Quelle est la nature du continu

[invité576543]

Utile dans ce contexte signifiant que l'on a connaissance de l'impact de la perte d'information par rapport à l'objectif de la modélisation. Si pas d'impact alors il n'y à pas d'intérêt d'utiliser un modèle discret plutôt que continue si ce dernier nous est plus commode.

C'est le contraire, non ? (Tu n'as pas inversé discret et continu dans la dernière phrase ?)

À part cela, nous sommes bien d'accord, il y a un critère subjectif, lié aux applications du modèle.
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[invite6754323456711]

C'est le contraire, non ? (Tu n'as pas inversé discret et continu dans la dernière phrase ?)

Oui effectivement.

Patrick

[invite6754323456711]

À part cela, nous sommes bien d'accord, il y a un critère subjectif, lié aux applications du modèle.

J'ai du m'absenter et je n'avais fini de répondre.

C'est ce qui me semble aussi et que je cherche à montrer de manière non subjective (inter-subjective ou objective si cela est possible) au travers de ce fil. L'auteur du texte fourni au message #1 semble qu'en à lui tenir une position ou le modèle discret serait isomorphe de manière canonique à la nature. Une sorte d'absolu comme l'espace-temps en RR contrairement à l'espace et au temps pris séparément qui dépendent du point de vue de l'observateur.

Patrick

[invité576543]

L'auteur du texte fourni au message #1 semble qu'en à lui tenir une position ou le modèle discret serait isomorphe de manière canonique à la nature.

Poincaré

Ok, j'avais compris, c'est de l'auteur du site dont tu donnes un lien dans le message #1, dont il est question

(Poincaré n'est vraiment pas un exemple de confusion entre modèle et ce qui est modélisé, bien au contraire. Marrant d'ailleurs que l'auteur du site y fasse référence, cela me paraît une erreur de casting !)

[invite0e4ceef6]

Bonjour,

Pour ouvrir le débat je propose ce texte dont l'auteur défend la thèse ou la nature est intrinsèquement discontinue. La continuité ne serait utilisé car facilement calculable.

Extrait d'une citation de Poincaré prise dans le texte :



Quel sont vos arguments scientifiques en accord ou désaccord avec le texte ?

Patrick
Si il est possible de corriger le titre : " Quel est la nature du continu"
Merci d'avance

simple, il ne faut pas confondre ce que nous percevons de la matière "positive" nous-même donc, et l'état physique dans lequel cette matière est plongée, et que nous ne pouvons percevoir que par le truchement d'effet du a la matière + sur cet environnement physique espace-temps.

le discontinue semble une réalité tangible de la matière positive, mais que l'esapce-temps lui soit discontinu, pourquoi pas, mais ce n'est toutefois pas ainsi qu'Einstein la mis en forme et avec nombreux succès qu'on lui connais.

donc il me semble qu'il ne faut pas confondre ces deux type de structuration celle "granulaire" et "fissible" et la chose qui englobe le tout (pour ne pas avoir à la nommée) qui a un état électromagnétique neutre, et qui semble bien être aussi parfaite que continue.

(je tente le trait sur un plan plus philosophique, que physique ) il vas s'en dire que le vide est vide(pas de gourrance )

[invite7863222222222]

Bonsoir,

Mais en quoi cela pourrait entraîner l'inférence que modéliser que avec des modèles discrets (i.e., refuser le concept du continu) soit la "bonne" approche ?

Pour pouvoir répondre à cette question, il faudrait pouvoir donner les qualités de ce qu'est une "bonne" approche. Personnellement, je ne vois aucune objectivité là dedans, mais je n'exclus pas que quelque chose m'échappe peut-être. Je dirais comme cela que chacun à sa propre idée d'une "bonne" approche mais qu'elle peut coincider éventuellement avec celle d'autres, ce que n'est que quand elle coincide justement que la discussion et la question font sens.

[invité576543]

Pour pouvoir répondre à cette question, il faudrait pouvoir donner les qualités de ce qu'est une "bonne" approche.

Je voulais dire par là quelque chose comme "modèle représentant fidèlement la réalité en soi", ou équivalent.

Ce qui est pour moi sans aucune possibilité d'objectivité, puisque je pense qu'on ne peut pas connaître la réalité en soi.

(Les double-quote autour de "bonne" indiquaient que j'utilisais un concept douteux, y compris pour moi-même.)

[doul11]

bonsoir,

Ce qui est pour moi sans aucune possibilité d'objectivité, puisque je pense qu'on ne peut pas connaître la réalité en soi.

au mieux les théories ne représentent qu'une partie de la réalité, seule la théorie du tout (si elle existe et si elle est accessible a l'humain) peut représenter la réalité ?

sinon pour revenir sur la notion de continu/discret : au niveau quantique les échanges d'énergies ce font par paquet, donc discret, mais la valeur de ces paquet est continue, on est dans un système discret ou continu ?

[invite7863222222222]

je pense qu'on ne peut pas connaître la réalité en soi.

Je pense aussi que la réalité en soi est effectivement inconnaissable mais je ne considère pas comme automatique que nous nous en rapprochons plus selon que nous adoptions telle ou telle approches que nous saurions susceptibles d'exprimer. De manière générale, je dirais que deux approches peuvent être trop éloigner de la réalité en soi pour être de même nature (par rapport à la réalité en soi) et par là pour pouvoir être comparée afin de déterminer quelle est la plus proche.

Ensuite sur la question continu, discret, il faudrait définir ce que l'on entend par continu ou discret. Par continu, on fait surement allusion à IR mais peut on par exemple restreindre la question à l'utilisation de l'infini qui permet de construire IR, ou pas ?

[invite6754323456711]

Ensuite sur la question continu, discret, il faudrait définir ce que l'on entend par continu ou discret.

Un cadre mathématique de définition de continuum et d'espace discret

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique
http://fr.wikiversity.org/wiki/Topol...ce_topologique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuum

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un contexte général pour traiter des notions de limite, de continuité, dans le cadre d'un continuum ou d'un espace discret, voire fini. Dans ce contexte, les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel ces notions sont définies.

Continuum : Un continuum est un ensemble d'éléments tels que l'on peut passer de l'un à l'autre de façon continue.

Espace discret : Tout ensemble E peut être muni de la topologie discrète : T = P(E). Dans ce cas, toutes les parties de E sont ouvertes : on dit que E est discret. Cela correspond intuitivement au cas où tous les points de E sont isolés et indépendants les uns des autres.

Patrick

[Médiat]

Un continuum est un ensemble d'éléments tels que l'on peut passer de l'un à l'autre de façon continue.

Bel exemple de définition qui n'en est pas une !

D'ailleurs sur votre lien il n'y a pas d'entrée "mathématique" pour continuum.

[invite6754323456711]

D'ailleurs sur votre lien il n'y a pas d'entrée "mathématique" pour continuum.

Je n'ai pas mieux. Si vous avez un lien qui puisse être compréhensible par un grand nombre je suis preneur.

Il y a déjà une définition dans le domaine physique http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace-temps qui est en rapport avec une recherche de formalisation de concept physique visant à décrire les propriétés de la nature.

Patrick

[Médiat]

Si vous avez un lien qui puisse être compréhensible par un grand nombre je suis preneur.

Il faudrait déjà choisir dans quel domaine vous voulez vous inscrire, la définition de "Espace discret" est purement mathématique.

Je ne connais pas de définition mathématique "officielle" d'espace continu, et plusieurs définitions plus ou moins imparfaites peuvent venir à l'esprit. Espace topologique connexe n'est certainement pas la plus mauvaise, mais cela inclut la topologie grossière, ce qui n'est peut-être pas souhaitable.

[invite6754323456711]

Il faudrait déjà choisir dans quel domaine vous voulez vous inscrire, la définition de "Espace discret" est purement mathématique.

Le langage le mieux approprié pour parler de propriété de la nature telle que par exemple la discontinuité quantique ou de continuum tel que l'espace-temps.

Pour Continuum le site anglais donne la définition : In the mathematical field of point-set topology, a continuum is any nonempty compact connected metric space (or less frequently, a compact connected Hausdorff space).


Le problème est que l'espace-temps de Minkowski n'est pas un espace métrique. C'est à dire que le tenseur métrique g ne donne pas à l'espace affine une structure d'espace métrique au sens mathématique du terme.


Patrick

[invité576543]

Je ne connais pas de définition mathématique "officielle" d'espace continu, et plusieurs définitions plus ou moins imparfaites peuvent venir à l'esprit. Espace topologique connexe n'est certainement pas la plus mauvaise, mais cela inclut la topologie grossière, ce qui n'est peut-être pas souhaitable.

Il me semble qu'il faut de toutes manières ajouter "séparé" (disons au minimum Hausdorff, mais pour les besoins de la physique on peut contraindre à "normal", les topologies rencontrées étant métriques).

Cela vire la topologie grossière pour tout espace autre que singleton.

Par ailleurs, je n'ai pas d'exemple d'espace topologique séparé (Hausdorff) et connexe pour des cardinaux strictement entre 1 et le cardinal de R, et si cela existe cela m'intéresse !

[invité576543]

Pour Continuum le site anglais donne la définition : In the mathematical field of point-set topology, a continuum is any nonempty compact connected metric space (or less frequently, a compact connected Hausdorff space).

Pourquoi "compact" ??? (À la rigueur je comprendrais "localement compact", mais compact exclut R...)

Le problème est que l'espace-temps de Minkowski n'est pas un espace métrique.

Il est métrisable, et cela suffit du point de vue topologique. La définition anglaise est mauvaise sur ce point là, ils auraient dû écrire métrisable au lieu de métrique.

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(Dans mes réflexions personnelles, je ne prends pas "métrisable" ni métrique, parce que cela me semble totalement illogique de définir la notion de continuum en incluant une propriété ("métrisable") dont la définition demande R comme a priori, c'est-à-dire un continuum

Mes réflexions arrive à définir un continuum 1D comme "hausdorff, connexe et déconnecté par la suppression d'un point quelconque" ; je ne suis pas assez calé en maths pour être sûr que ça marche parfaitement, mais pour le moment je ne trouve pas de loup. [Note : cela ne limite pas à R, la longue ligne répond aussi à ces critères.])

[Médiat]

Il me semble qu'il faut de toutes manières ajouter "séparé" (disons au minimum Hausdorff, mais pour les besoins de la physique on peut contraindre à "normal", les topologies rencontrées étant métriques).

Je pensais que séparé = Hausdorff, d'ailleurs votre dernière phrase confirme ce point.

En tout état de cause la séparation me semble effectivement nécessaire.

Par contre, je ne vois pas pourquoi la définition anglaise donnée par ù100fil impose "compact".

[EDIT]La prochaine fois je lirais les interventions entre le moment où j'ai fait "répondre" et celui où j'ai fait "envoyer" . j'ai eu la même opposition à l'utilisation de IR dans la définition, ce pourquoi j'ai préféré connexe à connexe par arc.

[invité576543]

mais je ne considère pas comme automatique que nous nous en rapprochons plus selon que nous adoptions telle ou telle approches que nous saurions susceptibles d'exprimer.

Moi non plus, et j'essaye en général de formuler mes textes sans qu'ils puissent être interprétés comme cela.

mais peut on par exemple restreindre la question à l'utilisation de l'infini qui permet de construire IR, ou pas ?

Selon mon opinion, oui, je l'ai déjà indiqué. Du moins en précisant "infini en acte", "infini actuel" en lieu et place de "infini".

[invité576543]

Je pensais que séparé = Hausdorff, d'ailleurs votre dernière phrase confirme ce point.

Par défaut en français quand on dit "séparé", c'est Hausdorff (T2), à ce que j'en comprends. En anglais, ils disent "Hausdorff" directement (pas de mot ambigu genre "separated" ).

Car il y au moins une dizaines d'axiomes de séparation différents (avec des "numéros", genre T2 ou T2 1/2 , croissant avec la contrainte ). Le cas "normal" (T4+) est respecté par les espaces métrisables (dont la topologie peut être la même que celle dérivée d'une métrique).

[invite6754323456711]

Pourquoi "compact" ??? (À la rigueur je comprendrais "localement compact", mais compact exclut R...)

Peut être pour ceci

Patrick

[Médiat]

Peut être pour ceci

Je ne vois pas ce que cela explique, cet article est la traduction de la version anglaise, il est donc naturel d'y retrouver la définition anglaise ...

La condition de compacité exclut IR comme l'a fait remarqué Michel (mmy), mais cela exclut aussi ]0, 1[.

Je comprends que l'on puisse avoir envie d'avoir tous les points d'accumulation, mais je ne comprends pas pourquoi cette envie entre dans le cadre de la notion "d'espace continu".

[invite6754323456711]

Peut être pour ceci

Il y a aussi la droite réelle achevée qui est compacte non ?

L’espace topologique est isomorphe à [−1, 1] en tant qu’espace ordonné et en tant qu’espace topologique ; en particulier, il est compact et métrisable, et tout sous-ensemble non vide de admet une bonne inférieure et une borne supérieure.

Patrick

[invite7863222222222]

Selon mon opinion, oui, je l'ai déjà indiqué. Du moins en précisant "infini en acte", "infini actuel" en lieu et place de "infini".

Même si je ne l'ai pas précisé c'est bien l'infini en acte auquel je faisais allusion.
Si je posais la question, c'est parcequ'il me semble que le continu est une notion qui a besoin de l'infini en acte mais qui ne s'y réduit pas.
Ce point étant pour moi confus, cela bloque un avis clair sur la question.

[invité576543]

Il y a aussi la droite réelle achevée qui est compacte non ?

Ben oui, c'est le compactifié par deux points (par S0)!

Il y a deux compactifiés de R, [0,1] et le cercle.

Perso, je trouve bizarre de différencier en topologie [0,1] et "la droite réelle achevée", mais bon, trop de vocabulaire ne nuit pas

Par contre, je trouve que l'idée plus générale de "compactifié" est plus intéressant (parce ce que générale).

Par exemple tout espace topologique Hausdorff peut être compactifié par un point. Compactifier N ou de Q par un point est un exercice amusant !

Moins anecdotique, le compactifié par un point de (d'un espace homéomorphe à) Rⁿ est (un espace homéomorphe à) la sphère Sn, (un espace homéomorphe à) Rⁿ est compactifiable par l'ajout d'un (espace homéomorphe à) Sn-1, et cela donne (un espace homéomorphe à) la boule fermée de Rⁿ.

La cas de "la droite réelle achevée" n'est qu'un cas particulier de cette dernière propriété, plus générale...

[Note : j'ai ajouté les "espace homéomorphe à" pour faire sentir pourquoi il est souvent laissé implicite... ]

[invité576543]

Si je posais la question, c'est parce qu'il me semble que le continu est une notion qui a besoin de l'infini en acte mais qui ne s'y réduit pas.

D'accord là-dessus.

Une fois l'infini en acte admis (=, à mon humble avis, à inclure l'axiome de l'infini), les axiomes de la théorie des ensembles permettent de construire un "continu linéaire", par exemple, mais c'est bien une construction.

Ceci dit, le continu m'apparaît comme l'application pratique de loin la plus courante de l'infini en acte, à côté d'applications plus pédagogiques qu'autre chose comme le Grand Hôtel de Hilbert ...

Amha, les paradoxes classiques du continu comme Zénon s'analysent bien comme des "paradoxes" de l'infini en acte.

Ainsi, si le continu ne se réduit pas à l'infini en acte, la plupart, si ce n'est tous, des "troubles" qu'il engendre proviennent de l'infini en acte. Mais ce n'est qu'une opinion.

[invite6754323456711]

Je comprends que l'on puisse avoir envie d'avoir tous les points d'accumulation, mais je ne comprends pas pourquoi cette envie entre dans le cadre de la notion "d'espace continu".

Prenons alors un exemple concret. La courbe d'univers ce voulant représenter la succession d'évènement (un point de l'espace-temps de Minkowski) d'un observateur quelconque.

Nous appelons espace-temps de Minkowski, le quadruplet :

- Espace affine de dimension 4 sur R, d'espace vectoriel associé E (isomorphe à R⁴). L'espace affine est appelé espace-temps.

- g une forme bilinéaire sur E, symétrique, non dégénérée et de signature (-, +,+,+).

- I⁺ est l'une des deux nappes du cône isotrope de g, appelée nappe du futur;

- est une forme quadrilineaire sur E, antisymétrique et donnant +/- 1 lorsque appliquée à une quelconque base orthonormale de g. appelée tenseur de Levi-Civita associé à la métrique g.

Les particule sont décrite par des point matériel. Ainsi une particule "à un instant donné" est représenté par un point de l'espace-temps et les "positions successives" de cette particule desineront une ligne (courbe de dimension 1) dans l'espace affine.

Une particule est donc définit par sa totalité spatio-temporelle, à savoir la ligne de l'espace affine.

Une particule massive, est représenté par une courbe L de classe C² par morceaux de l'espace-temps de Minkowski, telle que tout vecteur tangent v à cette courbe soit du genre temps (g (v,v) < 0).


Si on restreint g à la partie genre temps l'interprétation physique de g consiste à dire que les "longueurs" (norme vecteur infinitésimal joignant deux évènements infiniment voisin sur la ligne d'univers) correspondent au temps écoulé le long de la ligne d'univers considérée (l'extension de cette définition du temps propre à deux évènements non infiniment proche d'une ligne d'univers se fait en intégrant entre les deux évènement).


Dans ce cadre comment se formalise dans le vocabulaire de la topologie générale dans un premier temps la notion de continuum d'espace-temps et de ligne d'univers qui permet de définir le temps propre ?

Patrick

[invité576543]

Je comprends que l'on puisse avoir envie d'avoir tous les points d'accumulation, mais je ne comprends pas pourquoi cette envie entre dans le cadre de la notion "d'espace continu".

C'est d'autant plus bizarre que cela du coup exclurait de "continuum" les ouverts connexes d'un continuum, autrement dit cela limite à la propriété à une propriété globale, alors qu'intuitivement paraît plutôt locale (au sens où on s'attendrait qu'une partie connexe d'un "continuum" soit un continuum).

Ceci dit, cela ne vient que d'une source, et pas nécessairement parmi les plus fiables...

L'interprétation par une confusion entre "compact" et "localement compact" ne me semble pas à exclure.

[invite7863222222222]

Ainsi, si le continu ne se réduit pas à l'infini en acte, la plupart, si ce n'est tous, des "troubles" qu'il engendre proviennent de l'infini en acte. Mais ce n'est qu'une opinion.

Je ne vois pas de quels "troubles" vous voulez parler. Le trouble provoqué par les paradoxes se dissipent me semble-t-il avec un effort de reflexion, certes pas facile mais pas insurmontable.

[invité576543]

Dans ce cadre comment se formalise dans le vocabulaire de la topologie générale dans un premier temps la notion de continuum d'espace-temps et de ligne d'univers qui permet de définir le temps propre ?

A-Continuum

R⁴ est Hausdorff, métrisable, connexe, localement compact (et bien plus). Si on rejette "compact" dans les définitions proposées, c'est un continuum pour toutes les définitions.

(On se fiche à ce stade de la pseudo-métrique, en fait de toute autre structure que topologique.)

B- Ligne d'Univers

Tu l'as défini. Autre manière : plongement différentiel de R dans R⁴ et dont le vecteur tangent a en tout point une pseudo-norme <0

(Il me semble que cela est définissable avec une structure un peu plus faible que la pseudo-métrique, à savoir la structure conforme, i.e., avec une pseudo-métrique définie à un facteur multiplicatif strictement positif près, ce qui n'est plus l'espace-temps de Minkowski (et on perd la structure affine il me semble))

C- Ligne d'Univers avec temps propre

Plongement différentiel de R dans R⁴ et dont le vecteur tangent a en tout point une pseudo-norme égale à 1, et tel que l'ordre de R soit dans le même sens que I+

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Bémol : la définition en B inclut des lignes d'Univers "qui ne vont pas à l'infini", i.e., incluse dans un compact de R⁴. On peut voir cela comme création et destruction.

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Est-ce une réponse possible à ton interrogation ?

[invité576543]

PS : Il me semble qu'on peut aussi présenter une ligne d'univers avec temps propre comme un plongement isométrique de R de genre temps, ce qui éclaire un peu plus l'idée.