Je voudrais juste quelques pistes pour cet exo ardu...
Alors, on considère un polynome P à coefficients entiers relatifs : P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1X+a0
1) Montrer que toute racine entière de P, non nulle, divise a0
2)En déduire que le polynome x3-2x2+4x-10 n'a pas de racine entière.
Je n'ai pas du tout l'habitude de travailler avec une variable come degré pour un polynome, donc je suis un peu paumé...
Commence avec des cas particuliers : si n=1, 2 ou 3.
Comment traduire "r est une racine de P" ?
Essaie d'écrire que si l'entier A est racine, alors le polynôme s'écrit (x-A)* un polynôme que tu écriras et où tu t'intéresseras au terme constant.
j'ai essayé avec differents degrés et je conjecture que a0= anR1R2...Rn-1Rn
Encore faut il le demontrer
Par récurrence peut être ?
Faut pas récurer partout, il y a plus simple, notamment de regarder le produit (x-A) par un autre polynôme qui commence par a_n x^(n-1) et finit par b_0
Faire x=0. que voit-on ?
1.
P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1X+a0
ecrire:
P(x)= an(x-x1)(x-x2).......(x-xn)
Par identification:
a0=an.x1.x2.........xn.(-1)**n
donc toute racine entière xi divise a0
De plus :
Somme(xi)= -(an-1/an)
Somme(xixj)= (an-2/an)
2.
Le polynome a t'il des racines entiéres?
x1.x2.x3= 10 = 1.2.5
x1+x2+x3=2
qui aurait pour solutions: -1,-2,+5
par contre:
Somme(xixj) devrait alors être égal à -13
alors que an-2/an= a1/an= 4
Donc le polynome n'a pas de racines entiéres
DESOLE POUR LA NOTATION
1. si m est racine de P alors P(m)=0 et tu factorise par m pour déduire que m devise a0 suffit d'écrire que
2. les diviseurs de 10 sont {....} soit di l 'un d'eux calcule P(di)
