Comment savoir pour qui le temps ralentit ?

[mach3]

@Mach3 : Je ne pensais pas que c'était aussi complexe de prévoir le carburant pour un voyage relativiste. Très intéressant !
J'aurais dit à brule pourpoint que les lois de la nature étant les mêmes, on peut faire son calcul dans un référentiel ou dans l'autre.

Le problème est de prévoir le profil d'accélération, qui ne sera pas le même du point de vue du sédentaire et du voyageur. J'ai supposé l'accélération propre constante, mais en réalité, quand on fait une poussée constante (débit de carburant constant, donc force constante), l'accélération augmente au fur et à mesure, car le vaisseau est de plus en plus léger. Tant que les vitesses ne sont pas relativistes, on peut négliger et considérer que ce profil, considéré du point de vue du voyageur, sera le même pour le sédentaire, et il est donc très facile de déduire quelle sera la vitesse du vaisseau par rapport au sédentaire à la fin de la poussée. En régime relativiste, le calcul peut être très compliqué... En fait il n'est pas aisé, pour le voyageur, de savoir quelle sera sa vitesse par rapport au sédentaire à la fin de sa poussée.
Ca se fait bien si l'accélération propre est constante (c'est-à-dire qu'on réduit la poussée progressivement pour compenser le fait que le vaisseau devient plus léger), car les formules sont bien connues (je vous renvoie de nouveau aux coordonnées de Rindler). Si elle n'est pas constante, ça doit faire une intégrale bien casse-pied à calculer.

Et je n'aurais pas imaginé qu'il puisse y avoir des différence notables entre l'avant et l'arrière du vaisseau.
J'aurai considéré que le vaisseau était une entité plongée dans le même référentiel, et ne me serait pas inquiété outre mesure, des contraintes de structure du vaisseau.

D'ailleurs j'ai beaucoup de mal à comprendre comment le vaisseau pourrait être affecté notablement : Dans la contraction des longueurs n'est-elle pas due à une rotation du vaisseau dans l'espace-temps 4D ?
Par conséquent les habitants du vaisseau ne devraient pas se rendre compte de quoique ce soit. Non ?

[...]

Je reviens sur l'histoire de la contraction des longueurs dans l'exemple de Mach3.
Je ne comprends pas, car le phénomène de contractions des longueurs en relativité est un phénomène réel, mais sans compression physique, donc pas de risque de déformation
de la structure du vaisseau.
La contraction des longueurs est due à la rotation du vaisseau dans l'espace-temps 4 D. Mais comme on ne peut percevoir cette 4 ième dimension, on ne peut s'apercevoir de la rotation dans la 4 ième dimension.
En conséquence, la contraction des longueurs dans notre univers 3D bien que réelle ne devrait pas affecter la structure du vaisseau.

c'est le problème de la ficelle de Bell. Si on attache une ficelle entre deux vaisseaux (positionnés l'un derrière l'autre) immobiles dans un référentiel inertiel donné, et que ces deux vaisseaux accélèrent de la même manière vu de ce référentiel, alors la corde va s'allonger, voire casser. En effet, vu que la vitesse des vaisseaux et de la corde augmente, il devrait y avoir contraction des longueurs (la longueur impropre de la corde, celle mesurée dans le référentiel inertiel de départ doit diminuer), cependant, les deux vaisseaux accélèrent de la même façon, ce qui garanti qu'ils ont la même vitesse au même moment (toujours dans le référentiel inertiel du départ) et donc que la distance qui les sépare ne varie pas. La longueur impropre de la corde se trouve rester égale à sa longueur propre du départ et par voie de conséquence, c'est que sa longueur propre courante a dû augmenter... elle s'allonge physiquement.
Le seul moyen pour que la corde ne subisse pas de traction, c'est que les deux accélérations ne soient pas les mêmes, et qu'elles soient corrélées d'une manière très spécifique : l'avant doit forcément accélérer moins fort que l'arrière d'un facteur bien précis (qui dépend, entre autre, de la distance entre l'avant et l'arrière).
Imaginons un vaisseau qui accélère constamment avec une tuyère à l'arrière. La poussée aura tendance à tasser (physiquement) un peu le vaisseau aux jointures au tout début de l'accélération (régime de transition), ensuite une fois toutes contraintes stabilisées, la fusée ne change plus de longueur propre (il n'y a aucun mécanisme envisageable qui pourrait l'agrandir, sauf peut-être un freinage brutal de l'arrière, ou qui pourrait la réduire, sauf incident, genre rupture et effondrement de l'avant sur l'arrière). Si cette longueur propre ne change pas, alors cela signifie que l'accélération imprimée à l'avant est plus faible qu'à l'arrière (et exactement du bon facteur).

Il y a bien un lien avec la rotation en 4D (attention c'est une rotation hyperbolique) et l'on peut faire des analogie avec des rotations 3D.
Si je tiens un élastique, dont les extrémités sont en A et B, non tendu, à l'horizontale, et que je le fais doucement tourner dans le plan horizontal autour d'un point O, jusqu'à ce que les extrémités soient en A' et B', et que je considère la projection de l'élastique sur une droite D, parallèle au segment AB, il y a deux cas de figure :
-Si je le garde non tendu (je conserve sa longueur propre), alors sa projection sur D va diminuer (c'est analogue à la contraction des longueurs).
-Si je fais en sorte que sa projection sur l'horizontale garde la même taille, il faut alors que je le tende de plus en plus (j'augmente sa longueur propre).

Concernant les occupants, la seule chose qu'ils notent, c'est une différence de pesanteur artificielle entre l'avant et l'arrière et un redshift/blueshift entre l'avant et l'arrière.

Ce n'est plus le cas avec les jumeaux car l'un est resté sur Terre et la Terre est considérée comme immobile. Le jumeau voyageur a changé de référentiel* tandis que celui resté sur Terre n'en a pas changé.

* Je n'ai jamais bien compris ce que cela signifiait, ceux qui ont compris pourront préciser cette notion.
J'espère que je n'ai pas dit trop de bêtises car j'ai promis à la modération de ne plus donner ma propre interprétation de la RR mais de bien répéter ce qui est dit dans les livres.

c'est sous-entendu "référentiel inertiel" (c'est d'ailleurs malheureux de le sous-entendre, cela devrait toujours être dit explicitement). Le jumeau voyageur change forcément de référentiel inertiel (c'est à dire qu'à un moment donné le voyageur est immobile dans un certain référentiel inertiel et qu'à un autre moment, il est immobile dans un autre référentiel inertiel), alors que le sédentaire (dans une expérience idéalisé, parce que la terre ne constitue pas un référentiel inertiel, surtout pour une expérience qui dure plusieurs années...) ne change pas de référentiel inertiel (il est immobile dans un certain référentiel inertiel du début à la fin). On peut très bien considérer un référentiel qui suit le voyageur tout du long (c'est à dire un référentiel dans lequel le voyageur est immobile tout du long), mais celui-ci n'est pas inertiel et on ne peut donc pas appliquer les transformations de Lorentz pour passer d'un inertiel à celui-ci sans problèmes, on ne peut le faire que de façon différentielle et une intégration est ensuite nécessaire (on mesure la longueur d'une courbe quelconque). Dans les cas idéaux où les phases d’accélération, de demi-tour et de décélération sont considérées comme de durée nulle (et la vitesse constante le reste du temps), le calcul est cependant trivial (on mesure la longueur de deux segments consécutifs).

m@ch3

PS : doublé par deedee, ça m'apprendra à mettre 1h à écrire mes messages (ben oui, mais je travaille en même temps...)
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[Deedee81]

PS : doublé par deedee, ça m'apprendra à mettre 1h à écrire mes messages

On n'a pas répondu aux mêmes trucs

(ben oui, mais je travaille en même temps...)

Idem.

[invite80c87b9b]

Merci beaucoup de votre temps m@ch3, deedee et tous les autres !


Stef

[phys4]

Petite questions en oblique p/r au sujet,

Nos deux jumeaux lorsqu' ils ont calculée la quantité de carburant à apporter, quel durée ils ont utilisé, celui de la terre ou de la fusée?

Pas trop difficile, si l'on maitrise bien le référentiel de la fusée : la combustion se fait se fait dans le moteur de la fusée, et donc la consommation de carburant se fait dans le temps propre de la fusée.
Il suffit de calculer les besoins du moteur pour les accélérations voulues et dans le temps propre de la fusée.

[invite5e279b10]

En RR on ne tient pas compte des phases d'accélération et de décélération, on ne s'occupe que du mouvement rectiligne uniforme, on ne peut donc distinguer l'un ou l'autre référentiel, on ne peut arguer des lignes d'univers différentes, amha, on est bien dans le cas suggèré par sunyata. Les temps propres des référentiels sont identiques; d tau' = d tau. Il est clair également que dans le cas de deux fusées par exemple, les temps vécus par des observateurs sont leurs temps propres respectifs; par contre dans le cas d'une fusée qui quitte la Terre, il faut croire que le temps vécu par le cosmonaute est son temps propre d tau et que celui vécu par un terrien est son temps-coordonnées dt (dt = gamma dtau').
Si j'ai bien tout compris...

[mach3]

En RR on ne tient pas compte des phases d'accélération et de décélération, on ne s'occupe que du mouvement rectiligne uniforme, on ne peut donc distinguer l'un ou l'autre référentiel

C'est faux. Il suffit de faire du calcul différentiel pour prendre en compte les mouvements non rectilignes et/ou non uniformes. Tout mouvement de ce type est assimilable à une succession de mouvements rectilignes uniformes infinitésimaux, tout comme une courbe quelconque est assimilable à une succession de segments de droites infinitésimaux (et c'est bien pratique pour calculer la longueur d'une courbe quelconque).
Je vous renvoie aux exemples les plus simples de cette démarche : les coordonnées de Rindler (ça devient une habitude dans ce fil), qui sont utiles si on veut décrire le repère associé à un observateur en mouvement uniformément accéléré, ou les coordonnées de Born, qui concernent le mouvement de rotation uniforme. Cela se généralise à tout type de mouvement.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

En RR on ne tient pas compte des phases d'accélération et de décélération, on ne s'occupe que du mouvement rectiligne uniforme

C'est faux.
EDIT croisement avec mach3. C'est marrant, on a commencé avec les mêmes mots

Tu confonds sans doute avec les référentiels. On utilise normalement (*) des référentiels inertiels. Mais un objet peut parfaitement être accéléré en RR. La définition du quadrivecteur accélération est d'ailleurs un classique élémentaire de la théorie.

Voir par exemple le cours de Bernard Linet :
http://www.lmpt.univ-tours.fr/~linet/

Au début.

C'est un cours de RG, mais il commence par la RR et donne la résolution du "paradoxe" des jumeaux avec un jumeau uniformément accéléré.

(*) On peut aussi adopter des référentiels locaux non inertiel. Mais ça complique terriblement les choses. On ne peut plus utiliser les équations habituelles, il faut passer aux formes différentielles voire aux notations avec métrique et quadritenseurs (les mêmes outils qu'en RG mais ce n'est PAS de la RG, l'espace-temps restant plat. C'est comme le canada dry : ça a la couleur de la RG, ça à le goût de la RG, mais ce n'est pas de la RG )

Exemple :
https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

En RR on ne tient pas compte des phases d'accélération et de décélération

non : http://forums.futura-sciences.com/ph...ewtonien.html; la RR décrit très bien l'accélération et la décélération. Ce qu'on appelle RG est l'adaptation de la RR à l'accélération gravitationnelle.

, on ne s'occupe que du mouvement rectiligne uniforme, on ne peut donc distinguer l'un ou l'autre référentiel, on ne peut arguer des lignes d'univers différentes, amha, on est bien dans le cas suggèré par sunyata. Les temps propres des référentiels sont identiques; d tau' = d tau. Il est clair également que dans le cas de deux fusées par exemple, les temps vécus par des observateurs sont leurs temps propres respectifs; par contre dans le cas d'une fusée qui quitte la Terre, il faut croire que le temps vécu par le cosmonaute est son temps propre d tau et que celui vécu par un terrien est son temps-coordonnées dt (dt = gamma dtau').
Si j'ai bien tout compris...

encore loupé mais il y a du progrès (avant tu ne doutais de rien)
Pièce jointe 318309

Quand tu pourras voir le Schéma. Il faudra que tu t'imagine être à la place de VERT. VERT lit sur sa montre la durée propre Tv et lit sur l'horloge bleu ciel la durée coordonnée t.
A la durée propre Tv, VERT voit Bleu à la durée propre qu'il avait ( a cause du temps nécessaire à la lumière pour aller de BLEU à VERT) : Tb. C'est durée propre Tb correspond à ce que lit VERT sur la montre de BLEU. Lorsque BLEU avait TB, passait une horloge verte indiquant la durée coordonnée dans le référentiel de VERT indiquant t.

donc et

[mach3]

Les temps propres des référentiels sont identiques; d tau' = d tau

on a déjà dit que c'était fallacieux d'écrire cela ainsi dans une discussion précédente. Ce n'est pas parce que deux vecteurs font la même longueur que ce sont les mêmes vecteurs.

m@ch3

[invite5e279b10]

Oui mais là ce sont des scalaires!
Ça te dérange tant que ça l'invariance des temps propres?

[mach3]

d tau n'est pas un scalaire. Une différentielle n'est pas un scalaire, c'est une 1-forme, donc c'est vectoriel.
d tau et d tau' n'ont pas la même direction. Si on se fixe la base (dtau,dx), alors d tau' a pour coordonnée , alors que d tau est de coordonnée (1,0). Inversement dans la base (dtau', dx'), d tau a pour coordonnée et d tau' (1,0).
On note que si on applique la métrique, d tau comme d tau' sont de longueur 1 (et cela peu importe la base, vu que la longueur est invariante par changement de base), mais ça ça nous fait une belle jambe...
Il faut intégrer une différentielle sur un chemin pour obtenir un scalaire. L'intégrale de d tau le long d'une ligne d'univers entre deux évènements sera un scalaire, la durée propre entre les deux évènements pour l'observateur qui suit cette ligne d'univers.

m@ch3

[invite5e279b10]

Merci pour toutes ces explications! Si je comprends bien, en RR le temps propre tau est un vecteur.

[mach3]

Non. Toute différentielle (de quoique ce soit) est un vecteur (une 1-forme pour être exact, c'est à dire un vecteur covariant ou un covecteur), que ce soit en RR, en meca classique ou en maths pures.
L'intégration d'une differentielle, ou sa contraction avec un vecteur de l'espace (un vecteur "normal", contravariant) sur laquelle elle est definie, est un scalaire (un nombre invariant par changement de base).
En tant que coordonnée d'un vecteur de l'espace-temps (normal, contravariant), une durée est un nombre, mais pas un scalaire (il n'est pas invariant par changement de base).
En tant que longueur d'une portion de ligne d'univers donnée, une durée propre est un scalaire (nombre invariant par changement de base).

m@ch3

[invite5e279b10]

Non. Toute différentielle (de quoique ce soit) est un vecteur (une 1-forme pour être exact, c'est à dire un vecteur covariant ou un covecteur), que ce soit en RR, en meca classique ou en maths pures.

Et dire qu'aucun de mes profs de maths m'a dit ça! Ben je fais bien de fréquenter futura-science!

L'intégration d'une differentielle, ou sa contraction avec un vecteur de l'espace (un vecteur "normal", contravariant) sur laquelle elle est definie, est un scalaire (un nombre invariant par changement de base).

Je ne savais pas non plus qu'en additionnant des vecteurs on obtenait un scalaire. Merci pour toutes ces précisions!

[Deedee81]

Salut,

Et dire qu'aucun de mes profs de maths m'a dit ça! Ben je fais bien de fréquenter futura-science!

Je suppose que tu parles de cours en secondaire. C'est vrai que c'est présenté de manière simplifiée.

Mais c'est bien comme mach3 l'a expliqué. Dans le livre Gravitation ils insistent beaucoup sur ce point et sur la nécessité de bien représenter les notions de différentielles, gradients, etc... pour vraiment comprendre le coté géométrique de la RG.

Je ne savais pas non plus qu'en additionnant des vecteurs on obtenait un scalaire. Merci pour toutes ces précisions!

Une intégrale n'est pas qu'une addition. N'oublie pas qu'il y a aussi une mesure. Ca aussi on fait l'impasse en secondaire !!!!!
Et pour une intégrale sur l'espace le long d'une courbe, la mesure sera un vecteur (un élément de ligne). D'ailleurs dans le passage que tu cites, mach3 dis bien "ou en contractant avec un vecteur de l'espace". C'est le même principe.

La RG c'est de la géométrie différentielle. Et ça nécessite non seulement un peu de rigueur mais aussi de réviser des notions incomplètes et imprécises.
(et ça s'applique aussi en RR où on trouve aussi des vecteurs, des différentielles,...)

On utilise essentiellement le formalisme et les notations de Cartan. J'ai essayé de trouver un petit article expliquant ça sur le net. Pas trouvé. Si quelqu'un a une référence, 'est le bienvenu.

[mach3]

Et dire qu'aucun de mes profs de maths m'a dit ça! Ben je fais bien de fréquenter futura-science!
...
Je ne savais pas non plus qu'en additionnant des vecteurs on obtenait un scalaire. Merci pour toutes ces précisions!

Allons, cultivez-vous un peu :

https://en.wikipedia.org/wiki/One-form
https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_..._degr%C3%A9_un
https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
https://www.av8n.com/physics/differential-forms.htm
https://www.av8n.com/physics/thermo-forms.htm

m@ch3

[Deedee81]

Merci pour les références.

La première c'est typiquement celle que je cherchais. Pourquoi j'ai pas pensé à chercher sur "one-forme" ???? La fatigue sans doute

[invite5e279b10]

En mécanique des fluides la circulation d'un vecteur sur une ligne et le flux d'un vecteur à travers une surface donnent un scalaire, il est vrai que ça fait moins classe que one-form. Je me doutais bien qu'il y avait une histoire comme ça là-dessous. C'est étrange comme les physiciens ont tendance à tout compliquer. Quand j'ai commencé à étudier la relativité einsteinienne je me suis dit que ça allait être compliqué avec ces histoires de tenseurs et tout ça. En fait, ce n'est que du calcul matriciel que nous, ingénieurs, manipulons les doigts dans le nez, en théorie de l'élasticité par exemple. Enfin bon! Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?
Désolé Deedee mais une intégrale est une sommation et donc une addition. Et additionner des carottes avec des carottes n'a jamais donné des navets que ce soit en secondaire, en primaire ou dans les grandes écoles, sauf peut-être en fac de science! Qui sait?

[mach3]

Quand j'ai commencé à étudier la relativité einsteinienne je me suis dit que ça allait être compliqué avec ces histoires de tenseurs et tout ça. En fait, ce n'est que du calcul matriciel

non, c'est plus subtil que cela. En ne retenant que l'aspect matrice, vous perdez au passage toutes les notions essentielles d'invariance, covariance, contravariance, etc qui vont avec les tenseurs. Par exemple, la métrique et la transformation de Lorentz peuvent toutes deux s'écrire comme matrices 4x4, mais ce sont pourtant deux objets mathématiques fondamentalement différents, éléments d'espace vectoriels différents et de caractéristiques différentes. Ces matrices 4x4 ne sont qu'une représentation commode de leurs coordonnées dans une base donnée (donc ne sont pas invariantes a priori).

Désolé Deedee mais une intégrale est une sommation et donc une addition. Et additionner des carottes avec des carottes n'a jamais donné des navets que ce soit en secondaire, en primaire ou dans les grandes écoles, sauf peut-être en fac de science! Qui sait?

Lisez les liens que je vous ai posté. Tout cela est connu et n'est pas aussi simple que ce que vous dites. L'intégration est bien plus complexe qu'une simple sommation, seulement il n'est pas utile d'entrer dans ce genre de détails dans les petites classes (on fait le raccourci "différentielle = variation infinitésimale d'un scalaire = scalaire(infiniment petit, mais scalaire quand même)")

Enfin bon, toujours est-il qu'écrire est fallacieux, donc arrêtez avec ça.

m@ch3

[mach3]

Laissons tomber cette histoire de différentielle et considérons des durées finies (il sera toujours temps de les faire tendre vers 0 par la suite).

Considérons deux référentiels inertiels, R (coordonnées et ) et R' (coordonnées et ) et une paire d'évènements A et B séparés par un intervalle d'espace-temps s et se produisant à la même coordonnée d'espace pour R (le même ), on a (simple expression de la métrique, c'est le carré de la "longueur" du vecteur séparant les deux intervalles) :

(nota, j'ai pris c=1 seconde-lumière/seconde)

la coordonnée ne changeant pas, on a :



La seule façon pour que est que soit nul, donc que les deux évènements se produisent aux mêmes coordonnées d'espace dans R et dans R'. R et R' sont donc le même référentiel et ça nous fait une belle jambe.

Considérons une autre paire d'évènements, C et D, mais se produisant à la même coordonnée d'espace pour R' (le même ) et séparés par la même intervalle s (c'est à dire que le vecteur séparant cette paire d'évènement est de la même longueur que le vecteur séparant la première paire d'évènement que l'on a considéré). On a pour cette paire d'évènements :



La durée entre C et D mesurée dans R', , est égale (au moins en valeur absolue) à la durée entre A et B mesurée dans R, , c'est à dire que .
Il ne s'agit pas ici de vecteurs (ni 1-forme), mais de coordonnées de vecteurs. La coordonnée temporelle du vecteur AB dans la base de R est égale à la coordonnée temporelle du vecteur CD dans la base de R'.
Si A et B sont le tic et le tac d'une horloge immobile dans R (et donc mobile dans R') et C et D le tic et le tac d'une horloge immobile dans R' (et donc mobile dans R), représente une seconde de temps propre de R et représente une seconde de temps propre de R'. De là, on peut dire, mais c'est un peu maladroit, que "temps propre est le même pour chacun".

m@ch3

[invite5e279b10]

Enfin bon, toujours est-il qu'écrire est fallacieux, donc arrêtez avec ça.

Alors comment écrit-on mathématiquement l'invariance des temps propres?

[mach3]

Je viens de le faire dans mon message précédent.

L'intervalle d'espace-temps s entre les tic-tac d'une horloge en mouvement rectiligne uniforme (au moins entre le tic et le tac) est invariant (on mesurera le même dans n'importe quel référentiel). Dans le référentiel où l'horloge est immobile, l'intervalle égale la durée propre entre le tic et le tac. La durée propre entre le tic et le tac est donc invariante, c'est à dire que toute observateur immobile à coté de son horloge la verra battre à un rythme "normal", c'est à dire que les rapports de temps ou de fréquence entre le battement de l'horloge et tous les phénomènes locaux et immobiles (cinétiques chimiques, oscillateurs harmoniques, période radioactives, etc...) par rapport à lui sont constants et ne dépendent pas de sa vitesse par rapport à un autre référentiel.
Afin de considérer des horloges en mouvement non uniforme, on passe en calcul différentiel. On considère des évènements séparés par un intervalle tendant vers 0, de façon à pouvoir considérer que le mouvement est rectiligne uniforme sur cet intervalle. On peut ensuite intégrer pour connaitre les durées propres dans ce référentiel en mouvement non uniforme
Notez qu'on fait la même chose pour mesurer la longueur d'une courbe dans l'espace euclidien, la procédure mathématique est exactement la même, seule la métrique utilisée diffère.

m@ch3

[invite5e279b10]

Si l'on nomme delta tau et delta tau' les intervalles de temps propres entre deux tic-tacs dans les référentiels R et R' respectivement, peut-on écrire que delta tau' = delta tau?

[mach3]

Si l'on nomme delta tau et delta tau' les intervalles de temps propres entre deux tic-tacs dans les référentiels R et R' respectivement, peut-on écrire que delta tau' = delta tau?

c'est un peu dangereux comme notation car on risque d'oublier qu'il s'agit de durées entre des couples d'évènements différents. C'est pour ça que j'ai mis des indices "AB" et "CD". Si on oublie ça, on arrive vite à des absurdités.

Par exemple, si je considère la durée qui sépare A et B dans le référentiel R, je peux choisir de la noter (j'omets l'indice AB), si ensuite je considère la durée (impropre) qui sépare A et B dans le référentiel R', je la noterais . Dans ce cas de figure .
Du coup écrire simplement est une bêtise...

m@ch3

[azizovsky]

m@ch3

Salut, cette formule n'est pas innocente en relativité, si on enlève le delta et AB pour simplifier et

(*)
càd, on pose :

avec

si on remplace dans (*), on retrouve le facteur, or en RR, on'a :



????

[mach3]

c'est un peu confus tout cela, avec des incohérence en plus. Relisez vous et postez quelque chose de clair, on ne comprend rien là.

m@ch3

[invite5e279b10]

si ensuite je considère la durée (impropre) qui sépare A et B dans le référentiel R', je la noterais . Dans ce cas de figure .

La durée que tu indiques est une durée impropre notée . Dans ce cas de figure . Du coup écrire simplement est une bêtise...

[invite5e279b10]

Pour le cosmonaute 'intervalle de temps d'un tic-tac de sa montre est invariant que celui-ci soit au sol sur Terre (repère R) ou en mru (par rapport à la Terre) dans l'espace (repère R'). Comment cette invariance s'écrit-elle mathématiquement?

[mach3]

Ah!! parce que pour vous tau est toujours du temps propre! ben il faut le préciser, cela n'a rien d'évident!

L'usage c'est souvent de prendre t,x pour le référentiel inertiel d'observation et , pour le référentiel où l'objet observé est immobile, du coup correspond au temps propre de l'objet observé (pour au moins, éventuellement pour constante si MRU), mais il qualifie aussi le temps coordonnée du référentiel de l'objet observé (pour variable si MRU, voire même pour constant mais non nul, si mouvement non uniforme).

Pour parler de temps propre sans faire d’ambiguïté, il faut préférer l'intervalle s le long d'une ligne d'univers donné. Il se trouve qu'il est égale au temps propre, donc à , au moins si est nul et constant. On note ainsi souvent le temps propre par raccourci (sous entendu que reste nul tout le temps), cela peut amener de la confusion.

Relisez mes précédents messages avec cela en tête, j'imagine qu'en considérant toujours que est le temps propre, ces messages pouvait vous sembler incohérents.

m@ch3

[mach3]

Pour le cosmonaute 'intervalle de temps d'un tic-tac de sa montre est invariant que celui-ci soit au sol sur Terre (repère R) ou en mru (par rapport à la Terre) dans l'espace (repère R'). Comment cette invariance s'écrit-elle mathématiquement?

, avec A et B, le tic et le tac de l'horloge sur terre et le temps du repère associé R, et C et D, le tic et le tac de l'horloge dans l'espace et le temps du repère associé R'. On peut aussi l'écrire sans les Delta, de façon étendue :
.

Ou encore une autre façon : , l'intervalle entre A et B est de même longueur que l'intervalle entre C et D. Je reprécise qu'ici on considère des MRU. Si les mouvements des deux horloges sont quelconques, ce sera plutot , c'est à dire en prenant en compte la longueur des lignes d'univers entre AB et CD, qui ne seront pas droites (intégration curviligne).

m@ch3