sphere et plan [TS]

[invitebf3eb25e]

Bonjour à tous voila je coince sur un exo sur l'espace et je vous sollicite donc, voici l'énoncé:


1) on munit l'espace d'un repère orthonormé (O;i;j;k)
Soit (S) la sphère de centre A(1;4;-2) et de rayon 3 et soit le plan (P) contenant le point O et de vecteur normal n(2;1;-6)

1) démontrer que le plan (P) est sécant à la sphère (S) et ne contient pas le centre de (S)
-->jai dit ke P ne contient pas le point A et que la distance de P à A est non nulle et donc inférieur à 3. C'est cela?

2) détreminer les coordonnées des points K et K' de la sphère (S) tels que [KK'] est un diamètre de (S) perpendiculaire au plan (P) sachant que K est un point du demi espace de frontière (P) ne contenant pas le point A
--> piste?

3) caractériser par un système d'inéquations lensemble des points à l'intérieur de la calotte sphérique (M) de frontière (P) contenant le point K
->?

4) le point R(2;3;1) est il un point du volume de (M)?->?

merci d'avance,
-----

[invite1fa962f0]

1) je pense que ce que t'as fait c bien

2)[KK'] est un diametre de (S) orthogonal à (P) donc K et K' appartiennent à la droite (d) orthogonale à (P) passant par A, c'est la droite dont un vecteur directeur est un vecteur normal à (P) par ex n(2,1,-6), passant par A(1,4,-2) d'ou l'équation paramétrique de (d) : {x=2t+1, y=t+4, z=-6t-2}. reste donc a trouver deux valeurs de t telles que les deux points appartiennet à S pour cela tu injectes les valeurs paramétrique des coordonnées dans l'équation de la sphere : (x-1)²+(y-4)²+(z+2)²=9 tu trouvera 2 valeurs de t une positive une negative, pour savoir laquelle te permettera de trouver les coordonnées de K, il suffi de calculer la distance à (P). C'est K qui a la plus petite distance car il appartien au demi espace delimité par (P) ne contenant pas A.

3)pour caractériser le volume delimité par la calotte sphérique, il ya deux conditions à respecter. soit M(x,y,z) un point de la calotte.

-La premiere est evidente, il faut que AM<3 c a d (x-1)²+(y-4)²+(z+2)²<9

-La seconde l'est un peu moins, mais ca parait evident quand on fait un schéma clair de la situation: Considérons (P) et un plan (P') parallele à (P) passant par K. Leurs equations sont (P) : 2x+y-6z+d=0 et (P') : 2x+y-6z+d'=0(en effet (P)//(P') ils ont donc un meme vecteur normal) . Les points M sont situés entre ces deux plans, ils appartiennent tous aux plans (Q) paralleles à (P) et à (P') compris entre les deux dont ils ont une équation de la forme 2x+y-6z+m=0 mais avec m compris entre d et d'. ils sufit donc de determiner d et d' grace au coordonnées des points de passages de (P) et (P') et le tour est joué on obtient linéquation m compris enter d et d' <=> -m compris entre d et d' <=> (x+y-6z) compris entre d et d' (car x+y-6z=-m). et voila on a nos 2 inéquations

3) enfin pour R ses coordonnées ne vérifient meme pas l'inéquation caractérisan le volume de la sphere calcule AR tu trouve que c'est supérieur à 3 cad au rayon donc la reponse est non.

Voila je sais pas si ya une méthode moins laborieuse pour resoudre cet exo mais cest la seule solution qui me vien à lesprit! en tout cas, jespere que ca va t'aider!!
Vive les maths!!!!!