Continuité ou pas ?

[Galuel]

Je voudrais ici lancer le débat sur la possibilité ou pas de la continuité en partant d'un concept simple, la droite réelle, ou l'ensemble des réels.

Nombres, fractionnels, irrationnels, transcendants... Voilà les 4 catégories historiques, dans l'ordre, que l'on a identifié (j'en ai sans doute oublié je fais appel aux spécialites !).

Je voudrais savoir de quelle façon on aborde la continuité de la droite réelle à partir de là...

Y-a-t-il un ensemble plus subtil que le les tanscendants ?
Quel ensemble est le plus subtil à ce jour ?
Sur l'ensemble des réels qui "resteraient" pour combler les "trous"... A-t-on la preuve de leur existence ? Comment ?
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[martini_bird]

Salut,

quelques éléments de réponse :

Je voudrais ici lancer le débat sur la possibilité ou pas de la continuité en partant d'un concept simple, la droite réelle, ou l'ensemble des réels.

L'ensemble des réels n'est pas un concept simple.

Nombres, fractionnels, irrationnels, transcendants... Voilà les 4 catégories historiques, dans l'ordre, que l'on a identifié (j'en ai sans doute oublié je fais appel aux spécialites !).

Qui dit transcendant dit algébrique et les nombres tels que sont connus depuis l'antiquité, alors que les nombres transcendants datent du XIXème.

Je voudrais savoir de quelle façon on aborde la continuité de la droite réelle à partir de là...

La continuité en mathématique fait appel à la notion de complétude d'un ensemble pour une métrique donnée. En particulier, celà fait intervenir les suites de Cauchy.

Y-a-t-il un ensemble plus subtil que le les tanscendants ?
Quel ensemble est le plus subtil à ce jour ?

Qu'entends-tu par subtil ?

Sur l'ensemble des réels qui "resteraient" pour combler les "trous"... A-t-on la preuve de leur existence ? Comment ?

cf. la notion de complétude. L'ensemble des nombres réels est grosso modo construit comme le plus petit ensemble sans trou qui contiennent les rationnels (construction de Meray-Cantor).

Cordialement.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Complet

[Galuel]

cf. la notion de complétude. L'ensemble des nombres réels est grosso modo construit comme le plus petit ensemble sans trou qui contiennent les rationnels (construction de Meray-Cantor).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Complet

D'accord c'est le point intéressant. Je lis dans cet article justement "il n'y a pas de trous"...

En fait je suis embêté !

Car si on reprend l'ensemble des nombres réels qu'on a classifiés selon certaines propriétés (solutions d'une équation polynomiale...) il doit "rester des trous"...

Que savons nous des "trous" sinon que le principe de complétude les englobe ? Le dernier ensemble trouvé historiquement (les transcendants ?) comprend-il "tous les nombres" qui n'appartiennent pas aux précédents ensembles (Entiers, rationels etc...) ?

[martini_bird]

Salut,

l'ensemble des nombres algébriques (i.e. les solutions d'équations polynômiales) est en effet dénombrable et donc plein de "trous". Note que la droite réelle est elle sans trou, par construction.

L'ensemble des nombres dans mais pas dans est précisément l'ensemble des nombres transcendants et représente la majorité des nombres réels (car n'est pas dénombrable).

Ca paraît délicat a priori de travailler avec des nombres dont la plupart ne sont pas explicitables, mais en pratique ça se passe bien, car on a besoin de cette notion de continu.

Il faut simplement laisser au vestiaire les conceptions intuitives du nombre.

Cordialement.

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