Exercice de trigonométrie: 1°S.

[VelocityKendo]

Bonjour,

Voici l'énoncé de l'exercice entier, très cours, seulement deux questions:

1) Démontrer que pour tout x appartenant à [0;+∞[, on a:
sinx ≤ x.

2)En déduire que pour tout x appartenant à [0;+∞[, on a:
1 - (x²/2) ≤ cosx ≤ 1.





J'ai réussi la première question ! Voici la façon dont j'ai procédé:

Si sur [1;+∞[ , sinx est vérifiée, c'est parce que:
-1 ≤ sinx ≤ 1.

Sur [0;1], considérons une fonction f ( x ) = sinx - x
Nous avons f ' ( x ) = -cosx - 1
Nous encadrons ensuite cette dérivée:
-2 ≤ f ' ( x ) ≤ 0
Donc f ' ( x ) = 0 n'as pas de solution dans [0;1], sur [0;1] f ' ( x ) < 0 donc f est décroissante sur [0;1],
f ( 0 ) = 0 .. nous sommes donc en mesure de conclure que f ( x ) ≤ 0 et donc que sinx ≤ x .

Voilà.

Maintenant, j'ai quelque difficultés avec la question 2 . Déjà je ne vois pas en quoi c'est une déduction à partir de la question 1.. Cependant j'ai la sensation qu'il faut utiliser la formule : cos²x + sin²x = 1 .. Voilà, quel est donc le réflexe à acquérir dans ce genre de question ? Si quelqun pouvait me mettre sur la voie, je lui en serais très reconnaissant.
-----

[Nox]

Bonjour !

Simple question : c'est ton ou ta prof de maths en 1ère S qui te donne ça ? Parce que ça se fait bien avec des outils un peu plus performants (convexité et développements limités)...

Pour la 1ère bonne idée d'avoir différencié l'intervalle [0;1] dans ton étude . Cependant ton "donc f'(x)=0 n'a pas de solution sur [0;1]" est hasardeux : il faudrait dire "comme f'(x)=0 n'a pas de solution sur [0;1] car f'(x)=0 signifie cos(x)=-1 ce qui n'est jamais vérifié sur [0;1]" (éventuellement prouvé par des inégalités et la monotonie de cos) (au passage si un post-bac passe ici je sais qu'il faudrait ête un peu plus rigoureux notamment sur le "signifie" au lieu de l'utilisation de l'équivalence - mais au lycée ce genre de problème n'est pas considéré ). Tu peux ensuite conclure comme tu l'as fait.

Pour la deuxième question , tu n'as même pas besoin d'utiliser la relation fondamentale des cos et sin. Il suffit de réaplliquer la même méthode à quelque chose près. L'inégalité de droite ne pose pas de problème. Pour montrer celle de gauche tu te ramènes de la même manière à l'étude d'une fonction dont tu montres qu'elle est positive (et tu remarqueras le lien entre les deux questions lorsque tu feras l'étude des vairations de la dite fonction - l'inégalité de la première question ne permet-elle pas de conclure quant au signe de la dérivée ?)

Cordialement,

Nox

[cedbont]

Le "en déduire" doit te mettre sur la piste : compare les différents termes (tu peux déjà oublier la partie cos(x)=<1 qui est immédiate).
Tu as : x et sin(x)
Et : 1-x^2/2 et cos(x).
Il y a un lien !
1-x^2/2 est une primitive de -x et cos(x) une de -sin(x).
Donc, comme (je ne mets pas les intervalles) : sin(x)=<x
On a : -x=<-sin(x)
D'où, il existe une primitive de (-x), F, telle que : F=<cos(x).
On prend F telle que F(0)=1=cos(0)=<cos(0).
D'où : F(x)=1-x^2/2
Ton problème est résolu.

[Nox]

Rebonjour !

cedbont je voulais juste préciser que les primitives et les intégrales ne sont pas au programme de 1ère S mais plus de TS d'où mon étude de fonctions ...

Cordialement,

Nox

[A voir en vidéo sur Futura]

[VelocityKendo]

Le "en déduire" doit te mettre sur la piste : compare les différents termes (tu peux déjà oublier la partie cos(x)=<1 qui est immédiate).
Tu as : x et sin(x)
Et : 1-x^2/2 et cos(x).
Il y a un lien !
1-x^2/2 est une primitive de -x et cos(x) une de -sin(x).
Donc, comme (je ne mets pas les intervalles) : sin(x)=<x
On a : -x=<-sin(x)
D'où, il existe une primitive de (-x), F, telle que : F=<cos(x).
On prend F telle que F(0)=1=cos(0)=<cos(0).
D'où : F(x)=1-x^2/2
Ton problème est résolu.

Je te remercie infiniment pour cette méthode, je l'ai retenu, comprise et mis dans mes archives pour l'année prochaine.

Bonjour !

Simple question : c'est ton ou ta prof de maths en 1ère S qui te donne ça ? Parce que ça se fait bien avec des outils un peu plus performants (convexité et développements limités)...

Bonjour, Je te remercie également pour tes réponses. C'est mon professeur de mathématiques qui m'a dit que vu j'étais au point sur ce qui est des cours d'en ce moment, je pouvais, pour me cultiver et pour m'assurer la note maximale au prochain devoir, faire cette exercice, si possible avec les outils à notre disposition en première S (je connais un peu les primitives et les intégrales comme a fait cedbont, mais je ne savais pas les utiliser dans des exercices (notamment par manque de réflexe).

L'inégalité de droite ne pose pas de problème.

Je voulais savoir, au niveau de la rédaction, est-ce que, exprimée de la sorte, c'est correct:
cosx ≤ 1 est toujours vrai (Cf la définition fondamentale du cosinus).

Pour montrer celle de gauche tu te ramènes de la même manière à l'étude d'une fonction dont tu montres qu'elle est positive (et tu remarqueras le lien entre les deux questions lorsque tu feras l'étude des vairations de la dite fonction - l'inégalité de la première question ne permet-elle pas de conclure quant au signe de la dérivée ?)

Voici la façon que j'eusse utilisé à partir de tes indications. Lorsque nous sommes en présence d'une inégalité, le réflexe acquis est d'essayer de se reporter à une inéquation par rapport à 0, donc:

1 - (x²/2) - cosx ≤ 0
(-x² - 2cosx + 2) / (2) ≤ 0


Soit u ( x ) la fonction suivante: (-x² - 2cosx + 2) / (2)

Prenons deux points, sur notre domaine de définition, qui ont pour abcisse 0 et 100.
f ( 0 ) = 0
f ( 100 ) = - 4999

On constate que cette fonction est toujours négative ou égale 0. Ainsi, on conclut que:

1 - (x²/2) ≤ cosx

Voilà.


PS: Je commence à me faire du soucis quant au bac .. ce typ d'exercice ne devrait pas me prendre plus de 5 minutes normalement.

[VelocityKendo]

Personne ne sait si c'est juste ?

[VelocityKendo]

S'il vous plaît je vous demande juste un oui ou un non, je ne demande même pas d'aide.

[manimal]

Bonjour VelocityKendo
Pour prouver que 1-x²/2< cosx il faut que tu dérive ta fonction u(x) et que tu trouves le signe de ta dérivée et enfin prouver que u(x)est inférieur ou égale à 0
Cordialement

[Nox]

Je voulais savoir, au niveau de la rédaction, est-ce que, exprimée de la sorte, c'est correct:
cosx ≤ 1 est toujours vrai (Cf la définition fondamentale du cosinus).


1 - (x²/2) - cosx ≤ 0
(-x² - 2cosx + 2) / (2) ≤ 0


Soit u ( x ) la fonction suivante: (-x² - 2cosx + 2) / (2)

Prenons deux points, sur notre domaine de définition, qui ont pour abcisse 0 et 100.
f ( 0 ) = 0
f ( 100 ) = - 4999

On constate que cette fonction est toujours négative ou égale 0. Ainsi, on conclut que:

1 - (x²/2) ≤ cosx

Voilà.


PS: Je commence à me faire du soucis quant au bac .. ce typ d'exercice ne devrait pas me prendre plus de 5 minutes normalement.

Bonjour !

Pour la définition du cosinus je ne m'y aventurerais pas donc j'écrirais sans justifier la deuxième inégalité toujour vraie

Il y a un gros problème pour ta deuxième réponse. Je repasserai ce soir te l'expliquer

Pour le bac ne t'inquiète pas tu as déjà les bases

A ce soir

Cordialement,

Nox

[VelocityKendo]

Bonjour VelocityKendo
Pour prouver que 1-x²/2< cosx il faut que tu dérive ta fonction u(x) et que tu trouves le signe de ta dérivée et enfin prouver que u(x)est inférieur ou égale à 0
Cordialement

Merci de cette réponse. Je le sais que u ( x ) est inférieure ou égale à zéro vu que ça se voit directement en arrangeant l'inéquation. Par contre si j'ai bien compris, le réflexe à acquérir est donc de calculer la dérivé et de faire un tableau de la dérivée et en déduire ainsi les variations de la fonction. Si celle-ci est décroissante de façon monotone, alors on a tout prouvé.

[VelocityKendo]

Bonjour !

Pour la définition du cosinus je ne m'y aventurerais pas donc j'écrirais sans justifier la deuxième inégalité toujour vraie

Il y a un gros problème pour ta deuxième réponse. Je repasserai ce soir te l'expliquer

Pour le bac ne t'inquiète pas tu as déjà les bases

A ce soir

Cordialement,

Nox

Je te remercie infiniment de ton aide précieuse. J'attends avec impatience tes conseils.

Au plaisir .

[manimal]

Re bonjour
En fait quand tu vois que ta fonction u(x) est strictement décroissante tu as juste à calculer le maximum de ta fonction u(x) et tu vas t apercevoir que u(x) est inférieur ou égale 0
Cordialement

[VelocityKendo]

Re bonjour
En fait quand tu vois que ta dérivée est strictement décroissante tu as juste à calculer le maximum de ta fonction u(x) et tu vas t apercevoir que u(x) est inférieur ou égale 0
Cordialement

Ca se calcule les extremums ?? Je croyais que c'était justement grâce à un encadrement que l'on trouvait ceux-ci.

Autre question, qui peut paraître stupide, mais je ne vois toujours pas la différence entre un maximum et un majorant ainsi qu'en un minorant et un minimum. Et à chaque fois que je pose cette question en classe on me dit que l'on se fiche de la différence. J'aimerais toutefois avoir une réponse, claire et précise, pour être aussi rigoureux que possible !

[manimal]

En fait on s aperçoit que la valeur maximale de -x²-2cos(x) +2 est lorsque x=0et donc c est cela ton maximum
Cordialement

[VelocityKendo]

En fait on s aperçoit que la valeur maximale de -x²-2cos(x) +2 est lorsque x=0et donc c est cela ton maximum
Cordialement

Ok merci, c'est ce que j'avais compris en fait mais je l'avais très mal exprimé avec mes deux valeurs prises au hasard.
Merci encore.

[manimal]

Tu vois cela grace à ta dérivée qui est nulle en 0 et négative tout le reste du temps ton maximum est donc pour x=0
Cordialement

[manimal]

Re bonjour Velocity tu as fait une erreur pour ta dérivée de sin(x) -x c est en fait cos(x)-1
La dérivée de sin(x) c est cos(x) et non -cos(x)
Cordialement.

[Nox]

Rebonjour !

Désolé j'étais pressé ce matin ...

* Je t'ai dit qu'il y avait un gros prblème pour ta deuxième réponse. En effet tuy ne peux pas conclure comme ça. Exemple sin(3Pi/2)=-1 et sin(-Pi/2)=-1 deux valeurs négatives. Or de la manière dont tu t'es exprimé cela impliquerai que sin soit toujours négative .. Ce qui est évidemment faux ! (le seul cas où tu utilises des valeurs en certains points est le théorème des valeurs intermédiaires, qui n'a rien a voir avec ce problème-ci, et que tu ne dois pas connaître)
Je reprends donc : le problème dans mon étude des sin qui valent -1 est que sinus n'est pas monotone... Il fautdonc étudier les variations de sinus et on s'aperçoit alors de son erreur. De même dans ton cas tu veux prouver une inégalité. Pour cela tu vas considérer l'étude d'une fonction, et tu vas montrer que celle-ci est de signe constant. Pour cela tu étudies ces variations grâce au signe de la dérivée, comme on te l'as appris lorsque tu as découvert la notion de dérivée. Tu espères alors que tu vas pouvoir conclure sur le signe de ta fonction à partir de son tableau de variations. Ici tu veux montrer que u est toujours négative. Tu calcules u' et pour conclure à propos de son signe tu utilises l'inégalité que tu as montré précedemment. Mais bon tu as compris je pese maintenant pourquoi je t'ai dit qu'il y avait une erreur dans ton raisonnement avec des valeurs prises "au hasard" et qu'il faut retenir que pour établir une inégalité, il faut parfois étudier une fonction et montrer qu'elle est de signe constant.
*Je reviens sur le fait d'utiliser "la définition fondamentale du cosinus". Je ne sais pas ce que tu entends par là. Comment t'as t on défini le cosi,us ? Je doute qu'on te l'ai fait précisément car tu n'as pas encore les notions pour... La seule chose que j'appelerai fondamentale pour les cosinus, c'est la propriété cos²(x)+sin²(x)=1
*Maintenant je vais essayer de t'aiguiller sur les notions d'extremum, de majorant, de minorant. Mais sache que si tu ne comprends pas tout, ce n'est pas grave. Cela demande un niveau supérieur à une 1ère S...Alors oui un extremuim se calcule. Il s'agit par définition des valeurs de x pour laquelle f'(x) s'annule. Tu calcules alors la valeur de f(x) en ses points. Les notions de minimum et de maximum sont donc liées à une fonction, éventuellement seulement de manière locale (c'est à dire pas sur tout l'ensemble de définition de ta fonction mais seulement sur un intervalle plus petit). La notion de minorant et de majorant est plus subtile.
En fait pour un ensemble donné, tu peux définir un maximum, mais par un seul majorant. Par exemple, je prends l'ensemble E={1;3;2}. 5 est un majorant de cet ensemble, car toutes les valeurs de E sont plus petites que 5. Mais 5 n'est pas le maximum de E, car le maximum est par définition le plus petit des majorants, qui est ici 3 . De même le minmum est le plus grand des minorants.
Quand ceci s'applique à une fonction, l'ensemble considéré est l'ensemble des valeurs prises par la fonction, c'est à dire l'ensemble des f(x).

Voilà j'espère t'avoir aidé. Sinon demandes des précisions, j'y répondrais sans problème..

Cordialement,

Nox

[VelocityKendo]

Merci infiniment de ton aide si précieuse, de tes explications, et de ta patience, Nox. Au fait, est-ce que tu pourrais m'expliquer ce qu'est le cosinus ?

Bon sinon, glissons..

J'ai donc fini l'exercice et j'ai trouvé le lien entre la première et la seconde question !!!

Alors, voici ma réponse (finale j'espère) et rédigée; (j'ai aussi quelques problèmes de rédaction dans les matières scientifiques):

J'en déduis que:

[0 ; +∞[

cos ( x ) ≤ 1 est toujours vrai.

Etudions ensuite la première partie de l'inéquation:

1 - (x²/2) ≤ cos ( x ) 1 - (x²/2) - cos ( x ) ≤ 0

Soit u ( x ) = 1 - (x²/2) - cos ( x )
u ( x ) = (2 - x² - 2 * cos ( x )) / 2
u ' = ( w'v - wv' ) / ( v² )

avec: w = -x² - 2 * cos ( x ) + 2
w' = -2x + sin ( x )
et v = 2, v' = 0, v² = 4

donc u' = ((-2x + 2 * sin ( x )) * ( 2 ) - 0)/2²
u' = (-4x + 4 * sin ( x )) / 4
= - x + sin ( x )

(Et oui c'est ici que la question d'avant nous servait !! )


Je pose - x - sin x = 0 ; on voit que S = {0}

Je fais mon tableau:




On en conclut donc que 1 - (x²/2) ≤ cos ( x ) !!!!!

Voilà !! J'espère que tout est dès lors irréprochable !

[manimal]

Salut velocity
Tu as écrit u'=-x+sinx , fais attention c est une erreur d étourderie c est bien -x-sinx comme tu le précises plus tard
Sinon c est tout bon
Cordialement

[VelocityKendo]

Salut velocity
Tu as écrit u'=-x+sinx , fais attention c est une erreur d étourderie c est bien -x-sinx comme tu le précises plus tard
Sinon c est tout bon
Cordialement

Euh non c'est à la fin que je me suis trompé justement !

.. parce que la dérivée de -2cos ( x ) est - 2 * - sin ( x ) = sin ( x )

[Nox]

Bonjour !

Alors pour perfectionner tout ça :
Tu ne peux pas dire on en déduit au début de ta rédaction. Tu dis "on sait que pour tout x dans [0;+infini[ cos(x)=<1" (désolé aujourd'hui ce sera sans latex - j'ai la flemme) et ça suffit (savoir d'où ca vient ne doit pas relevr de tes préoccupations. J'en profite pour te dire que la définition du cos , je ne peux pas te la dire. Même pour moi elle n'est pas encore vraiment sue (du moins pas officiellement par mes cours) donc il faut encore un peu de temps et l'étude des séries je pense.

Ensuite pour te perfectionner " Je pose - x - sin x = 0 ; on voit que S = {0}" me choque un peu : comment le sais-tu ? Il faudrait justement le démontrer par une étude de fonction.. Parce que 0 conveitn se voit mais comment montrer que c'est le seul qui convienne ? De manière générale les "on voit " sont a éviter en maths ... Tu as dans ton cas juste besoin d'écrire u(0)=0 et ainsi ton tableau de variations est complet.. Et là tu peux conclure..

Dernière remarque: la rédaction de la dérivée est un peu trop développée.. Garde u sous la forme d'une somme, dis que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées et dérives chaque terme pour avoir u'. Parce que poser une fonction consatnte pour rédiger une dérivée est plus que rare, aller chercher la dérivée d'un quotient alors que ta fonction est directement une somme est un peu fort...

Voilà mes derniers conseils ...

Cordialement,

Nox

[VelocityKendo]

Bonjour !

Dernière remarque: la rédaction de la dérivée est un peu trop développée.. Garde u sous la forme d'une somme, dis que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées et dérives chaque terme pour avoir u'. Parce que poser une fonction consatnte pour rédiger une dérivée est plus que rare, aller chercher la dérivée d'un quotient alors que ta fonction est directement une somme est un peu fort...
..

Cordialement,

Nox

Oui mais avec 1 - (x²/2) - cos ( x ) j'avais quand même la dérivée de x²/2 à calculer .. donc tant qu'à faire,

à plus tard.

[Nox]

Oui mais avec 1 - (x²/2) - cos ( x ) j'avais quand même la dérivée de x²/2 à calculer .. donc tant qu'à faire,

à plus tard.

Bonjour,

Personnellement je pense que la dérivée de x²/2 n'est pas celle d'un quotient, mais celle d'une constante fois une puissance de x donc quelque chose de la forme k*u^n qui se dérive immédiatement en k*u'*u^(n-1) avec u(x)=x (ou directement x^2 qui se dérive en 2x si tu veux..) Mais de là à aller chercher la formule d'un quotient je trouve celà un peu abusif (et d'ailleurs je ne dois pas être le seul "matheux" à le penser...) Maintenant si tu prefères le rédiger comme ça libre à toi ce n'est pas faux mais comme dirai ma chère prof de maths de l'an passé : c'est prendre un bulldozer pour faire un truc faisable avec une pelle..

Cordialement,

Nox

[VelocityKendo]

Bonjour,

Personnellement je pense que la dérivée de x²/2 n'est pas celle d'un quotient, mais celle d'une constante fois une puissance de x donc quelque chose de la forme k*u^n qui se dérive immédiatement en k*u'*u^(n-1) avec u(x)=x (ou directement x^2 qui se dérive en 2x si tu veux..) Mais de là à aller chercher la formule d'un quotient je trouve celà un peu abusif (et d'ailleurs je ne dois pas être le seul "matheux" à le penser...) Maintenant si tu prefères le rédiger comme ça libre à toi ce n'est pas faux mais comme dirai ma chère prof de maths de l'an passé : c'est prendre un bulldozer pour faire un truc faisable avec une pelle..

Cordialement,

Nox

Ce qui est incroyable c'est que dans mon cours à aucun moment les constantes ne sont mentionnées. Mais d'après ce que j'ai compris, tu veux dire qu'une fraction du type:
(3x)/4
doit être considérée comme:
3/4 * x
?

[Nox]

Rebonjour !

Tout à fait ! Et la dérivée de ku c'est ku' ie (ku)'=k*u' où k est une constante (ça se "démonter" en utilisant la formule de la dérivée d'un produit et en utilisant le fait que k'=0 (). Je pense que tu sais que la dérivée d'une fonction constante est nulle - sinon il suffit de revenir à la définition de la dérivée en un point...

Voilà !

Cordialement,

Nox

[VelocityKendo]

Bonsoir,

ce que tu essaies de dire est donc que la dérivée d'une fonction telle que: x²/2 est égale à 0 ?
Par exemple
u= 1/2 * x²
u' = 0 * 2x = 0 ?

[manimal]

Salut velocity
(uv)'=u'v+uv'
Cordialement

[VelocityKendo]

Salut velocity
(uv)'=u'v+uv'
Cordialement

Salut, et oui je connais cette formule, c'est juste que je ne comprend pas ce que Nox veut dire.

[manimal]

Salut
Ce qui veut te dire c est en fait :
f(x)=constante
f'(x)=0
Lorsque tu as f(x)=constante*u(x)
f'(x)=constante*u'(x)
Cordialement