est en présence que de matière) à partir de la gravitation newtonienne et d'un raisonnement pas trop rigoureux mais assez convaincant.

[yves95210]

Petit ajout :

Avec une densité de matière (et éventuellement une courbure spatiale) et une constante cosmologique non nulles, on ne sait pas intégrer analytiquement cette équation.

Mais ce n'est pas compliqué de le faire numériquement, même dans un simple tableur, Excel ou autre.

[Lansberg]

Bonjour,

Après réflexion, je pense que non et ma question aurait plutôt du être : Comment Friedmann a t'il obtenu cette équation.?
Et en fait comme elle fait intervenir G K et consort, je pense maintenant qu'il a du partir de l'équation d'Einstein et faire des calcul compliqués avec les tenseurs et les équations différentielles qui en résultent pour aboutir à ces expressions des dérivées de a.

Une première approche "newtonienne" ! : https://fr.wikibooks.org/wiki/Cosmol...n_newtoniennes

[yves95210]

Une première approche "newtonienne" ! : https://fr.wikibooks.org/wiki/Cosmol...n_newtoniennes

Ton lien ne marche apparemment pas. Voici le lien correct : https://fr.wikibooks.org/wiki/Cosmol...n_newtoniennes
(très bien, d'ailleurs, merci)

[pachacamac]

Merci beaucoup!