Autant d'entiers pairs que d'entiers.

[kaderben]

Bonjour,
J'ai regardé une vidéo sur les infinis.
Le conférencier a cité

Thābit ibn Qurra

qui au Xième siècle a démontré qu'il y a autant d'entiers pairs que d'entiers impairs.
Je trouve cela curieux à mon petit niveau.

Merci d'avance.
-----

[kaderben]

Je me suis trompé:
autant d'entiers pairs que d'entiers.

[albanxiii]

Bonjour,

Les deux propositions sont vraies.
C'est un classique. Qu'est-ce qui vous pose problème ?
Il est probable qu'au XIème siècle la définition de "autant" ne fus pas rigoureuse dans le sens moderne d’aujourd’hui.

[kaderben]

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 et 2,4,6,8,10
Ces deux parties n'ont pas le même cardinal !

Cela veut dire que si on les continue à l'infini, elles auront le même cardinal ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mickey-l.ange]

Bonjour,
Il y a sur Youtube des vidéos qui sont très claires : nombres transfinis, aleph zéro, paradoxe de l'hôtel de Hilbert...

[mach3]

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 et 2,4,6,8,10
Ces deux parties n'ont pas le même cardinal !

Cela veut dire que si on les continue à l'infini, elles auront le même cardinal ?

C'est 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 et 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 qu'il faut comparer.

On prend l'ensemble des entiers, on multiplie chaque élément par 2, ça donne l'ensemble des entiers pairs. On "sent" bien que les deux ensembles ont le même "nombre" d'élements ? non ?
Plus formellement, il y a une bijection entre les entiers et les entiers pairs (qui à chaque entier n associe l'entier pair 2n), donc ils ont le même cardinal.

m@ch3

[kaderben]

Oui, j'ai regardé une vidéo, la même explication que la tienne.
Par contre cardinal(entiers<cardinal(réel s) à l'ifini.
Merci pour tout.

[Mickey-l.ange]

Bonjour,

Je pose une question, alors - une subtilité m'échappe :

Quelle est la différence entre Oméga et Aleph-zéro ?

[PierreHenri]

En ce qui concerne les entiers positifs non nuls deux catégories : les nombres impairs et les nombres pairs.
Chaque nombre impair est égal à 2x-1 et a un double, 2(2x-1) et le nombre impair suivant est égal à 2x+1dont le double est 4x+2.
Le double de 2x-1 est pair et égal à 4x-2, si on ajoute 2 à ce nombre pair on obtient le nombre pair suivant égal à 4x qui est inférieur à 4x+2.
On a donc toujours 2 nombres pairs pour un nombre impair, autrement dit un nombre impair a un double et ce double auquel on ajoute 2 est également pair inférieur au nombre impair suivant!

[PierreHenri]

En ce qui concerne les entiers positifs non nuls deux catégories : les nombres impairs et les nombres pairs.
Chaque nombre impair est égal à 2x-1 et a un double, 2(2x-1) et le nombre impair suivant est égal à 2x+1dont le double est 4x+2.
Le double de 2x-1 est pair et égal à 4x-2, si on ajoute 2 à ce nombre pair on obtient le nombre pair suivant égal à 4x qui est inférieur à 4x+2.
On a donc toujours 2 nombres pairs pour un nombre impair, autrement dit un nombre impair a un double et ce double auquel on ajoute 2 est également pair inférieur au double nombre impair suivant!

Excosez m'oublis du ""double" sur le premier post !

[oxycryo]

cela se résolverais en ayant d'un coté suite(n+1) = suite(n+2) ont la même quantité d'éléments dans chaque ensemble à tout moment de l'étude de ces suites...

mais bon, jolie astuce tout de même

pourquoi pas, mais à condition d'estimer que suite et ensemble soit des objets strictement identique dans leur propriété... pour moi les suites sont infinie de nature, pas les ensembles qui se doivent d'être fini (en quantité) pour être définie... et enfin se différencier de la suite (en nature, donc en définition) sinon y'a doublon, et j'aime pô les doublons

[amineyasmine]

Je me suis trompé:
autant d'entiers pairs que d'entiers.

Bonjour
Il y a autant d'entiers pairs que d'entiers.
Il y a aussi autant de nombres impairs que d'entiers.
Et aussi autant de nombres premiers que d'entiers.
Et aussi autant de nombres carrés (4, 9, 16, 25, ..) Que d'entiers.
Et aussi autant de nombres rationnel (1/2, 7/5, 12/13, ..) Que d'entiers.
Et aussi autant de nombres irrationnels (racine(2), racine(19), ...) Que d'entiers.

Ils s’appellent tous des ensembles infinis dénombrables

Il y a une bijection entre ces ensembles et les entiers

[ThM55]

Et aussi autant de nombres irrationnels (racine(2), racine(19), ...) Que d'entiers.

Vous voulez dire "autant de nombres irrationnels racines carrées d'entiers"? En fait les nombres algébriques (racines de polynômes à coefficients entiers) forment un ensemble dénombrable. Mais les irrationnels incluent les transcendants et forment un ensemble non dénombrable. Il n'y a pas de bijection entre N et l'ensemble des nombres transcendants.

[PierreHenri]

Bonjour a toutes et tous, je suis de la vielle école où on apprenait les mathématiques non déclarées comme "moderne" sans avoir à connaître la théorie des ensembles mais en apprenant en classe de 6ème à extraire une racine carré!
Les nombres impairs ont un double P qui est pair, a ce double si on ajoute 2 on obtient un nombre pair qui est le double d'un nombre pair donc 2 nombres pairs par nombre impair.
Soit la suite infinie 1, 2, 4, 3, 6, 8, 5, 10, 12,7, 14, 16 .......
A partir de cette suite on obtient la suite des nombres impairs non divisible par 3 :
si le terme est impair on multiplie par 3 et on retranche 2 si le terme est pair on multiplie par 3 et on retranche 1 soit 1, 5, 11, 7, 17, 23, 13; 29, 35, 19, 41, 47 ............
La suite ci-dessus contient chaque nombre impair non multiple de 3 une fois et une fois seulement.
A partir de la suite ci-dessus on construit une table ayant un nombre infini de colonnes et de lignes comme défini ci-dessous.
A chaque terme impair T1 1 modulo 6 on a la ligne (T1*2^2n-1)/3 pour n colonnes de 1 à l'infini.
A chaque terme T2 2 modulo 6 on a la ligne (T2*2^(2n-1)-1)/3 pour n colonnes de 1 à l'infini.
La table ci-dessus contient tous les nombres impairs une fois et une fois seulement.
J'ai baptisé cette table table de COLLATZ car à elle seule elle prouve la validité de la conjecture de COLLATZ (ou SURACISE OU 3x+1).
A vous de vérifier mes affirmations et merci à ceux qui sont arrivé à !e lire et me comprendre.

[ThM55]

Bonjour a toutes et tous, je suis de la vielle école où on apprenait les mathématiques non déclarées comme "moderne" sans avoir à connaître la théorie des ensembles mais en apprenant en classe de 6ème à extraire une racine carré!
Les nombres impairs ont un double P qui est pair, a ce double si on ajoute 2 on obtient un nombre pair qui est le double d'un nombre pair donc 2 nombres pairs par nombre impair.
Soit la suite infinie 1, 2, 4, 3, 6, 8, 5, 10, 12,7, 14, 16 .......
A partir de cette suite on obtient la suite des nombres impairs non divisible par 3 :
si le terme est impair on multiplie par 3 et on retranche 2 si le terme est pair on multiplie par 3 et on retranche 1 soit 1, 5, 11, 7, 17, 23, 13; 29, 35, 19, 41, 47 ............
La suite ci-dessus contient chaque nombre impair non multiple de 3 une fois et une fois seulement.
A partir de la suite ci-dessus on construit une table ayant un nombre infini de colonnes et de lignes comme défini ci-dessous.
A chaque terme impair T1 1 modulo 6 on a la ligne (T1*2^2n-1)/3 pour n colonnes de 1 à l'infini.
A chaque terme T2 2 modulo 6 on a la ligne (T2*2^(2n-1)-1)/3 pour n colonnes de 1 à l'infini.
La table ci-dessus contient tous les nombres impairs une fois et une fois seulement.
J'ai baptisé cette table table de COLLATZ car à elle seule elle prouve la validité de la conjecture de COLLATZ (ou SURACISE OU 3x+1).
A vous de vérifier mes affirmations et merci à ceux qui sont arrivé à !e lire et me comprendre.

Excusez-moi mais je ne vois pas le lien entre ce message et la question posée.

[PierreHenri]

Juste une analyse logique des nombres entiers impairs qui avec cette table met en évidence que les nombres sont classé dans un ordre fini et facile à définir.

1 1 5 21 85 343 ,,,,,
5 3 13 53 213 853 ,,,,,
11 7 29 117 459 1877 ,,,,,

Et c'est pas si compliqué mais plein de renseignements quand on les cherche.

[ThM55]

Peut-être, je vous crois, mais cela n'a rien à voir avec l'équipotence des ensembles infinis, qui est la question posée. Je trouve le parasitisme des fils de discussion un des gros défauts de ce forum. Pourquoi ne pas ouvrir un nouveau fil, plutôt?

[PierreHenri]

Je n'ai parlé que d'ensembles infinis, les nombres entiers impairs ou pairs et j'affirme qu'ils sont ordonnés d'une certaine façon si on en prend le temps!
On passe de l'ensemble des entiers à l'ensemble des impairs non multiple de 3 puis à l'ensemble des impairs.

[PierreHenri]

Tout nombre impair est égal à ((6n-5)*2^2n-1)/3 ou à ((3n-1)*2^(2n-1)-1)/3 pour n de 1 à l'infini.
Quand on applique la règle 3n+1 à chaque nombre impair on obtient après 2n ou 2n-1 divisions par 2 6n-5 ou 3n-1 soit tous les nombres impairs non multiple de 3.
D'où la vérification de la validité de la conjecture de COLLATZ après un effort de compréhension.
Merci à toutes et tous de m'avoir lu et j'espère compris.

[ThM55]

Merci mais vous n'avez pas répondu à ma question: pourquoi ne pas poster ce hors sujet dans une nouvelle question?

[PierreHenri]

J'ai pris un fil en route qui était sur les ensembles et les nombres pairs et impairs, c'est vrai,
Pourquoi pas utiliser ce fil en rapport direct avec la conjecture de COLLATZ qui concerne les nombres entiers pairs et impairs?

[ThM55]

Pourquoi? Parce que le question porte sur l'équipotence des ensemble infinis, pas sur la conjecture de Collatz. C'est un sujet qui n'a rien à voir. C'est ce que j'appelle le parasitisme: on se greffe sur un sujet existant pour exposer ses idées personnelles sur un tout autre sujet.

[PierreHenri]

J'ai du mal lire le titre du fil "Autant d'entiers pairs que d'entiers"

[PierreHenri]

En fait les nombres entiers sont la réunion de deux ensembles, le premier les nombres impairs et le deuxième les nombres pairs et mes nombres pairs sont constitués de 2 ensembles les nombres pairs doubles d'un nombre impair et les nombres pairs doubles d'un nombre pair.

[Médiat]

Quelle est la différence entre Oméga et Aleph-zéro ?

Cette question m'avait échappée, j'y répond tardivement : est un ordinal et un cardinal.

Si on prend comme définition de cardinal : le plus petit ordinal tel que ... alors , la différence résidant dans l'intention.
Si on prend comme définition de cardinal : la classe d'équipotence, alors