DM de maths sur les complexes

[invite54a4b351]

Merci de m'aider pour ce problême des plus ... ardus
Alors voila : ]-pi;pi[
z(a)=1/2(e^ia+1)²
1/ Donner une expression simplifiée du nombre complexe u=(e^ia+1)e^-ia/2
Alors là, j'ai trouvé u=2cos(a/2)
ça, normalement c'est bon. Ensuite, c'est là que ça ne va plus.
2/ Donner alors un argument de e^ia+1, puis caluler le module et un argument de z(a).
Alors pour ce qui est de l'argument de e^ia+1, j'ai a/2, mais pour la suite ...
Merci de m'aider !!!

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[invite54a4b351]

pour ce qui est de la notation, j'ai pris a pour l'angle normalement appelé teta ou encore alpha, pour que ce soit plus pratique.

[invite54a4b351]

Merci de m'aider !

[invitec053041c]

Tu as l'argument de (exp(ia)+1), donc l'argument de son carré, facile...
de même, u=(eia+1)e-ia/2 = 2cos(a/2)
tu connais le module de (2cos(a/2)), tu connais le module de exp(-ia) donc tu connais le module de exp(ia)+1, donc de son carré...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54a4b351]

Alors je continue le problême, parce que je vois pas trop la fin ...
Soit A l'affixe 1 et M le point d'affixe z(a). On note H le projeté orthogonal de A sur la droite (OM).
Exprimer les coordonnées x_H et y_H de H en fonction de a.
Alors là, je ne vois pas comment faire ...
Je precise qu'on nous a fait calculer z(pi/6) sous sa forme exponentielle; ce qui donnais e^ipi/6*2*cos²pi/12 ... je ne sais pas si ça aide, mais bon !
Merci de m'aider !