Pire que cela : ce n'est pas un nombre, jusqu'à Stévin !Envoyé par toothpick-charlie
Je ne comprends pas ce débat dans le débat, il s'agit de faits historiques : il n'y a pas matière à débat, sauf à vouloir comprendre pourquoi 1 a eu tant de mal à s'imposer comme nombre, ce qui est le (seul) but de ce fil.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cette affirmation étant quelque peu péremptoire, elle est probablement fausse... je viens de regarder ce qu'en dit Diophante, il n'en dit rien. Mais le nombre 1 intervient à plusieurs reprise comme solution au même titre que d'autres nombres. Difficile de croire qu'il n'était pas vu comme un nombre.
En terme de représentation, il y a deux nombres bien particuliers :
l'unité 1 et la base 10 utilisée pour représenter ces nombres.
On peut squeezer l'unité 1 si on admet 10^0.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
T'as du tomber sur une des premières séries où la réglette 0 avait été oubliée.PS: J'ai "travaillé" avec des très jeunes avec les règlettes Cuisenaire ; très intéressant de voir se mettre en place une conceptualisation "non écrite" de certains aspects de l'arithmétique. (Et il n'y a pas de réglette Cuisenaire de longueur 0)
Je peux t'en envoyer quelques unes. (Je fais cadeau des frais de port.)
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Certes, mais ensuite ils mettaient 10 milliards de réglettes de longueur 0 (disant que cela permettait de couvrir beaucoup d'exercices) dans le lot. Pas chères, chacune facturée 0,0001 centimes d'Euro, une misère (et correspondant à une marge ridicule: pas plus que 0,0001 centime d'Euro par pièce). Mais j'ai préféré prendre un vieux modèle en seconde main, plus à la portée de mes moyens.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour à tous, bonjour très cher Médiat
Ce que vous nous apprenez là sur le 1 est proprement stupéfiant. Je savais que le zéro posait problème, et j'avais entendu (lors d'un séminaire psy) que le "deux" n'en posait pas, contrairement au zéro et au un; mais je n'avais jamais compris pourquoi le "un" posait une telle difficulté.
Le fait que le "un" soit ce par quoi on énumère est sans doute une piste à explorer.
Pour Pythagore, le Un est l'équivalent de dieu - il est à l'origine de tout: d'abord de la Dyade (le "deux") , puis, leurs combinaisons engendrent les entiers naturels.
Peut-être donc que le statut métaphysique particulier de l'Un entre t'il en ligne de compte dans la résistance à l'accepter comme "nombre comme les autres".
J'ignore ce qu'a pu dire Aristote sur le sujet, mais on sait que son autorité a été d'un poids écrasant pour la pensée, pendant des siècles (c'est sous son autorité qu'agit Kronecker contre les transfinis).
Amanuensis (j'ai lu plus haut vos interrogations sur la façon dont on peut conceptualiser le zéro et vous indiquiez qu'il vous semblait difficile de le définir autrement qu'en en passant par la soustraction- pardonnez moi si j'ai mal compris) : Frege propose cette définition du "zéro" : " l'extension de tout concept "équinumérique à tout concept contradictoire"" . Frege prend la peine de préciser que derrière l'expression "extension du concept" il ne faut pas entendre "les objets subsumés sous cette extension", mais l'extension elle même.
Bonjour,
J'avais lu (mais je ne sais plus trop où) que le nombre (1) pouvait se définir comme la différence entre le pair (2) et l'impair (3), autrement dit la différence entre les deux premières bases naturelles de comptage. (Du genre, le 1 n'est pas un nombre mais le générateur des nombres)
Si on refuse la différence, on peut aussi l'obtenir simplement par (2+3)/5, en n'utilisant que les trois premiers nombres premiers.
Le (1) est particulier chez les égyptiens et leur fraction égyptienne.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour très cher karlp (je vous attendais avec impatience)
Oui, c'est la piste qui mène aux pythagoriciens pour lesquels "1 est l'unité des nombres" de la même façon que "mètre est l'unité de longueur". Une autre façon de le dire : 1 est une unité de mesure pas une chose mesurée (2 est mesurée par 1)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, c'est ainsi que le voyaient les pythagoriciens (sans utiliser, à ma connaissance, le mot "générateur").
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Grand merci pour ces références !!
Aristote, ou plutôt les aristotéliciens, est/sont vraisemblablement le(s) coupable(s).
Il est fort possible qu'Aristote n'ait fait que rationaliser des préjugés antérieurs (mais il devient LA référence incontournable du monde chrétien à partir de Thomas d'Aquin): Platon déjà fait mention du refus des pythagoriciens de diviser l'unité (je crois qu'on trouve ça dans le livre VII de la République, juste après la très célèbre allégorie de la caverne); il dit même que cela provoque leur hilarité !
Le dialogue intitulé "Parménide" offre peut être une explication possible à ce refus de considérer l'un comme nombre. C'est un dialogue assez stupéfiant dont quelques spécialistes vont jusqu'à se demander si ce n'était pas une sorte de plaisanterie. On y trouve des réflexions du type "si l'Un existe , alors il possède l'être ; mais il doit aussi posséder l'unité. Donc l'UN possède à la fois l'unité et l'être: il est donc double et n'est donc pas Un... etc". Il en ressort que l'Un échappe à la saisie par les plus hautes facultés intellectuelles de l'homme.
Vous connaissez sans doute cette légende qui raconte que le pythagoricien qui découvre que l’hypoténuse du triangle isocèle dont les côtés égaux mesurent "un" ne peut s'exprimer sous la forme d'un rapport entre entiers naturels est lui même retrouvé mort peu de temps après (suicide ou meurtre). JP Delahaye rappelle que les pythagoriciens avaient conservé secrète la démonstration et sa conclusion. L'apeiron, l'indéfini, l'infini, le multiple étant alors considérés comme des équivalents du diable dans la pensée chrétienne.
C'est très physique cette façon de voir.
Gagne-t-on quelque chose d'intéressant à faire ainsi? En contrepartie, j'imagine qu'on perd plein de bonnes propriétés?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Je ne pense pas qu'un seul mathématicien continue de voir les choses ainsi aujourd'hui.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On ne gagne rien et même , au contraire : on constate que les préjugés (qui devaient correspondre aux "évidences" de l'époque) constituent un obstacle (au moins potentiel).
Mais c'est justement cela qui est intéressant : comprendre comment de fausses évidences ont pu entraver les progrès de la connaissance pourrait peut-être nous aider à mieux nous défendre de nos fausses évidences actuelles.
... un nombre en lui-même est comme l'argent, n'a pas d'odeur, est une idée : non une chose au sens métaphysique du terme.
Ceci explique pour partie l'idée d'infini en mathématique : par l'idée ou la pensée abstraite il est toujours possible d'aligner des chiffres les uns à la suite des autres, sans fin, sans jamais s'arrêter ... "à l'infini" ...
==> l'idée mathématique simplistissime ou simplette d'infini au sens premier du terme d'où proviennent les histoires mathématiques d'infinitésimalité par ailleurs passablement floues ou mal définies {à partir de quand a-t-on de l'infinitésimal puisqu'on peut toujours réduire quelqu'épaisseur d'intervalle sans jamais la rendre nulle}. { le second sens étant celui d'atemporel au sens où les essences mathématiques (Pythagore etc.) ont toutes les raisons d'être dites atemporelles}
Le mathématicien dans sa petite tête peut aligner des nombres aussi grands ou petits qu'il veut, il ne s'arrête jamais d'aligner des nombres aussi grands ou petits qu'il veut mais il n'a pas la réponse à la question de l'infinité de l'univers physique pour autant.
Mais tout nombre est issu de quelque expérience sensible ou de son souvenir.
Pour faire un système de numération il faut au moins deux "objets" distincts : sinon distincts dans la réalité au moins dans l'idée ou dans le souvenir des mathématiciens.
Les physiciens sont autrement plus réalistes, jonglent avec des choses non seulement avec des idées ou des souvenirs, collent des unités aux nombres : manient des mètres, des ampères, des volts des newtons etc. autant de choses au sens métaphysique du terme.
Ensuite la question qui se pose dans ces histoires abracadabrantesques de grains de sable est de savoir ce qu'est un grain de sable, véritablement l'unité mathématique.
Voici le début d'un texte de Théon de Smyrne extrait du livre Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon :
il est un peu long mais me parait utile pour le présent sujet et parle de l'unité, de la monade et de ses rapports avec les autres nombres chez Platon. La suite du texte peut être consultée dans le lien mis à la fin.
Arithmétique
de l'un et de la monade
Le nombre est une collection de monades, ou une progression de la multitude commençant et revenant à la monade (par l’addition ou la soustraction successive d’une unité). Quant à la monade, c’est la quantité terminante — principe et élément des nombres — qui, une fois débarrassée de la multitude par soustraction, et privée de tout nombre, demeure ferme et fixe: il est impossible de pousser plus loin la division. Si nous divisons en plusieurs parties un corps sensible, ce qui était un devient plusieurs, et si l’on soustrait chacune des parties, il se terminera à un; et si cet un, nous le divisons de nouveau en plusieurs parties, il en sortira la multitude, et en enlevant chacune de ces parties, on reviendra à un, de sorte que ce qui est un, en tant qu’un, est sans parties et indivisible.
Tout autre nombre étant divisé est diminué et réduit en parties plus petites que lui, comme 6 en 3 et 3, ou en 4 et 2, ou en 5 et 4. Ce qui est un, dans les choses sensibles, si on le divise, est diminué à la manière des corps, et par le partage qu’on en fait, il est divisé en parties plus petites que lui; mais il augmente comme nombre; car, à la place de ce qui était un, il y a plusieurs. C’est d’après cela que ce qui est un est indivisible. Nulle chose, en effet, ne peut être divisée en parties plus grandes qu’elle-même. Mais ce qui est un, divisé en parties plus grandes que l’entier, se divise à la manière des nombres en parties égales en somme) à l’entier. Par exemple, si un corps, unité sensible, est divisé en six parties, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ces parties sont égales à l’unité; mais, si on le divise en 5 et 2, les parties sont plus grandes que l’unité; en effet, 1 et 2, comme nombres, surpassent un. La monade donc, en tant que nombre, est indivisible. Si elle est appelée monade, c’est, ou bien parce qu’elle demeure immuable et ne sort pas des limites de sa nature; en multipliant, en effet, la monade par elle-même, nous aurons toujours la monade : une fois un donne toujours un; et, si nous multiplions la monade jusqu’à l’infini, elle restera toujours monade. Ou bien encore, elle est appelée monade, parce qu’elle est séparée et mise seule en dehors de la multitude des autres nombres. Comme le nombre diffère de ce qui est nombré, de même la monade diffère de ce qui est un. Le nombre, en effet, est une quantité intelligible, comme la quantité 5 et la quantité 10, qui ne sont pas composées de corps sensibles, mais de choses intelligibles. Quant à la quantité nombrable, elle se trouve dans les choses sensibles telles que 5 chevaux, 5 bœufs, 5 hommes. Donc la monade est l’idée d’un un intelligible, lequel un est indivisible. Quant à l’un qui se rencontre dans les choses sensibles, on le dit un en soi, comme un cheval, un homme.
Source remacle.org
Cher Médiat,
N'as tu pas, quelque part, l'impression d'avoir ouvert la boîte de Pandore
Bonsoir,
Ce que je n'avais pas prévu c'est que Pandore elle-même viendrait faire un tour iciN'as tu pas, quelque part, l'impression d'avoir ouvert la boîte de Pandore
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir
On trouve une formulation très proche chez Moderatus de Gades (postérieur à Théon):
Un nombre est un système d'unités, ou une progression du multiple a partir de l'unité et une régression qui se termine par l'unité.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
:Bonsoir,
Ce que je n'avais pas prévu c'est que Pandore elle-même viendrait faire un tour ici
… sans sombrer dans les travers des nombres dits « infinis » en effet dans R sans ses nombres dits infinis l’unité mathématique est constitutive de tout nombre.
Dans R privé de ses nombres dits infinis tout nombre peut s’écrire comme le produit d’un entier naturel (N est inclus dans R) par des opérations ne faisant apparaître dans son expression que des uns et des zéros :
32 = 32 fois 1 = 1+1+1 … + 1 <=> sommation de 32 termes égaux à 1.
0,32 = 32 fois 0,01 = 0,01 + 0,01 + … +0,01 sommation de 32 termes égaux à 0,01.
0, 452 154 218 = 452 154 218 fois 0, 000 000 001 = 0, 000 000 001 + 0,000 000 001 + … + 0,000 000 001 452 154 218 termes égaux à 0, 000 000 001.
Etc.
Le 1 y est par ailleurs divisible par n’importe quel nombre non nul :
1/a = b pour a >0 ou a<0 signifie que dans 1 il y a b fois a ou a fois b si c’est commutatif.
Si a>1 alors b s’écrit B fois 0,00 .. 1 autant de zéros qu’il faut, et alors 1/a = b pour a <> 0 signifie que dans 1 il y a A fois 0, 00 .. 1 autant de fois qu’il faut de zéros avant le 1 avec A = aB
Si le reste est nul pas de problème : ¼ = 0,25 signifie que dans 1 il y a (25 fois 4) fois 0,01
Si le reste est non nul indéfiniment on tombe sur un nombre dit « infini » que personnellement j’ai de mal à définir : 1/3 = 0,33333 …
Conclusion :
¼ pas de problème !
1/3 existe-t-il ? Est-il défini ?
Peut-on écrire 1 = (3333… fois 3) fois (0,000 … 1) avec une infinité de zéros, je ne le pense pas puisqu’on rajoute toujours des zéros à perte de vue et que donc le 1 n’apparaît jamais en bout de chaîne.
Mon avis et ma question est que 1 est constitutif de tout nombre sans être lui-même défini car comment définir le 1 alors qu’il est constitutif de tout nombre ?
Bonjour,
Voilà qui commence mal, aucun nombre den'est infini.
Que voulez-vous dire par là ?
Opérations en nombre fini ou infini ?
Comme tous les réels.
Au mieux (c'est à dire en tentant de donner un sens à cette phrase) cela nous ramène plusieurs siècles en arrière (entre 5 et 20), c'est d'ailleurs le sujet de ce fil.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir,:
En cliquant sur le lien "plus" juste en dessous des smilies de base, tu trouveras alors celui-ci :
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 16/05/2014 à 22h55.
hm, est-ce surtout la meilleure façon de voir les choses... ? les nombres sont les symboles "visible" lié a une quantité dénombrable, enfin du moins pour les naturel ... la notion de tas, dois rejoindre la notion d'ensemble... et les ensembles ont pour vertu de lier ensemble des identiques (ayant les mêmes propriétés, pas nécessairement la même identité, (chat, cat, gato, identique, mais non pas la même identité (visible) voir identité versus identiquité/similarité)
0 et 1 n'étant pas des ensembles, mais des nombres représentant deux quantités particulières, l'absence, et la présence unitaire... ils ne peuvent-etre conçut comme des tas... même si l'on peu concevoir, un ensemble de toute les absences, et tout les états unitaires, conçut comme (peut-on parler de singleton ??)
reste que les maths etant un langage, un formalisme permettant de rendre explicite une réalité particulière, (au même titre que le langage musical transcrit et matérialise la musique) le langage mathématique transcrit en nombres les quantités, qu'ils soit dénombrable (naturel, réel, etc) et les indénombrables, les quantités indéfinies (tas, beaucoup, infini, brouette, et femto-brouette, etc...)
O et 1 sont a ce titre non des cas particulier, mais des nécéssités dans l'expréssion de deux concept fondamentaux, l'absence, ou le manque, et pour le 1 la présence d'un etat manifestement unitaire, dans le sens ou l'on décrit une chose comme uen unité (une voiture par exemple, audelà de la multiplicité du puzzle de pièce qu'elle se trouve-etre, ou pire atomique)
Sans doute pas, d'ailleurs ce n'est pas la façon moderne de voir les choses, c'est de l'histoire, et j'ai pu constater que pour certains cette compréhension perdure.
Oui et Non, oui si on prend ensemble dans un sens, à la fois naïf et usuel, non si on pense à la théorie des ensembles, c'est d'ailleurs à cause de ce "Non" que je n'ai pas utilisé le mot "Ensemble".
Au sens naïf et usuel du mot ensemble, sans doute, au sens mathématique, absolument pas
de la même façon que 2 n'est pas un ensemble mais un nombre, 0 et 1 n'ont rien de particulier ici (si on pense 2 comme un ordinal, c'est bien un ensemble, mais alors 0 et 1 aussi : toujours rien de particulier ; on peut d'ailleurs noter que le formalisme ensembliste gomme totalement la "difficulté" à concevoir les tas de 0 ou de 1 objet).
Les mathématiques ignore tout du mot "Réalité"
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il n'y a pas de raison qu'il n'y ait qu'une seule façon de voir les choses, ni même qu'il y en ait une "meilleure". Et voir de plusieurs façons est peut-être plus riche de compréhension que n'en accepter qu'une seule, soit-elle considérée comme la meilleure.
Ce qui serait déplorable n'est pas tant que l'ancienne compréhension persiste, mais qu'elle empêche de voir ou d'accepter la façon moderne.
Dernière modification par Amanuensis ; 17/05/2014 à 08h59.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
J'entendais par "nombre infini" un nombre tel 1/3 qui s'écrit avec des infinités de chiffres, par exemple 1/3 ou pi s'il est démontré que pi à des infinités de décimales, est-ce la définition officielle je n'en sais rien...
comme 1/3 s'écrit (3 fois 3333...) fois 0,000...0"1" avec des infinités de zéros le 1 n'apparaît jamais en bout de chaîne on peut donc peut-être dire qu'1/3 n'est qu'imparfaitement défini alors qu'1/4 est parfaitement défini ... pour ma part j'en reste aux nombres finis, les infinis au sens que je viens de dire semblent par ailleurs difficilement définissables. voyez ici ce qu'en dit un professeur de mathématique d'Alsace :
http://www.maths-et-tiques.fr/index....mbres/l-infini
personnellement je souscris à la définition aristotélienne de "l'infini potentiel" ... je crois que c'est là qu'il faut chercher pour définir l'infini, mathématique ou autre ...
la question au fond ne serait pas de savoir est-ce donc un tas de sable mais n'est-ce donc pas un tas de sable, la question serait de savoir ce qu'est le 1 ou un grain de sable ou un point en géométrie affine ...
Peut-être peut-on dire :
1) si 1 est défini alors tout nombre est défini
2) si 1 n'est pas défini alors nul nombre n'est défini
le fait d'avoir 1 qui ne serait pas défini n'empêcherait pas de l'utiliser comme en géométrie affine les points qui ne sont pas définis n'empêchent pas de faire de la géométrie affine ...
bonne journée
Donc en fait vous parlez des nombres ayant un nombre fini de décimales, autrement dit, quand vous écrivez que "Dans R privé de ses nombres dits infinis tout nombre peut s’écrire comme le produit d’un entier naturel (N est inclus dans R) par des opérations ne faisant apparaître dans son expression que des uns et des zéros" vous écrivez que tout nombre ayant un nombre fini de décimales peut s'écrire sous la forme
Je suis perplexe sur la pertinence de ce texte, en particulier à cause de la phrase :
dont on peut même remettre en doute l'existence.En mathématique les deux notions d'infini potentiel et d'infini actuel cohabitent très bienpersonnellement je souscris à la définition aristotélienne de "l'infini potentiel" ... je crois que c'est là qu'il faut chercher pour définir l'infini, mathématique ou autre ...
L'arithmétique usuel ne "définit" que le 0 et non le 1, et d'ailleurs on pourrait définir la même arithmétique en définissant exclusivement 17.1) si 1 est défini alors tout nombre est défini
2) si 1 n'est pas défini alors nul nombre n'est défini
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Aucun mathématicien ne se pose ce genre de question à savoir si 1/3 admet une représentation avec un nombre infini de chiffres ou non. En effet 99,9 % des professionnels des Mathématiques n'utilisent pas l'infini en tant que tel. L'axiome de l'infini qui stipule l'existence d'un ensemble infini appartient bien à la théorie des ensembles (*) mais n'est jamais utilisé en général sauf par les spécialistes de la théorie des ensembles et des structures fondamentales. Toutes les mathématiques classiques se contentent de l'infini potentiel.J'entendais par "nombre infini" un nombre tel 1/3 qui s'écrit avec des infinités de chiffres, par exemple 1/3 ou pi s'il est démontré que pi à des infinités de décimales, est-ce la définition officielle je n'en sais rien...
Voici ce qu'on dit à titre d'exemple en Terminale S :
Pour tout a>0 petit il existe un N entier naturel à partir duquel |1/3 - 0,333333333(avec n fois le "3")|<=a
Cette phrase mathématique définit ainsi la représentation décimale illimitée du nombre 1/3.
On ne parle jamais de "l'infinité des décimales de 1/3" qui n'est pas définie dans les mathématiques classiques. Ceci pourrait bien sûr se faire mais pourquoi s'encombrer d'une notion qui aurait toutes les chances de na pas servir à grand chose dans l'activité mathématique habituelle.
(*) Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles.
Bonjour,
Je crois Thomas que vous confondez ici le "nombre" avec le "chiffre". C'est le chiffre qui est la représentation matérielle du nombre.
Les nombres représentés par "0" et "1" ne sont pas moins les cardinaux ou les ordinaux d'ensembles que les autres nombres.
Définir que le zéro ou que tel nombre plutôt que tel autre c est avoir en tête le un. Le un est partout on y revient par tous les cotes ...
