Démonstrations 1ereS

[Calvert]

Par définition, le longuur d'une courbe est donnée par:



où la courbe est paramétrée par (x(t), y(t)), et le point est la dérivée par rapport au temps.

A chaque instant, un point de la courbe est noté par (x(t),y(t)). Une homotétie de rapport k, pour ce point, est donc (kx(t), ky(t)). On a ainsi définit une nouvelle courbe, définie par une homotétie de rapport k sur notre première courbe.

Ainsi, la longueur devient:







avec l' la longueur de la nouvelle courbe.
Je pense que cela devrait suffire à montrer qu'une homotétie appliquée à une courbe multiplie sa longueur par k.
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[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

D'accord je crois que j'ai a peu pres compris,a part que je ne comprends pas trop d'ou sort la formule de la longueur de la courbe, mais je ne suis pas famaliarisé aux intégrales je n'ai pas encore vu ca en cours, donc ca attendra l'année prochaine ce n'est pas grave.

En tout cas je vous remercie vraiment beaucoup de m'avoir aidé,parce que cette histoire de ca fait bien 3 ans que ca me trotte dans la tête et c'est plus sympa d'utiliser des choses que l'on peut démontrer. Surtout qu'une fois qu j'ai démontré pour le permimetre on peut retrouver l'aire d'une sphère et puis le volume d'une boule (ca aussi je verrai l'année prochaine avec les intégrales, et je crois qu'on peut le faire avec les suites aussi).

J'avais aussi une autre question au sujet de quelque chose que l'on utilise quotidiennement, j'ai lu quelque part que c'était un axiome mais je prefere vous demander : est ce que on démontre que a(b+c)=ab+ac ? Je pense que ce n'est pas de mon niveau au niveau de l'arithmétique, donc ce n'est pas grave si je ne peux pas le démontrer, mais c'était juste pour savoir si on savait le faire en admettant des choses encore plus évidentes.

Et puis une autre question pour l'année prochaine, c'est juste pour comprendre une idée:
est une fonction continue derivable sur R.
Soit sa dérivée.
L'intégrale de sur [a;b] correspond géométriquement à l'aire située entre la courbe et l'axe des abcisses sur l'intervalle [a;b] (l'aire est comptée comme étant négative si la courbe se situe sous l'axe des abcisses) et est égale a f(b)-f(a) . On dit que f est une primitive de .
En fait je ne vois pas le rapport entre l'aire située sous la courbe et la primitive dont on se sert pour calculer cette aire.
Pouvez vous m'éclairer?

Merci d'avance.

[invitec053041c]

Le fait que a(b+c)=ab+ac vient du fait que R est un anneau, et par définition possède cette propriété de distributivité du * par rapport au +.
Pour l'integrale et la primitive, j'ai une petite démonstration sous le coude, mais là je pars en cours donc je te dirai ça ce soir.
Bonne journée .

[invitec053041c]

Voilà, va donc voir cete démonstration (niveau TS):
http://xmaths.free.fr/TS/questcours/TSdemcour06.htm

[invitea250c65c]

Bonsoir et merci pour la démo,

J'avais cherché sur ce site mais je n'avais trouvé que la démo qui disait que, a et b appartenants a I et f étant continue sur I, avec une primitive sur f sur I. Et pour ca, on s'appuyait sur le théorème dont tu m'as envoyé la démo. Merci bcp, j'ai bien compris.
La c'est fait pour f positive et croissante sur I, mais je l'ai fait avec f potive décroissante, f négative croissante et f négative decroissante sur I.
Par contre, quand f change de signe et de variations sur I, ce que je fais c'est que je décompose I en intervalles sur lesquels f est soit positve croissante ou décroissante soit négative croissante ou décroissante, ce qui permet de le montrer dans le cas général.
Je suis aussi allé voir la démo qui dit que étant une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont de la forme , parce que je ne comprenais pas tres bien a la fin de la démo pourquoi on pouvait affirmer que est l'unique primitive de qui s'annule en a.

En tout cas, trouver des primitives semble s'averer bien plus compliqué que de dériver, c'est normal, c'est plus dur de faire les choses "à l'envers" (plus facile de dévellopper (a+3b)(2a-b) que de factoriser 2a²-3b²+5ab), mais c'est très interessant quand on arrive à trouver les primitives, en un seul petit calcul (pas de limite lorsque le nb de rectangle sous la courbe tend vers l'infini ... ) c'est gagné.

[invitec053041c]

En tout cas, trouver des primitives semble s'averer bien plus compliqué que de dériver, c'est normal, c'est plus dur de faire les choses "à l'envers" .

Et oui, le calcul de primitive peut s'avérer extrêmement ardu. La dérivation est une opération qui se fait sans encombre, l'intégration requiert souvent ruse et surtout du temps!
Les primitives de polynômes se trouvent de manière directe, mais des fonctions très simples peuvent ne pas avoir de primitive exprimable avec les fonctions que l'on connaissait.
Ainsi, la fonction x->1/x, aussi simple soit-elle n'avait pas de primitive exprimable avec les fonctions que l'on connaissant, on a donc introduit une nouvelle fonction: le logarithme népérien (ln) (LA primitive de la fonction inverse s'annulant en 1).
Une primitive de 1/(1+x²) est arctan(x)...pas évident comme la dérivation!
Pour en finir avec les exemples, une célèbre intégrale qu'est l'intégrale de Gauss, avec une expression simple, mais une valeur surprenante:


Bref, tout ça pour te montrer que l'intégration, ça peut s'avérer très méchant () et nous sortir de belles surprises, alors que la dérivation...ça va tout seul.

[invitea250c65c]

Bnsr,

Ah oui en effet je vois que ca peut nous cacher de belles surprises ... mais je pense qu'avec de l'experience deja c'est plus évident, ca vient (plus) naturellement. Mais bon, quand même, ca n'a pas l'air d'être ce qu'il y a de plus simple. Un peu d'entrainement et j'y arriverai deja mieux.
Parce que c'est vrai que par exemple le , j'ai démontré il y a a peine un mois que c'était la dérivée de l'arctangente, donc j'y aurai peut etre pensé, mais quand on voit une fonction aussi simple, on ne pense pas forcément a ca.
Et puis si on veut le mettre sous forme plus rigoureuse, c'est pas éviden non plus. J'ai essayé, mais en fait tout le pb est de savoir a quelle fonction on a affaire. Par exemple, j'ai une fonction f, je cherche un primitive F de f, et la, on peut supposer que F est une composée de deux fonctions u et v, donc on aura f=v(u)u', et apres, par une sorte d'identification, ca peut donner qqch, mais encore faut-il que ca marche et dc que F soit de la forme v°u (j'avais fait qq essais, mais quand je trouve et , y'a qqch qui cloche .

En tout cas je suis bien content d'avoir compris la relation entre primitive et intégrale, merci bcp pour ta démo.

Sinon, pour revenir a des choses qui sont plus de mon niveau, je voulais savoir si vous aviez des choses a me conseiller à apprendre. pas forcément des choses de niveau plus élevées que 1ereS, mais des choses qu'on ne voit pas en cours ou qui seraient complémentaires par rapport a ce qu'on voit en cours.

J'ai par exemple essayé de me mettre aux équations fonctionnelles (j'ai imprimé le cours, mais j'attendrai que l'oral de francais soit passé pour vraiment m'y mettre, plus que 5 jours ) et je suis allé voir sur le site des Olympiades de maths (c'est sympa, y'a pas mal de choses interessantes notamment en géométrie et arithmétique, qu'on ne voit pas trop en cours, mais ca aussi ca attendra les gdes vacances). Y a t il d'autres choses que vous me conseilleriez?

Merci d'avance.

[invitec053041c]

Oui, comme tu sembles l'avoir très bien compris, on va développer ensuite plein de magouilles pour trouver des primitives.
Tu as soulevé l'histoire des u'f(u), c'est entre autre une des choses que l'on cherche. Il y a aussi la technique d'intégration par partie (ipp) qui vient directement de la formule de dérivation d'un produit , il y a la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples pour les intégrer etc...
Mais je peux t'assurer que pour ce qui est de l'intégration, tu ne t'ennuiras jamais et tu trouveras toujours quelque chose de nouveau .
Par exemple, j'ai seulement compris la semaine dernière comment grâce à des intégrales doubles on en arrivait à l'intégrale de Gauss (!).
Pour ce qui est des compléments sympas à traîter, j'y réfléchis, et je te dis dès que j'ai une idée .
Bonne soirée.

[invitea250c65c]

Bnsr,

Oui voila les intégrales ca a l'air bien plus délicat, et puis pour trouver des primitives je pense que c'est une question de feeling et d'entrainement, bientot je m'en sortirai mieux. Ce qui est difficille aussi c'est que deux fonctions qui se "ressemblent" peuvent avoir des primitives qui n'ont rien en commun (1/x² et 1/(x²+1) par exemple).

Sinon je me suis mis aux équations fonctionnelles comme prévu. C'est un peu comme la décomposition de vecteurs j'ai l'impression : on peut tourner longtemps en rond pour qqch de simple. Je n'en suis qu'au debut mais je trouve ca assez sympa.

Je voudrais savoir comment faire pour montrer que seule la fonction (enfin je crois) avec a reel est solution de l'équation fonctionnelle .
J'arrive a montrer que f(0)=1 (il suffit de remplacer x ou y par 0 ...), mais apres c'est plus délicat. J'arrive a montrer que =f(nx) (par récurrence) mais ca ne me dit pas qu'il s'agit de la fonction puissance.
Peut etre que ca ne se démontre pas dans ce sens la : on définit la puissance comme étant autre chose, et a partir de la on montre que , mais j'aimerai bien essayer comme ca.

Qu'en dites vous?

Merci d'avance.

[invitec053041c]

Bonsoir.
Considère la fonction x->g(x)=ln(f(x))
Démontre qu'elle est linéaire d'abord sur les entiers naturels, puis sur les relatifs, puis sur les rationnels, puis sur les réels (chaque réel étant limite d'une suite de rationnels, la continuité doit être de rigueur).
Cordialement.

EDIT:d'ailleurs, avant d'en étudier le logarithme, montre qu'elle ne s'annule pas et qu'elle n'est jamais négative.

[invitea250c65c]

En fait j'arrive a le montrer, mais uniquement dans le cas ou x est un entier naturel supérieur ou egal a 1.

Voici ce que je fais :


On obtient facilement
On pose
On a alors
On suppose alors que :
On a
Si la propriété est vraie au rang n, elle l'est également au rang suivant. On a deja montré que , on a donc , et pour n superieur ou égal a 1.

Donc voila on a bien avec .
C'est donc montré pour n entier naturel supérieur ou égal a 1, mais apres je ne vois pas comment faire pour généraliser a n reel.

D'ailleurs je ne sais pas ce que represente avec n non entier, par exemple , je ne sais pas ce que ca represente et comment calculer ca.

En tout cas, on ne peut pas se servir de cette équation fonctionnelle comme définition de la puissance, enfin du moins il faut utiliser une autre démo, parce que je pars deja du fait que .

Merci d'avance.

[invitec053041c]

est en fait parfaitement défini grâce à l'exponentielle et le logarithme, et on ne peut en effet plus dire que l'on multiplie racine de 2 "pi fois"...
On a juste

Sinon, je te conseille vivement d'étudier le logarithme de ta fonction f.Car c'est bien plus aisé de montrer qu'une fonction est linéaire que de montrer qu'elle est une fonction puissance.

[invitef618c422]

Bonjour,
je viens de tomber sur ce fil et j'ai deux petites remarques:
1) raisonner par densite en 1ere me semble assez difficile (aucune notion de topologie etc, a la limite la on se contente de la densite de Q mais je trouve ca beaucoup trop difficile quand on en est a maitriser les demo standards de dérivation réelle)

2)je me permets de revenir un peu en arrière : je suis un peu étonné qu'on essaye de démontrer (sin)'=cos par exemple le problème tenant a la définition de sinus et cosinus on peut en fait les DEFINIR comme solutions du système:
(f)'=g
(g)'=-f
c est une approche qui permet de dire des choses correctes par exemple de démontrer que pi existe en montrant par exemple que le sinus s annule etc...
En fait la définition qu'on utilise est plutot la série deja donnee pour cos (on en a une autre pour sin ^^ )qui permet ensuite d'étendre ces fonctions a C etc
J'ai toujours ete embete par ce qu'on essaye de montrer sur ces fonctions avec la définition qu'on en donne a ce niveau, en fait j aimerai savoir qu'elle définition vous en avez,
cordialement

[invitec053041c]

Pour moi,

[acx01b]

salut

on peut fair le cercle trigo,
puis en écrivant pour tout x
sin²x + cos²x = 1
on a
(sin²x + cos²x)' = 0
2sinx.sin'x + 2cosx.cos'x = 0

avec sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin(Pi/2)= 1 et cos(Pi/2) = 0
et sin(Pi/2 - x) = cosx
on a
sin'(Pi/2 - x) = cos'x

on a déja pas mal de trucs
...

[invitef618c422]

Bonjour,
merci pour vos réponses : avec la définition de Ledescat la question qui me vient est comment est défini exp sur C parceque si je me souviens bien de ma terminale exp est introduite via une équa diff réelle.
Pour acx01b on introduirait cos et sin comme compo d'un projecteur et d'une fonction sur R^2 alors des questions encore plus en amont comme la continuite/dérivabilité de sin et cos ne sont pas evidentes a montrer au lycée (ie avec les outils dont on dispose, je ne dis pas que c'est dur dans l'absolu loin de la ^^ ),
cordialement

[invitec053041c]

Oui en Terminale, on définit l'exponentielle sur les réels via une équa diff.
Mais l'exponentielle complexe peut se définir:

[invitef618c422]

Bonsoir,
je sais (je viens d'avoir ma maitrise j'ai interet a savoir au moins ca,ayons un peu plus confiance dans le systeme francais) mais mon propos c 'est que justement la presentation des fonctions trigonometriques se mord necessairement la queue a ce niveau,
cordialement

[invitec053041c]

mais mon propos c 'est que justement la presentation des fonctions trigonometriques se mord necessairement la queue a ce niveau,
cordialement

Oui c'est vrai .

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

Je n'ai pas le niveau pour comprendre tout ce dont vous avez parlé, mais au sujet des définitions, on peut définir qqch (cosinus et sinus par exemple) de plusieurs facons non? Enfin plutot on définit qqch d'une certaine facon et apres on montre que ca correpond aussi a une autre définition (ca devient alors un propriété).
Par exemple, pour reprendre la trigo, on peut les définir comme on le fait traditionnellement (abcisse et ordonnée d'un point du cercle trigonometrique dans un repere orthonormal d'origine le centre du cercle ... ) et ensuite s'apercevoir aussi que ce sont les fonctions solutions du systeme (f)'=g (g)'=-f. Ca revient au même apres pour montrer ce dont tu as parlé Lapluie non? Enfin je dis ca parce que c'est surement plus difficille de montrer que les solutions de ce systemes sont les fonction qui a tout x associent respectivement l' abcisse et l'ordonnée d'un point du cercle trigonometrique dans un repere orthonormal d'origine le centre du cercle bla bla bla ... .
Et puis historiquement je crois que c'est de la facon dont on le fait au lycée qu'on a introduit le cosinus et sinus (au départ c'était juste pour des questions pratiques, pour connaitre des longueurs dans un triangle en fonction d'angles, pour retrouver des angles ... pour l'astronomie je crois).
Qu'en pensez vous?

Au fait, au sujet de ce système, les fonctions sinus et cosinus sont elles les seules fonctions qui vérifient cela? Si vous avez une preuve de l'unicité (ou non) je suis preneur.
Peut on trouver juste a partir de ce systeme (on n'a pas encore défini les fonctions sinus et cosinus) les fonctions le verifient? Peut on juste avec cela trouver qu'il s'agit de fonctions périodiques de période ... ?
Si ca n'est pas trop compliqué je veux bien que vous me montriez cmt on fait.

Merci d'avance.

[invite43bf475e]

je viens de finir ma TS, je passe en MPSI, mais il me semble que la démonstration de l'unicité des fonctions trigo se ft plus tard, à ton niveau, c'est quasi impossible de comprendre ca... même moi je ne pourrait le faire...

[invitec053041c]

Bonjour électro

Tu as :
f '=g (1)
g '=-f (2)

Si tu dérives (1),ça te donne f ''=g '
Tu remplaces donc g' par f'' dans (2)
Tu obtiens:
f ''+f=0
=> Equation linéaire du second ordre à coefficients constants (regarde un peu dans le wiki comment ça se résoud, c'est pas très dur).
Tu as le discriminant de l'équation caractéristique négatif, ce qui t'assure que les seules solutions réelles de cette équa diff sont des combinaisons linéaires de cos et sin (les conditions initiales te permettront d'affiner les choses).

[invitea250c65c]

Bnjr et merci,

Ah oui d'accord je vois en fait on aboutit a une équation différentielle du second ordre.
A ce propose, j'avais une petite question : je me suis servi de telles équations (équations du type ) en physique (étude des oscillations dans un circuit RLC) : voici la discution : http://forums.futura-sciences.com/thread129895.html .
Ma prof de physique m'a expliqué que pour résoudre ca (voir le message 10 de la discution) il fallait considerer ca comme un polynome du second degré, et en posant , on aboutissait a une équation de la forme , dc on résout ca (dans C) et ensuite y'a plus qu'a en déduire f (en connaissant ).
Ca semblait un peu compliqué pour moi donc je n'ai pas trop cherché a comprendre la chose sur le moment, mais maintenant que j'ai un peu de temps je voudrais bien comprendre pourquoi en ayant , on a , parce que mais je ne vois pas en quoi on peut affirmer que l'on obtient X², cad comment on arrive au fait que .
Voila, c'est peut etre tout bete comme question, mais je n'ai pas trouvé sur internet comment on arrive a cette équation caracteristique de l'équation différentielle.

Merci d'avance.

[Calvert]

Salut!

Tu as entièrement raison. Il n'y a pas de raison pour laquelle f''(x) = f²(x).

Une équation différentielle de ce type (où il n'y a que des termes f,f',f'',...) peut se résoudre en supposant que



et l'on peut trouver une relation pour B (qui peut être complexe).

[invitec053041c]

Oui, et c'est surtout que l'on appelle cette équation du second degré l'équation caractéristique de ton équation différentielle. Tu n'as pas f'=X et f''=X^2. C'est juste qu'on les identifie pour résoudre l'équation du second degré et trouver les racines de l'équation caractéristique
, et enfin résoudre l'équa diff grâce à ces racines.

Si tu as par exemple:

ton équation caractéristique est:
Admettons (c'est le cas le plus simple) que cette équation admette deux solutions réelles distinctes x1 et x2.

Alors les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions dela forme

L'équation caractéristique (polynôme en X) ne remplace pas ton équation différentielle, elle t'aide seulement à trouver des racines caractéristiques, puis à résoudre... Donc retiens bien qu'il est faux de dire que f'=X et f""=X²

[invite751056e1]

je viens de finir ma TS, je passe en MPSI, mais il me semble que la démonstration de l'unicité des fonctions trigo se ft plus tard, à ton niveau, c'est quasi impossible de comprendre ca... même moi je ne pourrait le faire...

J'aime bien le "même moi"!!!
Bon, sur ce, messieurs les mathematiphiles, je vous laisse vous amuser!

[inviteec581d0f]

Bonjour à tous

Cette idée de regrouper toutes les démonstrations mathématiques de 1ereS m'a l'air pas mal. Mais, en lisant, je trouve que les outils utilisés pour la démonstration sont quelque peu "avancées" (exponontielle, factorielle etc..) par rapport au niveau de première. Donc je vous propose si vous voulez de faire les démonstrations les plus importantes de tel ou tel chapitre du programme en utilisant les outils de première (c'est possible ). Ensuite, si vous le voulez, je pourrais regrouper toutes celles-ci sous forme .pdf et le mettre à la disposition de tous.

a+++

[invitec053041c]

Bonjour à tous

Cette idée de regrouper toutes les démonstrations mathématiques de 1ereS m'a l'air pas mal. Mais, en lisant, je trouve que les outils utilisés pour la démonstration sont quelque peu "avancées" (exponontielle, factorielle etc..) par rapport au niveau de première. Donc je vous propose si vous voulez de faire les démonstrations les plus importantes de tel ou tel chapitre du programme en utilisant les outils de première (c'est possible ). Ensuite, si vous le voulez, je pourrais regrouper toutes celles-ci sous forme .pdf et le mettre à la disposition de tous.

a+++

C'est une bonne idée. Je reste à disposition .

[inviteec581d0f]

MOi aussi Mais j'éspère sincèrement que ce topic ne va pas couler SNIF il est super je trouve

[invite05d0a348]

Tres bonne idée ... Je suis aussi intéréssé