exponentielle

[invitee0ecf794]

Bonjour à tous,

Voila j'ai un petit problème avec cette fonction:

On cherche la limite en +infini de
f(x) = (x+1)e^-x

On obtient une forme indéterminée ( 0 * infini) mais je n'arrive pas à la transphormer...

Merci d'avance.
Math$.
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[invite9c9b9968]

En fait tu dois avoir un théorème de cours qui te dit "l'exponentielle l'emporte sur la puissance" (ici la puissance est 1). Donc la limite va être zéro


Ceci dit, pour le démontrer proprement, tu peux faire comme ça : soit f(x) = xe^-x sur . f est alors décroissante pour x supérieur ou égal à 1 (facile à vérifier) et minorée (par zéro). Elle converge donc vers une limite l supérieure ou égale à zéro (cette propriété se montre aisément par caractérisation séquentielle de la limite)

Si l était non-nul, alors pour x=l on aurait le^-l supérieur ou égal à l, soit en divisant par l e^-l supérieur ou égal à 1, ce qui n'est possible que pour l négatif ou nul... Donc contradiction avec l'hypothèse l non nul, donc l est bien nul et c'est gagné

[invitee0ecf794]

Je suis désolé mais j'ai du mal à comprendre votre raisonnement...

Ne faut il pas changer l'écriture de la fonction f pour ne plus avoir de forme indéterminée ???

Merci.
Math$.

[invite9c9b9968]

Qu'est ce que tu n'arrives pas à comprendre dans mon raisonnement ? Je peux te l'expliquer en détail si tu le souhaites

Sinon il n'y a aucun moyen de transformer la fonction (ou du moins à ma connaissance), il faut utiliser le théorème que je t'ai indiqué (il doit sûrement être dans ton cours, sans démonstration à mon avis).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0ecf794]

Vous dites que l'exponentielle l'emporte sur la puissance donc c'est comme si l'on ne concidérait que l'exponentielle ?

Mais la limite quand x tend vers + l'infini de la fonction exponentielle c'est + l'infini et non pas 0 ????

Je ne comprend pas non plus pourquoi f est décroissante pour x supérieur ou égal à 1 ...
et aussi le passage:
"soit en divisant par l e-l supérieur ou égal à 1, ce qui n'est possible que pour l négatif ou nul... Donc contradiction avec l'hypothèse l non nul, donc l est bien nul et c'est gagné "

on voit que les vacances sont bien passées !!!!
Merci beaucoup de votre aide.
Math$.

[invite9c9b9968]

Ici tu n'étudies pas e^x mais e^-x, or , ça c'est du cours

Ah oui sinon désolé il y a une confusion entre ta fonction f et celle que j'ai nommée f... Oublie f et écrivons g(x) = x e^-x, je t'affirme que g est décroissante sur et c'est évident (il suffit de dériver et d'étudier le signe de la dérivée).


Ensuite, lorsque tu supposes l non nul, tu as le droit de diviser une inégalité par l, et comme l est positif ça ne change pas le sens de l'inégalité.

Ceci dit, je viens de me rendre compte que cela ne prouve pas que l est nul, cela prouve que l est inférieur strictement à 1...

[invitee0ecf794]

Désolé pour le retard ( petit problème informatique !!!).
Maintenant je voit ce que vous vouliez faire ...
Merci je vais y réfléchir.

Math$.