Comment linéariser une courbe ?

[kail05]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour comprendre un cours sur la modélisation macroscopique de l'évolution d'un système (même après avoir demandé à ma prof de me réexpliquer je n'ai toujours pas compris ce point-là).

Dans mon cours il y a marqué que pour vérifier si une réaction est d'ordre 1 il faut "linéariser" la courbe représentant la concentration du réactif limitant en fonction du temps et vérifier si elle correspond à la droite de ln[R]t = ln[R]0 - kxt

Je comprends pourquoi lorsque l'on linéarise on doit obtenir ln[R]t = ln[R]0 - kxt puisque ln et la fonction reciproque de e mais je ne comprends pas comment on est sensé linéariser juste à partir d'une courbe... Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ??
-----

[Baal149]

Bonjour,

Modéliser l'évolution d'un système signifie qu'on va mettre en équation une ou des variables du système afin de pouvoir prédire le futur du système. Ça permet également de prédire l'évolution de tout système similaire.
Par exemple dans ton cas, tu cherches à représenter l'évolution de la concentration d'un réaction en fonction du temps. Ça te permet de savoir quel fraction de ton réactif il te reste à chaque minute de ta réaction ou encore de savoir quand tu auras transformer la plupart de ton réactif.

Typiquement, pour les réactions d'ordre 1 (ordre 1 signifiant que la vitesse de réaction dépend de la concentration d'un seul réactif), la concentration en réactif peut être modélisé par l'équation suivante :
[R]_t = R₀ exp(-kt)

Souvent on cherche à déterminer les différentes constantes de notre système afin de pouvoir appliquer numériquement le modèle de la réaction. Ça signifie que si tu cherches à représenter [R] en fonction du temps t, tu obtiendras une courbe (exponentielle inverse) ; ce qui est peu pratique pour déterminer ses constantes.
En revanche on peut linéariser la courbe afin de déterminer ses constantes. Comment ? en représentant non par [R]_t mais ln( [R]_t ) en fonction de t.
Ainsi l'équation [R]_t = R₀ exp(-kt) deviens ln[R]_t = ln[R]₀ - kt. En représentant ln( [R]_t ) = f(t) tu devrait obtenir une droite (si ta réaction est bien d'ordre 1) dont la pente est -k est l'ordonnée à l'origine est ln(R₀).

[kail05]

Merci beaucoup, votre réponse m'a permis de comprendre à quoi servait de linéariser ! Mais je ne comprends toujours comment linéariser la courbe sans en connaître la formule pour vérifier qu'elle respecte bien la loi exponentielle...

[gts2]

Mais je ne comprends toujours pas comment linéariser la courbe sans en connaître la formule pour vérifier qu'elle respecte bien la loi exponentielle...

SI on sait que R(t)= R0 exp(-kt), et qu'on veut une droite, il faut se débarrasser de l'exponentielle et donc utiliser la fonction réciproque comme vous l'avez vous-même indiqué. On fait alors le calcul de @Baal149 dans le message précédent ce qui conduit bien à votre expression.

Le "sans en connaître la formule" est de trop, vous connaissez la "formule" de la courbe : R(t)= R0 exp(-kt).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Opabinia]

Bonjour,

Linéariser une courbe d'équation y = F(x), c'est mettre en œuvre un changement de variables approprié,
par exemple X = G(x, y) et Y = H(x, y)
tel qu'il intervienne une relation affine entre ces deux dernières Y = A.X + B .
L'alignement des points expérimentaux de coordonnées (p, q) manifeste la linéarité de la relation, et constitue une vérification de l'équation initiale y = F(x) : on a alors réalisé son anamorphose.

Une série de mesures (t_j, c_j) concernant une réaction soupçonnée de suivre

une loi de vitesse du premier (dc/dt) = -k.c et son intégrale c = c°.Exp(-kt)

vérifie la relation Ln(c°/c) = kt , ce qui se traduit par l'alignement des points de coordonnées

X = t, Y = Ln(c°/c)

sur une droite d'équation Y = k.X passant par l'origine et dont la pente correspond à la constante de vitesse.

Une vérification directe mais approchée de la loi de vitesse consiste à tirer de deux valeurs consécutives

la vitesse moyenne v = (c_j+1 - c_j)/(t_j+1 - t_j)
et la concentration moyenne c = (c_j+1 + c_j)/2 ;

ces valeurs moyennes s'accordent encore avec la loi de vitesse: v ~ k.c, d'où l'alignement approximatif des points de coordonnées (c, v) sur une droite passant pas l'origine.
Ce procédé ne conduit pas à une valeur précise de la constante de vitesse, mais permet une bonne détermination de l'ordre de la réaction (si bien sûr celui-ci existe): la relation plus générale v = k.cⁿ implique

v ~ k.cⁿ , et donc Lv(v) ~ Ln(k) + n.Ln(c) ,

d'où l'alignement des points de coordonnées (X = Ln(c) , Y = Ln(v) sur une droite d'équation Y = Ln(k) + n.X ,
de pente égale à (n) - généralement entier ou semi-entier: le résultat est alors dépourvu d'ambiguïté.

[HarleyApril]

Merci beaucoup, votre réponse m'a permis de comprendre à quoi servait de linéariser ! Mais je ne comprends toujours comment linéariser la courbe sans en connaître la formule pour vérifier qu'elle respecte bien la loi exponentielle...

Bonjour

C'est justement parce qu'on veut vérifier que ça doit suivre cette loi qu'on met les points avec des données transformées pour voir si ça fait bien une droite.
Donc : oui, on fait l'hypothèse qu'on connait l'équation et on s'en sert.

Cordialement

[kail05]

Merci beaucoup ! Je crois que j'ai bien compris

[kail05]

Merci de votre réponse, elle est un peu technique et difficile à comprendre pour moi mais je pense que j'ai un peu mieux saisi la méthode