Pourquoi invoquer toujours Gödel pour faire peur aux enfants ?

[Médiat]

Version expurgée, plus simple, mais sans démonstration, ni exemple :

1) Le théorème d'incomplétude de Gödel n'exprime pas une limite des systèmes formels du premier ordre, mais une limite de la capacité qu'a l'être humain à manipuler ces systèmes formels (hypothèse "récursivement axiomatisable" du théorème).
2) D'autres limites de la logique classique du premier ordre existent (avec des hypothèses plus faibles que celle du théorème de Gödel)
a) Une théorie complète ne permet pas de distinguer entre plusieurs structures non isomorphes (de même cardinal ou non) qui en sont des modèles.
b) Une théorie complète ne permet pas forcément de définir formellement certains aspects de ses modèles qu'un être humain peut néanmoins "voir", même en cardinal dénombrable

Une petite bizarrerie :
certaines théories ont des modèles "plus simple" en cardinal dénombrable (éventuellement un seul) et "beaucoup" en cardinal ,
certaines théories ont des modèles "plus simple" en cardinal (éventuellement un seul) et "beaucoup" en cardinal dénombrable.

[invite0fb72cf8]

Merci, c'est très intéressant. Ceci dit, j'aurais une petite question (qui peut sembler stupide, mais bon). En gros, tu dis qu'un système qui n'est pas récursivement axiomatisable ne peut pas être manipulable par un humain. Je comprends un peu l'idée qui est derrière, de dire qu'en tout cas, si on continue à ajouter les axiomes uns à uns comme on le fait, on obtiendra toujours des théories incomplètes.

Mais je comprends la différence entre récursivement axiomatisable et non-récursivement axiomatisable comme analogue entre un ensemble dénombrable et non-dénombrable, et, étant donné qu'il est possible de construire un ensemble non-dénombrable comme la fermeture d'un ensemble dénombrable, et de manipuler cet ensemble de façon a peu près efficace (cfr R ), est t'il possible de donner procéder à une manip' similaire avec des ensembles d'axiomes ?

A+

Ising

[invité576543]

Mais je comprends la différence entre récursivement axiomatisable et non-récursivement axiomatisable comme analogue entre un ensemble dénombrable et non-dénombrable, et, étant donné qu'il est possible de construire un ensemble non-dénombrable comme la fermeture d'un ensemble dénombrable, et de manipuler cet ensemble de façon a peu près efficace (cfr R ), est t'il possible de donner procéder à une manip' similaire avec des ensembles d'axiomes ?

Pour mettre mon grain de sel (et surtout pour tester si ma compréhension est correcte), la limitation humaine est, me semble-t-il, celle du langage, dont les possibilités sont seulement dénombrables.

Il est difficile d'imaginer ce que serait écrire des formules ou des démonstrations dans un langage non-dénombrable.

D'ailleurs, vu comme cela ce n'est pas seulement une limitation humaine, mais pour le moment (et peut-être à tout jamais?) une limitation portant aussi sur les ordinateurs conçus par les humains. Non seulement nous sommes limités à un langage dénombrable pour écrire des formules et démonstrations mathématiques, mais pour le moment on ne sait même pas concevoir une machine qui ferait effectivement autrement.

Cordialement,

[Médiat]

En gros, tu dis qu'un système qui n'est pas récursivement axiomatisable ne peut pas être manipulable par un humain.

C'est un peu sur le même modèle que la thèse de Church Turing ; si j'ai un ensemble d'axiomes non récursif, par exemple les énoncés du premier ordre vrais dans , je (en tant qu'être humain) ne peut même pas lister tous ces axiomes (qui sont tous les théorèmes de l'arithmétique).

Je comprends un peu l'idée qui est derrière, de dire qu'en tout cas, si on continue à ajouter les axiomes uns à uns comme on le fait, on obtiendra toujours des théories incomplètes.

Oui, parce qu'en ajoutant unitairement des axiomes, ou même des schéma d'axiomes, on reste récursif.

Mais je comprends la différence entre récursivement axiomatisable et non-récursivement axiomatisable comme analogue entre un ensemble dénombrable et non-dénombrable

C'est plus compliqué que cela, d'ailleurs on peut très bien envisager un ensemble d'axiomes récursif et de cardinal non dénombrable (et même très très grand).
par exemple une théorie de l'égalité pure avec symboles de constantes , et les axiomes pour tout et pour tout : , théorie dont les modèles sont les ensembles de cardinal supérieur ou égal à (c'est pourquoi dans le théorème de Löwenheim Skolem, la borne inférieure pour le cardinal d'un modèle infini est (le cardinal du langage).

étant donné qu'il est possible de construire un ensemble non-dénombrable comme la fermeture d'un ensemble dénombrable et de manipuler cet ensemble de façon a peu près efficace (cfr R ),

Ce n'est pas le cas tous les ensembles non dénombrables, et les constructions qui permettent de passer du dénombrable au non-dénombrable ne sont, généralement, pas du premier ordre.

est t'il possible de donner procéder à une manip' similaire avec des ensembles d'axiomes ?

Pas que je sache ; il est possible de munir l'ensemble des théories complètes sur un certain langage d'une structure topologique, mais sur les ensembles quelconques axiomes, je ne sais pas (mais j'ai peu d'espoir que cela aille dans le sens que tu décris, car je ne vois pas (en tout cas, pas immédiatement) comment traduire topologiquement la récursivité d'un ensemble d'axiomes, il faudrait peut-être y réfléchir )


En espérant avoir éclairé un peu le débat, n'hésite pas à continuer ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

par exemple une théorie de l'égalité pure avec symboles de constantes , et les axiomes pour tout et pour tout :

On peut l'envisager, l'imaginer. Mais que peut-on en faire de plus? Comment des humains pourraient-ils en utiliser plus qu'une partie dénombrable, la faire passer d'une potentialité virtuelle non dénombrable à quelque chose de pratique non dénombrable?

A quel sens pourrait-on dire que cette théorie est "manipulable par un humain" alors qu'on peut prédire que ne sera manipulée qu'au plus une partie dénombrable des symboles de constantes?

Cordialement,

[invitea691f20f]

en lisant ces trucs d'axiomatique ,de logique je me sens "husserl au monde " ...

excusez moi d'être terre à terre ,ça débouche sur quoi comme application Gödel ?

[Médiat]

en lisant ces trucs d'axiomatique ,de logique je me sens "husserl au monde " ...

Comme je le signalais dans mon premier post, Μηδείς Αγεωμέτρητος Εισίτω, même si je trouve ce vieux Platon un peu excessif, il vaut mieux se renseigner que se lamenter

excusez moi d'être terre à terre ,ça débouche sur quoi comme application Gödel ?

Cela évite de perdre son temps.

[Médiat]

C'est plus compliqué que cela, d'ailleurs on peut très bien envisager un ensemble d'axiomes récursif et de cardinal non dénombrable (et même très très grand).

Ooops, j'ai écrit un peu vite, un ensemble récursif étant un ensemble d'entiers, la phrase ci-dessus est manifestement fausse, je voulais en fait parler de théories non dénombrables et cependant "manipulables", définissables et compréhensibles, et l'exemple qui suit est correct de ce point de vue. De plus si quelqu'un exhibe un énoncé du langage considéré, il est très facile de savoir s'il s'agit d'un axiome ou non.


Par contre cela ne répond pas complètement à la question de Ising :

Mais je comprends la différence entre récursivement axiomatisable et non-récursivement axiomatisable comme analogue entre un ensemble dénombrable et non-dénombrable

Je crois que je commence à comprendre cette analogie, en effet la différence entre dénombrable et non-dénombrable est que l'on peut dire qu'il existe une bijection entre IN et un ensemble dénombrable, alors qu'il n'en existe pas entre IN et un ensemble non dénombrable.

La différence entre un ensemble dénombrable récursif et un ensemble dénombrable non récursif, c'est que dans le premier cas on peut calculer cette bijection, pas dans le deuxième, alors qu'elle existe.

[invité576543]

je voulais en fait parler de théories non dénombrables et cependant "manipulables", définissables et compréhensibles, et l'exemple qui suit est correct de ce point de vue. De plus si quelqu'un exhibe un énoncé du langage considéré, il est très facile de savoir s'il s'agit d'un axiome ou non.

Je n'arrive pas à comprendre par quelle méthode pratique je pourrais exhiber un énoncé du langage considéré en toute liberté.

Je vois bien le cas où on me décrit au préalable un sous-langage dénombrable, que j'utilise alors pour former l'énoncé. Mais cela limite fortement ma liberté sur les énoncés que je pourrais exhiber, il me semble.

Et je ne vois pas comment augmenter cette liberté.

Alors qu'avec un langage dénombrable, j'ai l'impression que je pourrais exhiber tout énoncé grammaticalement acceptable.

Si ce que j'écris au-dessus à un sens, j'aurais vu là une différence importante quand aux possibilités pour les humains de manipuler la théorie.

Cordialement,

[invite7863222222222]

1) Le théorème d'incomplétude de Gödel n'exprime pas une limite des systèmes formels du premier ordre, mais une limite de la capacité qu'a l'être humain à manipuler ces systèmes formels (hypothèse "récursivement axiomatisable" du théorème).

Je vois à peu quelle limite exprime le théorème de Gödel, mais du coup me vient une idée absolument bête qui est : ne peut-on pas construire une mathématique où l'application de règles de logique est intriquée avec le "genre" de formule qu'il faut démontrer où le "rang" dans lequel on se retrouve dans la démonstration ? Je ne sais pas si cette démarche n'est pas trop arbitraire pour aboutir à quelque chose d'autre que des "tares" mathématiques (théories inconsistantes). D'un autre coté, je sais bien que c'est sûr que tant qu'on a pas mis en évidence un exemple intéressant, dire qu'il y en a ne sera au mieux que de la spéculation.

[Médiat]

l'application de règles de logique est intriquée avec le "genre" de formule qu'il faut démontrer où le "rang" dans lequel on se retrouve dans la démonstration ?

J'avoue que je ne comprends pas du tout ce que tu veux dire, tu pourrais expliciter un peu, s'il te plait. Est-ce que tu proposes une modification dans la notion de preuve ?

[invite7863222222222]

J'avoue que je ne comprends pas du tout ce que tu veux dire, tu pourrais expliciter un peu, s'il te plait. Est-ce que tu proposes une modification dans la notion de preuve ?

Une modification dans la notion de preuve, je dirais que oui ca en serait la conséquence.

Par exemple, dans les démonstrations, on ne pourrait utiliser qu'un nombre pair de Modus ponens. A bien y regarder la démarche me semble finalement pas du tout pertinente et justifiée (pour pas dire un peu stupide).

[Médiat]

(pour pas dire un peu stupide).

Il vaut mieux une idée un peu stupide plutôt que pas d'idée du tout