Décorticage du papier de Václav Vavryčuk

[Deedee81]

Si p ne dépend ni de t, ni de r, alors c'est une constante

Dans ma remarque plus haut, je n'avais pas pensé à ce cas.

Merci pour les explications détaillées plus haut
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[Trictrac]

Si on a :


et qu'on pose A= 1 ,on obtient :


et on peut faire un changement de variable :


mais si on pose A = B, on obtient :
et donc

ne représente pas la même chose dans les deux écritures, d'un côté il vaut et de l'autre il vaut
Par contre représente nécessairement toujours la même chose.

[mach3]

Tu peux la refaire en plus clair, parce que là je comprends A=B=1 donc l'expression de la métrique est


c'est un univers statique et signifient alors tous la même chose (temps cosmologique). Il faut a minima que B soit une fonction d'une coordonnée temporelle pour que ce ne soit pas un univers statique.

m@ch3

[Trictrac]

Tu peux la refaire en plus clair, parce que là je comprends A=B=1 donc l'expression de la métrique est


c'est un univers statique et signifient alors tous la même chose (temps cosmologique). Il faut a minima que B soit une fonction d'une coordonnée temporelle pour que ce ne soit pas un univers statique.

m@ch3

Dans le premier cas A =1 et dans le second A = B. Donc ce n'est pas A=B=1 mais A=1 ou A=B, deux cas distincts.

Cas 1 :


Cas 2 :

[mach3]

Dans le cas 1 T est le temps cosmologique mesuré par les horloges comobiles.
Dans le cas 2 T n'est pas le temps cosmologique, notons le t, qui se retrouve en intégrant (tu as dû oublier les carrés sur tes A et tes B, donc j'adapte)

Et alors? Si B est le même (dans le sens une fonction précise de T dans le 1er cas, genre a+bT+cT², la même fonction avec t à la place de T dans le second, a+bt+ct²), alors ça décrit le même espace-temps, dans l'un on a appelé T l'étiquette qui correspond au temps cosmologique, dans l'autre on appelé T une autre étiquette, à partir de laquelle on peut tout de même calculer le temps cosmologique t.

Peu importe comment on étiquette les choses et le nom qu'on donne aux étiquettes, l'expression de la métrique va nous donner la correspondance avec les mesures physiques, il suffit de l'exploiter.

m@ch3

[Trictrac]

Dans le cas 1 T est le temps cosmologique mesuré par les horloges comobiles.
Dans le cas 2 T n'est pas le temps cosmologique, notons le t, qui se retrouve en intégrant (tu as dû oublier les carrés sur tes A et tes B, donc j'adapte)

Et alors? Si B est le même (dans le sens une fonction précise de T dans le 1er cas, genre a+bT+cT², la même fonction avec t à la place de T dans le second, a+bt+ct²), alors ça décrit le même espace-temps, dans l'un on a appelé T l'étiquette qui correspond au temps cosmologique, dans l'autre on appelé T une autre étiquette, à partir de laquelle on peut tout de même calculer le temps cosmologique t.

Peu importe comment on étiquette les choses et le nom qu'on donne aux étiquettes, l'expression de la métrique va nous donner la correspondance avec les mesures physiques, il suffit de l'exploiter.

m@ch3

donc le du cas 1 est différent du du cas 2.

[Trictrac]

de même

Si je fais un changement de variable tel que
je peux écrire l'expression sous la forme , mais

de même si je pose
je peux écrire la métrique sous la forme

mais <>

[mach3]

Je ne peux pas faire mieux que de répéter ça en espérant que tu comprennes...

Peu importe comment on étiquette les choses et le nom qu'on donne aux étiquettes, l'expression de la métrique va nous donner la correspondance avec les mesures physiques, il suffit de l'exploiter.

m@ch3

[Trictrac]

Je ne peux pas faire mieux que de répéter ça en espérant que tu comprennes...

Moi je peux faire mieux pour espérer que tu comprennes :

Ce que tu dis c'est comme si tu prends la métrique



Tu poses

Tu écris la métrique sous la forme

et tu dis que c'est la métrique de Minkowski.

[mach3]

Moi je peux faire mieux pour espérer que tu comprennes :

Ce que tu dis c'est comme si tu prends la métrique



Tu poses -

Tu écris la métrique sous la forme

et tu dis que c'est la métrique de Minkowski.

c'est vraiment une expression de la métrique de Minkowski et tu le démontre toi même en plus.

m@ch3

[Trictrac]

c'est vraiment une expression de la métrique de Minkowski et tu le démontre toi même en plus.

m@ch3

Et pourquoi ne pas dire que c'est la métrique de Minkowski qui est une expression de ?
Pour être plus clair j'aurais dû inverser l'utilisation des et

Tu crois vraiment que si je pose cette métrique


il s'agit de la métrique de Minkowski ?
L'élément de longueur est différent au contraire, le temps propre évolue différemment.

[mach3]

Tu crois vraiment que si je pose cette métrique


il s'agit de la métrique de Minkowski ?

Ce n'est pas que je le crois, ce sont des maths, c'est exact ou c'est faux, il n'y a pas de croyance. C'est une expression de la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées particulier.

c'est l'expression de la métrique de Minkowski dans les coordonnées de Lorentz t,x,y,z telles que la vitesse de la lumière vaut 1. Toute expression d'une métrique qui peut être ramenée à cette expression (aux lettres t,x,y,z près, c'est à dire que -dm²+dn²+dp²+dq² est acceptée, c'est une expression dans les coordonnées de Lorentz m,n,p,q, ce ne sont que des symboles) par changement de variable est une expression de la métrique de Minkowski.
est une autre expression de la métrique de Minkowski

, qu'on voit d'ailleurs souvent, en est une autre (cette fois le système de Lorentz est tel que la vitesse de la lumière vaut c)

même :

, avec h et k deux constantes arbitraires, r, le rayon aréal, une fonction de , la coordonnée radiale, uniquement et r' la dérivée de r par rapport à

est une expression de la métrique de Minkowski.

Cette expression là : est une expression de la métrique de Minkowski (en 1+1 dimensions, mais quand même), il suffit de poser et l'expression devient . est le temps propre d'une horloge de coordonnée r constante. t n'est pas le temps propre d'une horloge de coordonnée r constante par contre, seulement une fonction de ce temps propre.

L'expression de la métrique s'adapte aux coordonnées qu'on choisit. C'est la représentation d'un objet géométrique, un champ de tenseur. Quand on choisit un système de coordonnée, viennent automatiquement 4 champs de vecteurs, et les relations entre le champ de tenseur métrique et ces champs de vecteurs construisent les coefficients présents dans l'expression de la métrique. Si on change de coordonnées, on change les champs de vecteur et donc les coefficients de l'expression, mais le champ de tenseur métrique lui, il bouge pas.

L'élément de longueur est différent au contraire, le temps propre évolue différemment.

Géométriquement ça change que dalle. Si j'ai deux évènements séparés d'un intervalle de valeur 2, et qui sont à la même coordonnée r, le temps propre qui s'écoule entre les deux, c'est 2 (ça c'est physique, c'est la mesure d'une horloge entre deux évènements définis, ça ne dépend pas du système de coordonnées). La variation de la coordonnée T entre les deux évènements est de 2, et la variation de t entre les deux évènements est de . Si je veux utiliser T pour étiqueter les évènements et calculer les durées ou longueurs propres correctes entre eux, j'utilise l'expression de la métrique . Si je veux utiliser t, j'utilise l'expression de la métrique

Dans ce cas aussi simple (rédéfinition du temps à une constante multiplicative près), cela se résume simplement à un changement d'unité de temps.

Quand on écrit , on se place implicitement dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière est vaut 1, par exemple des années et des années-lumières, ou des secondes et des secondes-lumières

Quand on écrit , avec c=300 000km/s, les unités utilisées sont la seconde et le mètre.

m@ch3

[Trictrac]

Quand on écrit , on se place implicitement dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière est vaut 1, par exemple des années et des années-lumières, ou des secondes et des secondes-lumières

Quand on écrit , avec c=300 000km/s, les unités utilisées sont la seconde et le mètre.

J'écris et je me place dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière vaut 1.
Ce n'est pas la métrique de Minkowski.

[Trictrac]

Donc je reprends, nous avons deux cas :
Cas 1 :


Cas 2 :


Dans les deux cas le système d'unités est tel que la vitesse de la lumière = 1.
Donc ces deux expressions ne sont pas la même métrique.

[mach3]

J'écris et je me place dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière vaut 1.
Ce n'est pas la métrique de Minkowski.

Prenons un système d'unité tel que la vitesse de la lumière vaut 1, donc des secondes et des secondes-lumière par exemple. L'expression de la métrique dans le système de coordonnées t,x,y,z choisi indique que la vitesse coordonnées de la lumière est de . En effet, si on fait le carré scalaire sur un vecteur de genre nul, tangent à une ligne d'univers d'un rayon lumineux, de genre nul et de paramètre , on a, d'après l'expression donnée pour la métrique :





Si on s'intéresse au mouvement de la lumière suivant x par exemple (mais c'est pareil suivant y ou z ici), donc une ligne d'univers à y et z constants, on a
Si x est en seconde-lumière, et que la vitesse de la lumière vaut 1 seconde-lumière/seconde, alors t n'est pas en secondes.
Si t est en seconde, et que la vitesse de la lumière vaut 1 seconde-lumière/seconde, alors x n'est pas en seconde-lumière.

Si t était en seconde et x en seconde-lumière, on aurait .
Si x est bien en seconde-lumière, alors t n'est pas le temps propre en seconde des horloges de x,y,z constant, contrairement à .

C'est bien la métrique de Minkowski, elle n'est juste pas écrite avec la bonne coordonnée temporelle.

m@ch3

[mach3]

Donc je reprends, nous avons deux cas :
Cas 1 :


Cas 2 :


Dans les deux cas le système d'unités est tel que la vitesse de la lumière = 1.
Donc ces deux expressions ne sont pas la même métrique.

Admettons que dans le cas 1, T soit en années. Plaçons nous au voisinage de r=0 (sinon on aura une distorsion à cause 1-kr², parce que r est plus un rayon aréal qu'une distance à un centre) et à une époque où B=1. Alors à cette époque là, près de r=0, une variation de r est approximativement en année-lumière. A une époque où B=0.5, la même variation de r est approximativement une demi année-lumière et à une époque où B=2, la même variation de r est approximativement 2 années-lumières.

Plaçons nous dans le cas 2, T ne peut pas être en unité de temps usuelle, c'est à dire une unité de temps qui ne varie pas dans le temps (à moins que B ne soit constant, c'est à dire que l'univers est statique), c'est à dire que T ne peut pas se mesurer en seconde avec une horloge, parce qu'en fonction du moment où on le fait, une même variation de T ne dure pas le même nombre de seconde mesurée par une horloge. C'est et son intégrale qui ont une unité de temps qui ne varie pas dans le temps, parce que pour une comobile, on a et que comme s est la mesure du temps propre, le temps mesuré par une horloge, il a une unité usuelle, comme des secondes ou des années.

C'est la même métrique, on a juste donner le nom T à une chose différente.

m@ch3

[Trictrac]

Prenons un système d'unité tel que la vitesse de la lumière vaut 1, donc des secondes et des secondes-lumière par exemple. L'expression de la métrique dans le système de coordonnées t,x,y,z choisi indique que la vitesse coordonnées de la lumière est de . En effet, si on fait le carré scalaire sur un vecteur de genre nul, tangent à une ligne d'univers d'un rayon lumineux, de genre nul et de paramètre , on a, d'après l'expression donnée pour la métrique :

Cette formule est celle de la métrique de Minkowski, tu supposes donc la métrique pour la démontrer, c'est un raisonnement circulaire.
Moi je parle d'une métrique qui s'écrit et où



La longueur d'un carré (1,1) est

[Trictrac]

Plaçons nous dans le cas 2, T ne peut pas être en unité de temps usuelle, c'est à dire une unité de temps qui ne varie pas dans le temps, c'est à dire que T ne peut pas se mesurer en seconde avec une horloge, parce qu'en fonction du moment où on le fait, une même variation de T ne dure pas le même nombre de seconde mesurée par une horloge.

C'est justement le point. La vitesse découlement du temps dépend du moment où on la mesure. Elle était plus lente dans le passé quand l'univers était plus dense. C'est précisément le sujet de l'article.

[mach3]

Cette formule est celle de la métrique de Minkowski, tu supposes donc la métrique pour la démontrer, c'est un raisonnement circulaire.

Je suis juste parti de l'expression que tu as donnée, , je l'ai utilisé pour calculer le carré scalaire d'un vecteur tangent à une ligne d'univers de paramètre



Cela donne



J'ai ensuite imposé que ce vecteur était de genre nul, pour que la ligne d'univers soit celle d'un rayon lumineux. C'est à dire g(u,u)=0. Donc :



Il s'en suit ce que j'ai écrit. Je n'utilise que des propriétés générales de base de RG, et ne fait aucunement l'hypothèse que c'est la métrique de Minkowski (bien que ça se démontre facilement et immédiatement).

m@ch3

[mach3]

C'est justement le point. La vitesse découlement du temps dépend du moment où on la mesure. Elle était plus lente dans le passé quand l'univers était plus dense. C'est précisément le sujet de l'article.

La dérivée du temps cosmologique par rapport au temps conforme change au cours du temps. C'est mathématiquement indéniable. Mais les horloges comobiles mesurent le temps cosmologique d'après la RG, pas le temps conforme (celui-là, aucune horloge ne le mesure). Donc ça n'a pas vraiment d'intérêt de penser en terme de changement du d'écoulement du temps cosmologique par rapport à l'écoulement du temps conforme.

L'auteur de l'article pose l'hypothèse que les horloges comobiles mesurent le temps conforme. Il utilise une solution de la RG, mais fait une hypothèse spéculative incompatible avec la RG. Ce qu'il fait n'est pas de la RG, mais une théorie spéculative très loin de faire consensus, publiée par un géologue dans un journal douteux qui n'a eu aucun scrupule à faire reviewer l'article par un collègue mathématicien de l'auteur... Bref, on est très très tangent par rapport à la charte. On peut discuter sur l'article (et encore vu la bouillie je n'en ai plus trop envie), mais clairement pas le prendre pour argent comptant.

m@ch3

[yves95210]

Autre chose : quand on écrit la métrique FLRW

ce n'est que lorsque qu'on peut arbitrairement donner à la dimension d'une longueur en prenant sans dimension.

Dans le cas général où peut ne pas être nul, est nécessairement sans dimension et a la dimension d'une longueur. Lorsque , est le rayon de courbure de l'hypersurface spatiale (une hypersphère) définie par t=constant. Idem lorsque (si ce n'est que c'est un peu abusif de parler de rayon de courbure pour une géométrie hyperbolique).
Par conséquent, le "temps conforme" tel que est sans dimension, c'est juste une "étiquette", comme .

En fait il ne faut pas voir en autre chose que le paramètre sans dimension qui permet d'exprimer les solutions de l'équation de Friedmann et de tracer (numériquement) l'évolution du facteur d'échelle, du taux d'expansion et des paramètres de densité, en fonction du temps cosmique.

Avec , et en notant et les valeurs du paramètre de densité de matière et du taux d'expansion à l'instant , ces solutions sont :



(je vous laisse faire le calcul pour k=0, c'est élémentaire)

Si on peut y voir un sens physique, c'est uniquement celui-là.

[Trictrac]

J'ai ensuite imposé que ce vecteur était de genre nul, pour que la ligne d'univers soit celle d'un rayon lumineux. C'est à dire g(u,u)=0. Donc :



Il s'en suit ce que j'ai écrit. Je n'utilise que des propriétés générales de base de RG, et ne fait aucunement l'hypothèse que c'est la métrique de Minkowski (bien que ça se démontre facilement et immédiatement).

Mais tu supposes que ce vecteur est de genre nul, donc tu supposes la métrique de Minkowski, moi je parle d'un cas général mathématique qui n'a rien à voir avec la physique ni la métrique de Minkowski. Je ne fais que des maths.

[Trictrac]

La dérivée du temps cosmologique par rapport au temps conforme change au cours du temps. C'est mathématiquement indéniable. Mais les horloges comobiles mesurent le temps cosmologique d'après la RG, pas le temps conforme (celui-là, aucune horloge ne le mesure). Donc ça n'a pas vraiment d'intérêt de penser en terme de changement du d'écoulement du temps cosmologique par rapport à l'écoulement du temps conforme.

L'auteur de l'article pose l'hypothèse que les horloges comobiles mesurent le temps conforme. Il utilise une solution de la RG, mais fait une hypothèse spéculative incompatible avec la RG. Ce qu'il fait n'est pas de la RG, mais une théorie spéculative très loin de faire consensus, publiée par un géologue dans un journal douteux qui n'a eu aucun scrupule à faire reviewer l'article par un collègue mathématicien de l'auteur... Bref, on est très très tangent par rapport à la charte. On peut discuter sur l'article (et encore vu la bouillie je n'en ai plus trop envie), mais clairement pas le prendre pour argent comptant.

m@ch3

Je ne comprends pas pourquoi ce serait incompatible avec la RG. C'est incompatible avec la métrique FLRW standard, mais pourquoi avec la RG ?
L'auteur au contraire semble dire que son approche est davantage en accord avec la RG.

Mais les horloges comobiles mesurent le temps cosmologique d'après la RG

Ca ce n'est pas de la RG mais une hypothèse cosmologique.

Ce qu'il fait n'est pas de la RG, mais une théorie spéculative très loin de faire consensus,

Sa théorie rend compte des observations, pas la métrique FLRW standard sans paramètres d'ajustements.

[yves95210]

Mais tu supposes que ce vecteur est de genre nul, donc tu supposes la métrique de Minkowski, moi je parle d'un cas général mathématique qui n'a rien à voir avec la physique ni la métrique de Minkowski. Je ne fais que des maths.

Ce que mach3 a écrit n'est rien d'autre que l'équation de la ligne d'univers d'un photon (ou d'une particule de masse nulle), ou géodésique lumière, que ce soit en RR ou en RG.

[mach3]

Mais tu supposes que ce vecteur est de genre nul, donc tu supposes la métrique de Minkowski, moi je parle d'un cas général mathématique qui n'a rien à voir avec la physique ni la métrique de Minkowski. Je ne fais que des maths.

Les lignes d'univers de la lumière sont de genre nul, c'est à dire que le carré scalaire des vecteurs qui leurs sont tangent vaut 0.
C'est un propriété essentielle dans un variété Lorentzienne, il y a les vecteurs de carré positif, ceux de carré négatif et ceux de carré nul. Un des postulat de base de la RG (qui est signature dépendant, mais disons que c'est -+++) est que les lignes d'univers d'objets de masse non nul ont un vecteur tangent de carré négatif, les lignes d'univers d'objet sans masse (donc la lumière) ont un vecteur tangent de carré nul et les lignes qui ne sont pas des lignes d'univers (si c'en était ce serait celle de particules supraluminiques) ont un vecteur tangent de carré positif. On parle de genre temps, genre nul et genre espace pour ces vecteurs, respectivement.
On ne peut pas faire "que des maths", il y a un volet physique derrière, avec une correspondance. Surtout là, on parle d'unités et de lumière, donc on est en plein dans la physique au contraire.

m@ch3

[Trictrac]

Les lignes d'univers de la lumière sont de genre nul, c'est à dire que le carré scalaire des vecteurs qui leurs sont tangent vaut 0.
C'est un propriété essentielle dans un variété Lorentzienne, il y a les vecteurs de carré positif, ceux de carré négatif et ceux de carré nul. Un des postulat de base de la RG (qui est signature dépendant, mais disons que c'est -+++) est que les lignes d'univers d'objets de masse non nul ont un vecteur tangent de carré négatif, les lignes d'univers d'objet sans masse (donc la lumière) ont un vecteur tangent de carré nul et les lignes qui ne sont pas des lignes d'univers (si c'en était ce serait celle de particules supraluminiques) ont un vecteur tangent de carré positif. On parle de genre temps, genre nul et genre espace pour ces vecteurs, respectivement.
On ne peut pas faire "que des maths", il y a un volet physique derrière, avec une correspondance. Surtout là, on parle d'unités et de lumière, donc on est en plein dans la physique au contraire.

m@ch3

J'ai posé une métrique et j'ai dit qu'elle était différente de celle de Minkowski, quand j'ai dit ça je me suis forcément détaché de toute réalité physique.
Tu prends une grille d'espace-temps avec des unités identiques dt = dx.
La lumière suit une ligne telle que dt/dx = 1.
Mais à aucun moment je n'ai supposé que la ligne d'univers de la lumière était de genre nul, sinon j'aurais de facto supposé que j'étais dans l'espace de Minkowski.
Bref, laissons ça, parce que finalement on est allé au-delà et ça n'a plus d'intérêt.

[yves95210]

Mais à aucun moment je n'ai supposé que la ligne d'univers de la lumière était de genre nul, sinon j'aurais de facto supposé que j'étais dans l'espace de Minkowski.

La ligne d'univers d'un photon (ou de n'importe-quelle particule de masse nulle) est une géodésique de longueur nulle dans n'importe-quel espace-temps, en RG comme en RR.

Bref, laissons ça, parce que finalement on est allé au-delà et ça n'a plus d'intérêt.

C'est sans-doute la seule chose intéressante (et pas fausse) que tu aies écrite depuis le début de cette discussion. Je trouve mach3 extrêmement patient (comme d'habitude). Si j'étais modérateur, je le serais beaucoup moins.

[mach3]

Je ne comprends pas pourquoi ce serait incompatible avec la RG. C'est incompatible avec la métrique FLRW standard, mais pourquoi avec la RG ?

On va la refaire une dernière fois. Plus détaillé.

On prend une ligne d'univers quelconque, de paramètre dans une variété lorentzienne quelconque de métrique .

Les vecteurs tangents à la ligne d'univers sont , il y en a un en chaque évènement de la ligne, ils sont chacun la dérivée par rapport au paramètre lambda d'une fonction non spécifiée.

Le carré scalaire d'un vecteur tangent, , donne l'opposé du carré d'une durée, parce qu'il est de genre temps. Mais ce n'est pas une durée dans la variété, car le vecteur n'appartient pas à la variété, mais à son tangent. Cependant, h fois la durée qui s'écoule quand on parcourt la ligne d'univers en question entre et tend vers la durée correspondant au vecteur si h tend vers 0.
Pour connaitre la durée propre, celle physiquement mesuré par une horloge dont c'est la ligne d'univers entre deux évènements de cette ligne, il faut donc intégrer entre les deux valeurs de lambda correspondante. Notons que dans le cas d'une ligne de genre nul, est constamment nul, le résultat de l'intégration est nul : il n'y a pas de durée propre à mesurer sur une telle ligne.

C'est ce que dit la RG. Strictement. Indiscutablement. C'est dans tout les bons manuels. Ne pas respecter cette règle, c'est juste faire autre chose que de la RG. Et attention on a le droit de faire autre chose, mais alors on ne prétend pas faire de la RG.

Pour exemplifier par un calcul, il faut couvrir (la région d'intérêt de) notre variété quelconque avec 4 champs scalaires quelconques mais indépendants , c'est un système de coordonnées. Il vont définir des opérateurs de dérivée partielle (les vecteurs tangents le long des lignes où un seul des 4 champ scalaire varie) et on pourra écrire les vecteurs comme combinaison linéaire de ceux-ci.

(on somme sur l'indice mu allant de 0 à 3)

On pourra aussi calculer les coefficient de la métrique g en l'appliquant à tous les couples de ces opérateurs :



Tout ceci permet d'écrire :



expression qui permet de faire des calculs explicites (sans poser de système de coordonnées, il est quasiment impossible de faire le calcul). Pour connaitre la durée propre physiquement mesurée sur un morceau de ligne d'univers, il faut donc intégrer :



Mais grâce à notre système de coordonnées, cette ligne d'univers n'est plus seulement balisée par lambda, mais aussi par le quadruplet (avec mu allant de 0 à 3), ce qui permet même d'écrire directement :



qu'il suffit d'intégrer.

Supposons qu'on ait choisi notre système de coordonnée de façon à que seul varie le long de la ligne d'univers (permettant potentiellement d'identifier à lambda au moins sur la ligne). On a le droit, on choisit ce qu'on veut comme système de coordonnée, et ça ne peut pas changer le résultat du calcul car les changements sur les composantes des vecteurs sont exactement compensés par les changement dans les coefficient de la métrique. Alors ce qu'il faut intégrer pour connaitre la durée propre se réduit à :



On voit que la variation de le long de la ligne est directement lié à la durée propre, via la racine carré du coefficient g00. Si par choix approprié du système de coordonnées, on a , alors la variation de le long de la ligne d'univers donne directement le temps propre physiquement écoulé.

C'est pour ça qu'en particulier le t dans , ou , ou tout autre expression où le coefficient devant dt^1 est -1, est le temps que mesure une horloge dont les coordonnées spatiales sont fixes.

m@ch3

[Trictrac]

La ligne d'univers d'un photon (ou de n'importe-quelle particule de masse nulle) est une géodésique de longueur nulle dans n'importe-quel espace-temps, en RG comme en RR.

Ce n'est vrai que par construction de la métrique de Minkowski. Pour que la ligne d'univers d'un photon soit une géodésique de longueur nulle il faut construire une métrique qui le dit. On peut construire une métrique sur l'espace-temps qui ne dit pas ça, la différence sera que l'élément de longueur ne sera pas le temps propre. Et puis après ?
On peut très bien utiliser la métrique euclidienne si on veut, dans ce cas la géodésique du photon obéit à la relation t² + x² = 2t² = 2x²

[yves95210]

Ce n'est vrai que par construction de la métrique de Minkowski. Pour que la ligne d'univers d'un photon soit une géodésique de longueur nulle il faut construire une métrique qui le dit. On peut construire une métrique sur l'espace-temps qui ne dit pas ça, la différence sera que l'élément de longueur ne sera pas le temps propre. Et puis après ?

Et puis après, ça ne sera plus de la relativité générale. A toi de bâtir une nouvelle théorie de la gravitation, à partir de laquelle il faudra être capable de reproduire, via les modèles appropriés aux différentes situations physiques, l'ensemble des prédictions de la RG que les observations ont permis de confirmer; et de faire de nouvelles prédictions, réfutables expérimentalement, qui permettront éventuellement de distinguer ta théorie de la RG.

Bon courage, et à dans quelques dizaines d'années (si je suis encore vivant)...