La forme de L'Univers

[invite5f67e63a]

Pour une géométrie à courbure constante il n'y a que 3 possibilités. Le espaces euclidiens sont ceux à courbure nulle.

Ok, plat donc

Le plupart des cosmologistes suppose implicitement que l'espace est simplement connexe, ce qui veut dire qu'il ne se soucient pas de la topologie de l'espace.

Ok, donc ils etudient uniquement la géométrie supportée par une topologie dont ils ne se soucient pas?
Uniquement les differentes structures differentielles sur la sphere? Un ouvert de R^4?

C'est très simple. Supposons que l'espace est bidimensionnel et topologiquement un tore. Cette surface est habitée par des galaxies qui rayonnent dans toutes les directions. Soient des fourmis qui étudient l'univers en étant quelque part sur le tore. Celles- ci vont recevoir de la lumière des galaxies et en première analyse il ne pourront distinguer une lumière qui leur parvient directement d'une galaxie d'une lumière qui a fait n fois le tour du tore. C'est dans ce sens qu'ils perçoivent non pas le tore mais son revêtement universel.

Ok je vois.

Toute la difficulté de l'analyse découle de cela. Comment appréhender la toplogie d'un espace lorsque l'on occupe un seul point d'observation. En pratiquer les topologistes cosmologues se donnent une topologie 3D et essaient de faire coller des résultats expérimentaux (répartition des galaxies observées, spectre du CMB etc..) avec les simulations sur ordinateur.

Tout a fait je comprends bien le souci, comment apprehender un lacet de l'espace temps?
Je me demandais justement si des considerations théoriques pouvait apporter des reponses justement.
(Je me rappelle que mon prof de relat restreinte (roland lehouc) pour ne pas le nommer, m'avait dit que son sujet de recherche était la topologie de l'espace temps (il se definissait comme topologue cosmique).
Donc j'imagine que ce genre de considerations doivent exister...

Mais je comprends bien que l'ennuie c'est que la RG, ne donne (a ma conaissance) que des informations locales sur l'espace.

absolument: ici multiplement connexe signifie non simplement connexe.

je ne crois pas pour ce qui concerne la topologie globale de l'univers dans des raisonnements standards.

Il y a en certainement qui doivent spéculer dans cette direction, genre trous de vers mais on s'éloigne de la réalité observationnelle.

En fait ce qui me "choque" ici, c'est que le supposer 1-connexe ca impose une topologie tres simple (a supposer qu'il soit compact), ce serait une sphere (evtuellement exotique, mais une sphere quand meme)...
Mais apres tout pourquoi pas.
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[invite5f67e63a]

Cela me semble être plutôt cela. C'est un problème d'échelle.

Patrick

Et ca vous choque pas?
Un espace temps qui serait un ouvert de R^4?
(je me place pas du tout d'un point de vue physique hein... je sais bien qu'a petite echelle la distribution de matière n'est pas homogène).
Mais en faisant une supposition globale, ben vous ne laissez aucune "latéralité" au local.
Si vous supposez que l'espace temps, globalement est plat, alors en tout point sa courbure est nulle, point. Or ce n'est pas le cas.
Par contre si vous supposez que localement il est plat, ca me pose beaucoup moins de probleme, localement ca peut etre presque partout hein, penser a la sphere S^n, vous otez un point et c'est R^n... donc sur un tres grand domaine c'est R^n (non métriquement oeuf de course), mais c'est justement ce petit point en plus qui fait que S^n et R^n c'est tres different. Le probleme n'est pas du tout local, il est global.

Je sais pas si je me fait comprendre, ou plutot si vous voyez ce qui me chiffone.

[invite6754323456711]

Et ca vous choque pas?
Un espace temps qui serait un ouvert de R^4?

C'est un modèle qui ne faut pas faire parler mathématiquement plus qui ne peut en dire physiquement non ?

La terre globalement peut être considéré comme une sphère parfaite. Si je mesure globalement la longueur des cotes de la Bretagne je vais obtenir une valeur bien différente que si je cherche à la mesurer de manière infinitésimale.

Patrick

[Amanuensis]

1) L'espace est homogène et isotrope... Je comprends pas trop ce que ca veut dire, mais je l'interprete comme le fait que l'espace temps peut etre muni d'une structure de groupe de lie.

Non. Pas l'espace-temps, mais "l'espace", c'est à dire un référentiel particulier (le comobile).

L'espace-temps n'est pas homogène : l'expansion le rend non homogène.

Et sinon, oui, "homogène et isotrope" peut être vu, il me semble, comme le fait que le référentiel particulier, qui est une variété différentielle 3D, est difféomorphe à un groupe de Lie.

2) L'espace temps est considere localement euclidien (plat donc), ou tres legèrement courbé (elliptique ou hyperbolique donc).

Là encore, non : il s'agit de l'espace (le référentiel particulier), pas de l'espace-temps. Et ce n'est pas local, mais à très grande échelle.

L'espace-temps n'est pas plat, il est courbé par la présence d'énergie et de quantité de mouvement.

Supposez que l'espace a une courbure tout le temps nulle... Boum, l'espace devient un ouvert de R^4.

Si on suppose l'espace-temps partout plat, on obtient l'espace-temps de Minkowski, il me semble (non euclidien, donc).

Si on suppose l'espace plat (i.e., il existe un référentiel plat), ce n'est pas nécessairement un ouvert de R^3, ce peut être une des nombreuses variétés compactes (orientées ?) plates.

en fait, un trou noir, c'est pas un point de l'espace temps (ou plutot qu'il manque a l'espace temps), mais plutot un lacet, donc...

Non plus. La singularité est une ligne dans l'espace-temps (4D). Il existe un référentiel (3D) dans lequel cette ligne est un point. Et si on considère la singularité comme hors de l'espace-temps, c'est un trou dans R^3, et donc "crée du Pi1" dans l'espace (dans le référentiel).

J'ai l'impression de quelques confusions entre la 3D (espace ou référentiel) et la 4D (espace-temps), non ?

[Amanuensis]

Et ca vous choque pas?
Un espace temps qui serait un ouvert de R^4?

Non, parce que ce n'est certainement pas le cas !

Je sais pas si je me fait comprendre, ou plutôt si vous voyez ce qui me chiffonne.

Ce que je vois peut s'attribuer à des confusions entre 3D et 4D.

[invite5f67e63a]

C'est un modèle qui ne faut pas faire parler mathématiquement plus qui ne peut en dire physiquement non ?

La terre globalement peut être considéré comme une sphère parfaite. Si je mesure globalement la longueur des cotes de la Bretagne je vais obtenir une valeur bien différente que si je cherche à la mesurer de manière infinitésimale.

Patrick

Sauf que c'est pas du tout la meme chose.
On est bien d'accord sur le fait que le modèle ne cadre jamais vraiment avec la realité.
Mais ici, c'est a l'interieur meme du modele que des choses me paraissent bizarre.
Si l'on suppose que la courbure globale de l'espace temps est nulle, alors elle est nulle point (ce qui n'est pas la meme chose que de dire "elle est petite" ou de dire on la néglige). Mais le probleme c'est que si ces choses me semblent legitime localement, elles n'apportent pas d'information globale.
Enfin bref.

[invite7ce6aa19]

Ok, plat donc

Ou presque plat.

Ok, donc ils etudient uniquement la géométrie supportée par une topologie dont ils ne se soucient pas?

Ceci parcequ 'il n y a pas d'effets spectaculaires qui seraient le preuve d'une topologie particulière. Donc par défaut on prend la topologie triviale.

Uniquement les differentes structures differentielles sur la sphere? Un ouvert de R^4?

Quand on parle de topologie de l'univers on parle de topologie spatiale donc 3D.

Tout a fait je comprends bien le souci, comment apprehender un lacet de l'espace temps?

Absolument, il n y a que les théoriciens (et Dieu) qui peuvent se représenter des lacets. L'expérimentateur non.

Je me demandais justement si des considerations théoriques pouvait apporter des reponses justement.

Il existent des considérations théoriques du genre que notre univers est né d'une fluctuation quantique parmi d'autres et que cette fluctuation s'est transformée en espace avec une topologie tirée au hasard.

D'autres travaux moins spéculatifs (notamment les théories inflationnaires) concluent que l'espace est plat

(Je me rappelle que mon prof de relat restreinte (roland lehouc) pour ne pas le nommer, m'avait dit que son sujet de recherche était la topologie de l'espace temps (il se definissait comme topologue cosmique).

Avec J-P Luminet, R Lehouc et quelques autres sont les spécialistes français de la question. tu ne pouvais être mieux servi.

Mais je comprends bien que l'ennuie c'est que la RG, ne donne (a ma conaissance) que des informations locales sur l'espace.

La RG effectivement ne donne que des informations locales (couplage du champ de matière au champ de courbure) et rien sur la topologie qui relève de l'observation.


L'observation elle-même au delà de la non perfection des instruments d'observation contient une limite incontournable qui est l'horizon: La distance entre émetteurs lointains (galaxies, quasars..) et observateurs (nous terriens) croient plus vite que la vitesse de la lumière.

[invite6754323456711]

Si l'on suppose que la courbure globale de l'espace temps est nulle, alors elle est nulle point (ce qui n'est pas la meme chose que de dire "elle est petite" ou de dire on la néglige).

Amanuensis a pointé du doigt l'ambiguïté qui peut créer une incompréhension. Il me semble que l'étude de la forme de l'univers ne concerne que l'espace 3D car l'espace-temps 4D ne peut être considéré comme un espace-temps de Minkowski que localement.

Patrick

[invite5f67e63a]

Bon deja une chose, quand je dis espace, je veux toujours dire espace temps.

Non. Pas l'espace-temps, mais "l'espace", c'est à dire un référentiel particulier (le comobile).

L'espace-temps n'est pas homogène : l'expansion le rend non homogène.

Ce n'est pas du tout la question que je pose
L'esapce temps est une variété X, fixée, est on d'accord?
Qu'est ce que vous appelez referentiel exactement dans ce contexte (je ne parle jamais de referentiel moi, je me contente de parler de l'espace (temps donc) dans sa globalité en tant que variété de dimension 4)

Et sinon, oui, "homogène et isotrope" peut être vu, il me semble, comme le fait que le référentiel particulier, qui est une variété différentielle 3D, est difféomorphe à un groupe de Lie.

Ok, et le referentiel particuler etant?



Là encore, non : il s'agit de l'espace (le référentiel particulier), pas de l'espace-temps. Et ce n'est pas local, mais à très grande échelle.

L'espace-temps n'est pas plat, il est courbé par la présence d'énergie et de quantité de mouvement.

Non mais, je parle de courbure de l'espace temps.
A plusieurs reprise, il a été dit que l'espace temps était considere globalement euclidien. Donc plat.

Si on suppose l'espace-temps partout plat, on obtient l'espace-temps de Minkowski, il me semble (non euclidien, donc).

Si on suppose l'espace plat (i.e., il existe un référentiel plat), ce n'est pas nécessairement un ouvert de R^3, ce peut être une des nombreuses variétés compactes (orientées ?) plates.

Ok, en fait je viens de me rendre compte que pour vous (tous?) espace et espace temps ce n'est pas la meme chose.

Non plus. La singularité est une ligne dans l'espace-temps (4D). Il existe un référentiel (3D) dans lequel cette ligne est un point. Et si on considère la singularité comme hors de l'espace-temps, c'est un trou dans R^3, et donc "crée du Pi1" dans l'espace (dans le référentiel).

Mais justement, je ne me place jamais dans R^3, ou dans une variété de dimension 3, je suis toujours dans l'espace temps

J'ai l'impression de quelques confusions entre la 3D (espace ou référentiel) et la 4D (espace-temps), non ?

En fait, dans ma tete c'est tres clair je ne parle jamais de 3D, pour moi l'espace, l'espace temps... je ne designe qu'une seule et meme chose par tous ses termes la variété qui modélise l'espace temps .

[invite5f67e63a]

Ok, en fait, l'ambiguité vient d'etre levé.
Je ne comprenais pas depuis le debut qu'en fait vous parliez d'espace, espace, celui de la cosmologie, l'espace physique (a l'instant t si cela avait un sens).

Pour moi, j'etais persuadé que vous appeliez espace, l'espace temps dans son ensemble et absolument tous mes messages se placent dans ce cadre la!
D'où sans doute les incomprenhensions.

[Amanuensis]

Pour moi, j'etais persuadé que vous appeliez espace, l'espace temps dans son ensemble et absolument tous mes messages se placent dans ce cadre la!
D'où sans doute les incomprenhensions.

C'était mon analyse aussi

En cosmologie, "l'espace" veut dire 3D. Et ce n'est pas simple à définir, parce qu'il n'y a pas de découpage canonique de l'espace-temps entre espace et temps. (Effectivement, "à l'instant t" n'a pas de sens.)

Ce qu'on appelle espace est en général un référentiel. Et un référentiel est une fibration de l'espace-temps en lignes temporelles (i.e., dont la tangente est partout du signe singulier de la métrique). Cette fibration a une structure induite de variété différentielle 3D, qu'on peut munir d'une connexion à partir de la connexion de l'espace-temps, d'où la notion "d'espace".

La fibration qui est modélisée comme homogène et isotrope est un "lissage" à très grande échelle (pour moyenner les inhomogénéités de la répartition de la matière par exemple), et est appelée "le référentiel comobile". Et c'est de cela dont on parle quand on parle de courbure nulle ou presque nulle.

[invite5f67e63a]

Ce qu'on appelle espace est en général un référentiel. Et un référentiel est une fibration de l'espace-temps en lignes temporelles (i.e., dont la tangente est partout du signe singulier de la métrique). Cette fibration a une structure induite de variété différentielle 3D, qu'on peut munir d'une connexion à partir de la connexion de l'espace-temps, d'où la notion "d'espace".

Ok, justement, pourquoi une telle fibration est possible justement (j'avais en fait deja refelchi vaguement a la question), parce que dans ce cas là, on aurait "un temps", ou du moins un temps privilégie, et justement dans la fibre au dessus de point t, bah, tout le monde aurait le meme temps.
Il est en general faux qu'une variété de dimension n, est isomorphe a un fibré de rang n-1, sur une base de dimension 1 (par exemple

[Amanuensis]

Ok, justement, pourquoi une telle fibration est possible justement (j'avais en fait deja refelchi vaguement a la question), parce que dans ce cas là, on aurait "un temps", ou du moins un temps privilégie

Je ne crois pas. D'une part, une fibration en lignes temporelles ne donne pas de datation particulière, la fibration "en tranches spatiales" reste libre. Ensuite, quand bien même il y aurait une datation privilégiée pour une fibration entre lignées temporelles, elle serait dépendante de la fibration, et donc arbitraire. En effet, il y a une infinité de référentiels.

, et justement dans la fibre au dessus de point t, bah, tout le monde aurait le meme temps.

Non, tu le vois à l'envers. Dans la fibre (la ligne temporelle) au-dessus du point X de l'espace, tous les événements sont "au même endroit". La base c'est l'espace, et une fibre est une trajectoire possible d'une particule de masse non nulle.

[invite5f67e63a]

Je ne crois pas. D'une part, une fibration en lignes temporelles ne donne pas de datation particulière, la fibration "en tranches spatiales" reste libre. Ensuite, quand bien même il y aurait une datation privilégiée pour une fibration entre lignées temporelles, elle serait dépendante de la fibration, et donc arbitraire. En effet, il y a une infinité de référentiels.



Non, tu le vois à l'envers. Dans la fibre (la ligne temporelle) au-dessus du point X de l'espace, tous les événements sont "au même endroit". La base c'est l'espace, et une fibre est une trajectoire possible d'une particule de masse non nulle.

Ok donc la fibre est le temps, la base est l'espace....
Je ne saisit toujours pas pourquoi une telle fibration est possible (mon contre exemple fonctionne toujours )
On la postule?

[Amanuensis]

Ok donc la fibre est le temps, la base est l'espace....
Je ne saisit toujours pas pourquoi une telle fibration est possible (mon contre exemple fonctionne toujours )
On la postule?

Je ne suis pas sûr. Il y a quand même la contrainte d'une connexion sans torsion et respectant la pseudo-métrique, et la condition "temporelle" est une condition qui porte sur la métrique.

Cela doit avoir un rapport avec l'existence de champs de Killing conformes, mais cela sort des eaux où je suis à l'aise, là.

[Amanuensis]

Ok donc la fibre est le temps

Pas exactement : on pourrait dire que chaque fibre est "un temps".

Formellement, c'est une suite d'événements ordonnés temporellement. La métrique permet d'y mettre, à une fonction affine près, une datation : le "temps propre" de la fibre. Mais la datation est propre à chaque fibre, et la connexion ne respecte pas ces datations (sauf dans le cas de l'espace-temps plat, l'espace-temps de Minkowski).

[Amanuensis]

Je ne suis pas sûr.(...)

Peut-être aussi l'hypothèse limitative "pas de boucle temporelle" joue-t-elle ?

[invite5f67e63a]

Je ne suis pas sûr. Il y a quand même la contrainte d'une connexion sans torsion et respectant la pseudo-métrique, et la condition "temporelle" est une condition qui porte sur la métrique.

Cela doit avoir un rapport avec l'existence de champs de Killing conformes, mais cela sort des eaux où je suis à l'aise, là.

Mhh, je ne suis pas sur que le fait que la connexion soit de levi-civita apporte qqch, ici, puisque de toute façon une telle connexion existe toujours, meme sur P² (qui n'est pas un fibré ni sur S1 ni sur A1).

A vrai dire (et ca me fait flipper de realiser ca), je ne crois pas connaitre de condition simple pour qu'une variété soit un fibré.

A vrai dire, y a des conditions simples portant sur l"homologie qu'on doit pouvoir ecrire (par exemple avec la formule de Kuneth, encore plus simple s'il s'agit d'un fibré en A1... mais je ne vois pas de conditions generale, et ce n'est pas si suprenant en fait, quand on voit ne serait ce que ce qui se passe pour les spheres... On ne peut obtenir des spheres en fibrant des spheres par des spheres que pour S3, S7 et S15, mais on a quand meme des fibrations classqiue sur P^n(C) pour toutes les spheres de dimension impaire, mais pas les paire... bref ca n'est pas simple)

[invite5f67e63a]

Pas exactement : on pourrait dire que chaque fibre est "un temps".

Formellement, c'est une suite d'événements ordonnés temporellement. La métrique permet d'y mettre, à une fonction affine près, une datation : le "temps propre" de la fibre. Mais la datation est propre à chaque fibre, et la connexion ne respecte pas ces datations (sauf dans le cas de l'espace-temps plat, l'espace-temps de Minkowski).

Oui, je disais la fibre comme en maths on dit la fibre (on parle de "la" fibre dans le cadre des fibrés, parce qu'elles sont toutes isomorphes (si la base est connexe), mais on est d'accord il y a "autant de fibres que de points sur la base").
En chaque point de l'espace tu as une fibre, qui est le temps en ce point sur tu veux.

[Amanuensis]

Mhh, je ne suis pas sur que le fait que la connexion soit de levi-civita apporte qqch, ici, puisque de toute façon une telle connexion existe toujours, meme sur P² (qui n'est pas un fibré ni sur S1 ni sur A1).

Est-ce qu'il y a toujours une connexion de LC pour une métrique de signature (1,n-1) ?

[Amanuensis]

En chaque point de l'espace tu as une fibre, qui est le temps en ce point

Oui, c'est ça.

Je précisais parce que si on dit "le temps", plein de lecteurs voient un temps universel, commun à toutes les fibres.

[invite5f67e63a]

Est-ce qu'il y a toujours une connexion de LC pour une métrique de signature (1,n-1) ?

Oui, oui, ca marche pour une pseudo métrique (une section de non degenerée en tout point.

[invite5f67e63a]

Je relechirai plus sur cette histoire, ca m'interesse beaucoup parce que justement je m'etais mis dans l'idée que parler de l'espace tout seul (sans temps donc ) n'avait pas grand sens, justement a cause de ce genre de problemes.
J'aime bien quand mes idées recues sont démontées

[invite6754323456711]

Oui, c'est ça.

Je précisais parce que si on dit "le temps", plein de lecteurs voient un temps universel, commun à toutes les fibres.

Lorsque les lignes d'univers se croisent. En un point je peux avoir une infinité de courbe de genre temps non ?

Patrick

[Amanuensis]

Lorsque les lignes d'univers se croisent. En un point je peux avoir une infinité de courbe de genre temps non ?

Oui, mais dans une fibration par des lignes temporelles, celles de la fibration ne se croisent jamais !

[Amanuensis]

Je réfléchirai plus sur cette histoire, ça m'intéresse beaucoup parce que justement je m'étais mis dans l'idée que parler de l'espace tout seul (sans temps donc ) n'avait pas grand sens,

Ce qui, d'une certaine manière, est un bien meilleur point de départ que de considérer la notion d'espace (le 3D physique) comme "évidente", ce qui est la position la plus courante.

De fait, même en mécanique classique, l'espace 3D n'est pas une notion triviale (cf. l'espace-temps de Leibniz). C'est étroitement lié à la notion de référentiel, une notion pas plus évidente. La vision "fibration" est générique, et aide bien ceux qu'elle ne rebute pas.

Dans tous les cas (y compris en mécanique classique), on ne peut pas parler de l'espace, seulement d'un espace, au même sens que un référentiel.

[invite6754323456711]

Oui, mais dans une fibration par des lignes temporelles, celles de la fibration ne se croisent jamais !

Entre deux évènements, la naissance et la mort, par exemple on suit une et une seule de ces lignes temporelles ? Elles sont indépendantes les une des autres ?

Patrick

[invite6754323456711]

Dans tous les cas (y compris en mécanique classique), on ne peut pas parler de l'espace, seulement d'un espace, au même sens que un référentiel.

Il me semble que l'on peut déjà le percevoir dans la relativité du mouvement inertiel. "Le mouvement est comme rien", deux observateurs considérer au repos mais en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre ne perçoivent pas la même trajectoire, relativement à leur espace, d'un troisième objets mobile par rapport à eux.

Comme si chacun avait son propre espace.

Patrick

[Amanuensis]

Entre deux évènements, la naissance et la mort, par exemple on suit une et une seule de ces lignes temporelles ? Elles sont indépendantes les une des autres ?

........

[invite8915d466]

Entre deux évènements, la naissance et la mort, par exemple on suit une et une seule de ces lignes temporelles ?

toi, oui, bien sûr, tu suis la tienne ! (as tu bien compris ce qu'est une "ligne temporelle" ?) :

mais si tu meurs en même temps que ton jumeau au même endroit (approximativement), alors il y aura eu effectivement deux lignes temporelles différentes connectant les mêmes 2 évenements, aux petites incertitudes ∆X ∆T près ... .