Oui, les dérivées des fonctions trigonométriques et hyperboliques réciproques sont amusantes à montrer.
Ca prend 2 lignes lorsqu'on connaît la relation entre la dérivée de la réciproque et de la fonction .
Si tu veux cette relation, pars deet dérive la
Bref, un peu hors programme les applications de ça, mais c'est bon à savoir !
Et voilà, même pas drôle Ledescat, tu lui as donné l'astuce
Soit dit en passant, partons plutôt de
A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
Ah mince, il fallait pas que je le dise?
Vous pouvez supprimer mon post si besoin, ça ne me gêne pas
Bonjour et merci,
Excusez moi j'ai mis bcp de tps à vous répondre mais j'avais bcp de choes a faire.
Alors voici une démo en pièce jointe pour la fonction arccosinus, apres pour arcsinus je fais la même chose à qq details pres.
Je pense que ca tient la route parce que j'ai fait un programme qui trace la derivée d'une fonction a partir de cette fonction (en fait ca donne pas son équation, ca trace le graph en calculant les nbs derivés de pls points de la courbe) et je trouve, a 10^-6 pres, la même chose (en fait ca fonctionne en calculant des limites quand h tend vers 0 ... et pour des histoires de denominateur nul, on ne peut pas mettre h<10^-12).
Il y a peut etre certains points qui ne sont pas très rigoureux (j'ai fait ca assez rapidment, excusez l'écriture
Merci d'avance.
Edit: ne faites pas attention aux "dans" à l'avant derniere ligne, j'avais rajouté "dans ce cas", j'ai effacé et j'ai oublié d'effaer le "dans" avec.
Bonjour,
Dans un autre topic au sujet des calculs de cosinus a la main ( http://forums.futura-sciences.com/thread150090.html ), on a donné cette formule:
On m'a donné un exemple et j'ai vu que ca convergeait tres rapidement ! c'est impressionnant ! je ne pensais pas qu'on pouvait obtenir un cosinus avec autant de précision en si peux de clalculs (donne cos(0.2) avec autant de précision que la calculette avec les 4 premiers termes).
Est-il possible de démontrer une telle formule a mon niveau? Apparamment, il n'y a rien, en dehors des factorielles, que je n'ai pas vu, mais je me doute que la démo dmande peut etre plus que ca.
Qu'en pensez vous?
Merci d'avance.
Euh à vrai dire oui, c'est difficile à ton niveau d'être démontré! J'ai moi-même énormément de mal à me rappeller de la démonstration du développement de Taylor d'une fonction en un point:
Avis aux autres.
Bnsr,
Hum hum, dévelloppements de Taylor, déjà entenu parler et d'apres ce que j'avais compris ce n'est pas ce qu'il y a de plus simple.
Tant pis, je crois que ca ne sera pas possible, je verrai ca un peu plus tard.
Dans tout ce qu'on a vu encours, j'ai a peu près tout démontré, mais il me reste quand même certaines questions:
1) Il y a un résultat que je n'ai pas pu démontrer: si xo es une racine de P(x), alors P(x) est factorisable par (x-xo). J'avais deja demandé mais apparamment, ce n'est pas de mon niveau, mais intuitutivement j'arrive a me l'imaginer: effet, si P(x)=0 pour x=xo, alors on peu ecrire qe P(x)="qqch qui s'annule en xo"*"autre chose", or qqch qui s'annule en xo peut s'écrire (x-xo). C'est pas tres rigoueux,mais on fait ce qu'on peut.
2)Autre petite chose aussi, tres intuitive (je pense que ca se démontre a plus haut niveau): si la dérivée es positive, la fonction est croissante, si elle est négative, la fonction est decroissante. C'était écrit "admis" dans notre livre.
3)Une autre chose qui me préoccupe depuis qq jours: comment montrer que pour deux tiagles semblables, si on multiplie un côté par k, les autres sont également multipliés par k. Parce que on peut le faire avec Al-Kashi et compagnie, mais Al Kashi depend de la trigo et la trigo depend de cette propriété (enfn moi j'ai émontré ca avec): en effet, dans un cercle trigo de centre O (ou trangle rectangle d'hypothénuse 1), on a cos(x)=OH (valeur algébrique), avec H projeté orthonormal de M sur l'axe (Ox) (M point du cercle tel que l'arc ... = x). On généralise mantenant: OM=n, on a alors cos(x)=coté adjacent/hypothénue, car quand on multiplie la longueur de l'hypothénuse par n, on multiplie également celle du côté adjacent par n, et ca ca dépend de cette propriété sur les tiangles semblables.
Je cherche donc une démo qui ne s'appuie pas sur Al-Kashi.
4)Et comme je parle de cercle (trigo), il y a toujours une même question, comment montrer que la circonférence d'un cercle de rayon r est
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance.
heu, je peux pas beaucoup t'aider.
Mais pour la 3eme tu à essayer avec la relation des sinus ?
Sinon, on peut essayer de partir du fait que quand on multiplie les côtés, les angles eux ne changent pas?
Et pour la 2eme, les dérivé donne le coefficient directeur de la tangente. Donc, si la courbe est croissante, la tangente aura un coefficient directeur positif, et si la courbe est décroissante, la tangente aura un coefficient directeur négatif. Aprés, je sais pas trop où chercher...
Ca se fait par récurrence assez facilement non ?Envoyé par Ledescat
Euh à vrai dire oui, c'est difficile à ton niveau d'être démontré! J'ai moi-même énormément de mal à me rappeller de la démonstration du développement de Taylor d'une fonction en un point:
Avis aux autres.
Bonsoir,
Oui pour les dérivées et les coeff directeurs, c'est ca, mais je veux dire que c'est intuitif comme idée, enfin bon c'est suffisamment intuitif pour ne pas avoir a le démontrer, du moins a mon niveau.
Pour la 2, en fait le pb c'est que la relation des sinus ca vient de l'air du triangle (de cotés a,b,c, angle opposé a c=C angle opposé a b=B et angle opposé a a=A) avec la trigo, c'est a dire Aire=(1/2) bc sin(A)=(1/2) ab sin(C)=(1/2) ac sin(B) et ca ca vient directement de la trigo (aire= (base * hateur)/2, or on peut expreime la hauteur en fonction d'un coté et de l'angle avec le sinus), et la démo sur les triangles semblables me sert jusement a démontrer que sinus=coté opposé/hypothénuse.
Bonjour.
Dérivée strictement positive ne signife pas que f est croissante sur un voisinage de ce point ( cf f(x)=sin(1/x) si je ne m'abuse).
Ensuite, pour la circonférence du cercle, tu peux utiliser la méthode d'Archimède, c'est-à-dire la rectification du cercle par des polygônes réguliers.
Ici, je te montre les polygônes inférieurs.
A la n-ième itération, tu inscrits dans ton cercle un polygone à 2^n côtés (car on ne sait géométriquement que "couper" un angle en 2, et pas en 3...)
Les 2Pi (radians!) du cercle sont partagés en
Tu te rends compte facilement que chaque côté du polygône a une longueur de R.sin(Pi/2^n), et il y a 2^n côtés.
Donc si tu appelles Sn le périmètre du polygône à la n-ième itération,
Si tu fais tendre n vers l'infini, cela revient au même de dire que 2^n tend vers l'infini, et donc que
Ainsi:
Cordialement.
Nota: je l'ai fait ici pour un cercle de rayon 1. Il suffit de multiplier Sn par R pour revenir au résultat
Bonjour,
Oui j'ai un exo dans un bouquin la dessus on arrive a trouver une suite qui converge versEnsuite, pour la circonférence du cercle, tu peux utiliser la méthode d'Archimède, c'est-à-dire la rectification du cercle par des polygônes réguliers.
Ici, je te montre les polygônes inférieurs.
A la n-ième itération, tu inscrits dans ton cercle un polygone à 2^n côtés (car on ne sait géométriquement que "couper" un angle en 2, et pas en 3...)
Les 2Pi (radians!) du cercle sont partagés en
Tu te rends compte facilement que chaque côté du polygône a une longueur de R.sin(Pi/2^n), et il y a 2^n côtés.
Donc si tu appelles Sn le périmètre du polygône à la n-ième itération,
Si tu fais tendre n vers l'infini, cela revient au même de dire que 2^n tend vers l'infini, et donc que
Ainsi:
Cordialement.
Mais le pb c'est comment est ce que l'on sait que la circonférence du cercle est de
Parce que la, on admet que le perimètre d'un cercle de rayon 1 est
Merci d'avance.
Salut!
1) Pour montrer que P(x0)=0 est équivalent à (x-x0) divise P, il faut la notion de division euclidienne des polynômes (à confirmer, j'ai un doute sur ce point) dont la démonstration nécessite une récurrence et est assez technique pour le programme de première je pense.
2) Concernant la "dualité" variation d'une fonction/signe de la dérivabilité, c'est effectivement intuitif mais c'est assez long à démontrer rigoureusement: une manière utilise le théorème des accroissements finis et donc des notions sur les fonctions continues (notament le theoreme des valeurs intermediaires)
3) C'est quoi ta définition de triangles semblables? Il y en a plusieurs...
Sinon, j'ai une autre démo pour la dérivée de
Bon week-end
Bonjour et merci,
Oui donc pour la dérivée, je pourai voir ca plus en details l'année prochaine quand je verrai des notions de continuité. J'avais une idée en gros, mais ce n'est peut etre pas tres rigoureux:
M(Xm;Ym) et N(Xn;Yn) deux point de Cf sur un intervalle I (f continue sur I), tels que Xm<Xn. f est croissante sur I.On cherche l'équation de la droite MN, quand N se rapproche au maximum de M (Xn tend vers Xm, donc Yn tend vers Ym). le coefficient directeur a est donc:
Or, f étant croissante sur I et ayant Xm<Xn, on a alors Ym<Yn, donc Yn-Ym>0 et Xn-Xm>0, donc
Apres il reste a faire pareil quand ca décroit et quand c'est constant.
Est-ce suffisant pour montrer cela?
Pour les polynomes, ca ne sera peut être pas possible en effet, mais je rechercherai sur le net pendant les gdes vacances.
Pour moi, deux triangles sont semblables si et seulement si leurs trois angles sont égaux, ce qui est bien le cas pour les histoire de trigo (un angle droit en commun et l'angle dont on cherche le cosinus, le sinus ou la tangente, donc forcément l'autre angle ne change pas non plus). Et à partir de ca, j'aimerai montrer, sans trigo, que si on multiplie un coté par k, il en est de même pour les autres.
Je suis également très intéressé si tu as une démo de la derivée de
Merci d'avance.
Là, tu as montré que si la fonction est croissante strictement alors la dérivée à gauche était positive ou nulle. Il reste à faire le cas Xn<Xm (ça se fait pareil) pour conclure.Bonjour et merci,
M(Xm;Ym) et N(Xn;Yn) deux point de Cf sur un intervalle I (f continue sur I), tels que Xm<Xn. f est croissante sur I.On cherche l'équation de la droite MN, quand N se rapproche au maximum de M (Xn tend vers Xm, donc Yn tend vers Ym). le coefficient directeur a est donc:
Or, f étant croissante sur I et ayant Xm<Xn, on a alors Ym<Yn, donc Yn-Ym>0 et Xn-Xm>0, donc
Apres il reste a faire pareil quand ca décroit et quand c'est constant.
Est-ce suffisant pour montrer cela?
Merci d'avance.
Pour les polynômes, si tu admet que tout polynôme P(X) peut s'écrire P(X)=(X-a)Q(X)+R(X) où Q et R sont des polynômes (ce qui est assez intuitif), le résultat que tu cherches n'est pas loin .
Pour la dérivée de
On a
En utilisant l'identité pour la somme des termes d'une suite géomètrique, on a
Plus qu'à faire tendre x vers
Voilà
Oui, j'ai pensé la même chose en faisant l'exo ! Il doit y avoir quelque chose.Bonjour,
Oui j'ai un exo dans un bouquin la dessus on arrive a trouver une suite qui converge vers
Mais le pb c'est comment est ce que l'on sait que la circonférence du cercle est de
Parce que la, on admet que le perimètre d'un cercle de rayon 1 est
Merci d'avance.
Ca me fait penser à la "démo" où l'on intègre en faisant varier têta de 0 à 2Pi pour trouver la longueur
Pour la longueur d'un cercle, c'est possible en intégrant
Certes,mais ça fait intervenir des cosinus et sinus dans le changement de variable, et ce sont des fonctions de période 2Pi etc...donc là encore on se mord un peu la queue non ?Pour la longueur d'un cercle, c'est possible en intégrant
Bonjour et merci,
Ah oui en effet on voit bien que quand x tend xo, q (=x/xo) tend vers 1, doncPour la dérivée de
On a
En utilisant l'identité pour la somme des termes d'une suite géomètrique, on a
Plus qu'à faire tendre x vers
En effet, si j'intègre, pour trouver une primitive de
J'avais pensé en effet a cette technique, mais apparamment on est obligé d'utiliser des fonctions qui dependent deja du fait qu'un cercle de rayon 1 a pour circonférence
Mais je vous avoue qu'a part inscrire des polynomes réguliers et le faire ne géométrie analytique (en intégrant), je n'ai aucune autre idée.
Je ne sais pas si ca existe, mais intégrer une fonction revient a calculer l'aire qui separe l'axe des abcisses et le courbe, peut on faire un calcul de longeur d'une courbe, cad si on "étire" la courbe (droite), combient vat-t-elle mesurer?
Parce qu'on pourrait le faire comme ca, mais je vousavoue que je ne sais pas trop comment m'y prendre pour faire ce genre de calculs.
Merci d'avance.
Bonjour et merci,
Ah oui en effet on voit bien que quand x tend xo, q (=x/xo) tend vers 1, doncPour la dérivée de
On a
En utilisant l'identité pour la somme des termes d'une suite géomètrique, on a
Plus qu'à faire tendre x vers
En effet, si j'intègre, pour trouver une primitive de
J'avais pensé en effet a cette technique, mais apparamment on est obligé d'utiliser des fonctions qui dependent deja du fait qu'un cercle de rayon 1 a pour circonférence
Mais je vous avoue qu'a part inscrire des polynomes réguliers et le faire ne géométrie analytique (en intégrant), je n'ai aucune autre idée.
Je ne sais pas si ca existe, mais intégrer une fonction revient a calculer l'aire qui separe l'axe des abcisses et le courbe, peut on faire un calcul de longeur d'une courbe, cad si on "étire" la courbe sur un intervalle (droite), combien va-t-elle mesurer?
Parce qu'on pourrait le faire comme ca, mais je vousavoue que je ne sais pas trop comment m'y prendre pour faire ce genre de calculs.
Merci d'avance.
Oui ça existe et c'est nommé abscisse curviligne. c'est pas compliqué, on se sert de trucs pas trop compliqué au final, mais ce n'est pas abordé dans le secondaire je crois.
Bnjr et merci,
Ah oui en effet j'ai fait une recherche mais ca demande les intégrales et jen'ai pas encore vu ca, mais sinon c'est vrai que ca n'a pas l'air tres compliqué.
On peut donc bien démontrer ce que je veux avec ca (voir http://the-blade-of-parliament.chez-.../Perimetre.pdf a la fin), mais la aussi, necessité de l'utilisation de l'arcsinus.
Donc je crois que comme ca ca ne marche pas non plus.
Avez vous une autre solution?
Merci d'avance.
En fait ce que je cherche c'est surtout un moyen de montrer que, un cercle de rayon 1 ayant un perimetre p (en fait
Apres quand je trouve ca je n'ai plus qu'a exprimer une valeur approchée de
Par exemple je viens de démontrer que l'on pouvait écrire :
Ca a l'air de marcher, j'ai fait des tests a l'ordi, par contre ca converge assez lentement, pour N=1 000 000, on a les 5 premieres décimales exactes, mais pas la 6eme.
Et puis j'ai vu qu'il y avait d'autres suites qui convergeait vers
Le probleme est surtout cette histoire de proportionnalité rayon/permimètre, apres, une fois que j'ai montré ca, pas de probleme, j'ai juste a trouver le rapport de proportionnalité :
Merci d'avance.
Oui, tu peux bien-sûr calculer la longueur d'une courbe en passant par une intégrale.
Pour une courbe paramétrée par (x(t),y(t)), alors la longueur de la courbe entre t1 et t2 est:
Pour le cercle , tu as
x(t)=R.cos(t)
y(t)=R.sin(t)
En intégrant entre 0 et 2Pi tu trouves évidemment la même chose, mais là encre on se mord la queue
Je vais tâcher de réfléchir à une démonstration qui ne parle pas de cosinus, mais ça sera dur !
Au fait, quand on intègre
Oui désolé je me suis mal exprimé quand je disais intégré
Mais de toutes facon comme il y a de la trigo en effet ca se mord la queue.
Je pensais calculer la longeur en considerant un nombre de triangles rectanges "le long de la courbe" que l'on ferait tendre vers l'infini. Ainsi on pourrait montrer que si le rayon est multplié par r, la limite en l'infini de l'expression que l'on trouvera (la longueur de la courbe) le sera également, donc permimètre proportionnel au rayon.
Je vous prévient si ca aboutit, mais je ne pense pas arriver à grand chose.
En fait,en y réfléchissant, je crois qu'il ne faut pas se casser la tête.
On a défini au départ
Puis, partant de ça, on a trouvé une multitide de suites qui, se ramenant à une quadrature ou une rectification du cercle, convergaient effectivement vers
Parcequ'en plein milieu d'un calcul qui ne fait pas intervenir de fonctions trigonométriques et leurs réciproques, je ne vois pas trop comment on peut faire apparaître
Je veux dire qu'il faut bien une étape passant par cela !
Car l'intégrale de 1/(1+x²) de 0 à l'infini converge vers
Bonjour et merci,
Oui bien sur je suis d'accord, on dit qu'un demi cercle de rayon 1 a un rayon qui vaut
Que veux tu dire par "quadrature ou rectification du cercle"? Qu'est ce que sont la quadrature et la rectification du cercle?
Pour la longueur de la courbe, j'ai essayé sans les intégrales, avec ma méthode des triangles rectangles le long de la courbe. Je trouve bien une suite qui converge vers
En fait ce que j'ai fait c'est que j'ai pris un quart de cercle de rayon 1. Je trouve que la longueur l de ce quart de cercle est :
(je n'ai pas dévelloppé parce que ca complique la formule plus qu'autre chose).
J'ai juste donc a multiplier par 2 pour obteir une suite qui converge vers
je veux mainetant mesurer la longueur L d'un quart de cercle de rayon r : j'obtiens par le même procédé:
Il me faut maintenant montrer que L=rl, on montrera donc bien que quand le rayon est multiplié par r, la circonférence du cercle l'est également.
Alors pour ca, je pense qu'il faut bidouiller un peu ces formules, j'ai essayé mais ca n'a rien donné pour l'instant.
J'avais aussi pensé à faire le rapport L/l (qui doit donner r), mais c'est encore plus compliqué ...
Donc voila, pas évident apparamment, mais si on arrive a montrer que le rapport L/l donne bien r, on montre bien que la circonférence est proportionnelle au rayon, apres il reste juste a déterminer le rapport de proportionnalité (cf formule de l ou bien autres suites qui convergent vers
Avez vous des solutions?
Je continue à chercher et je vous tiens au courrant.
Merci d'avance.
Bonsoir.
Je pense qu'il ne faut pas s'embêter avec toutes ces formules, et partir du fait que par une homotétie de facteur
Sinon, la rectification correspond au calcul de longueur de courbe, et la quadrature aux calculs d'aires
Bnjr et merci,
Oui c'est vrai qu'on peut le faire comme ca, mais le pb c'est que ca on l'a vu pour des droites, mais pas pour des arcs (le fait qu'ayant une homotétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k), or ici, on s'interesse a des arcs.
Avec des droites, cette propriété se démontre assez facilement en decomposant des vecteurs avec Chalses, mais pour les arcs, comment fait-on? Parce que en fait, tout le pb est là. Si on arrive a démontrer ca c'est gagné.
En fait le pb c'est que c'est une propriété sur laquelle s'appuient tellement de choses que l'on ne peut pas utiliser grand chose pour la démontrer.
