Divisibilité dans Z

[invited5efedfa]

Bonjour les ami(e)s je suis en terminale S spé maths et j'ai un souci pour faire cet exo, j'avance pas du tout j'ai réussi tous les exos de la feuille sauf celui ci :
Démontrer par récurrence sur n que N=n(2n+1)(7n+1) est divisible par 6, quel que soit l'entier n>=1.

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement
Raptor
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[invitec053041c]

Bonjour.

Quelles sont les 3 étapes à faire ?
Où en es-tu dans ton raisonnement ?

[Gwyddon]

Bonjour,

D'abord tu dois initier la récurrence ; là ça va pas trop dur

Ensuite, supposons qu'à un certain rang n, N(n) soit bien divisible par 6. Tu vas devoir montrer que dans ces conditions, N(n+1) est aussi divisible par 6.

Écris alors N(n+1), développe histoire de faire apparaître N(n). Ensuite, je te laisse faire

[invited5efedfa]

Bonjour,

D'abord tu dois initier la récurrence ; là ça va pas trop dur

Ensuite, supposons qu'à un certain rang n, N(n) soit bien divisible par 6. Tu vas devoir montrer que dans ces conditions, N(n+1) est aussi divisible par 6.

Écris alors N(n+1), développe histoire de faire apparaître N(n). Ensuite, je te laisse faire

soit Pn "N est divisible par 6 pour n>=1"
Initialisation N(1)=1*(2*1+1)(7*1+1)24 or 24/6=4 donc P(1) est vraie
On suppose que 6lN (6 diviise N) pour un certain entier n>=1
On veut montrer que N(n+1)

N(n+1)=(n+1)2(n+1)+1)(7(n+1)+1
voilà c'est là que je bloque

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5efedfa]

soit Pn "N est divisible par 6 pour n>=1"
Initialisation N(1)=1*(2*1+1)(7*1+1)24 or 24/6=4 donc P(1) est vraie
On suppose que 6lN (6 diviise N) pour un certain entier n>=1
On veut montrer que N(n+1)

N(n+1)=(n+1)2(n+1)+1)(7(n+1)+1
voilà c'est là que je bloque

Personne?

[Gwyddon]

Hello,

Tu n'as pas encore fait ce que je t'ai dit : développe l'expression de N(n+1), et essaye d'y reconnaître N(n). Fais déjà ça, après on verra ensemble pour la suite.

[invited5efedfa]

Hello,

Tu n'as pas encore fait ce que je t'ai dit : développe l'expression de N(n+1), et essaye d'y reconnaître N(n). Fais déjà ça, après on verra ensemble pour la suite.

désolé de te dire ca mais je développe N(n+1) dans tous els sens et je vois pas de N(n)

[Gwyddon]

Écris-nous ce que donne le développement de N(n+1).

[invited5efedfa]

Écris-nous ce que donne le développement de N(n+1).

N(n+1)=(n+1)(2n+3)(7n+8)
=(n+1)(14n²+16n+21n+24)
=14n^3+37n²+24n+14n²+37n+24
=14^3+51n²+61n+24

[Gwyddon]

Ok. Maintenant développe N(n), et soustrais. Tu verras que dans ton développement de N(n+1), il y a N(n)

[invited5efedfa]

Ok. Maintenant développe N(n), et soustrais. Tu verras que dans ton développement de N(n+1), il y a N(n)

N=14n^3+9n²+n
donc N(n+1)=14n^3+42n²+60n+9n²+n+24
donc N(n+1)=N+42n²+60n+24
Ok N est divisble par 6 mais comment prouver que que 42n²+60n+24 est divisble par 6?

[Gwyddon]

Si a est divisible par q, b est divisible par q, alors (a+b) est divisible par q (évident à démontrer). Je te laisse imaginer ce que tu dois faire maintenant pour conclure

[invited5efedfa]

Si a est divisible par q, b est divisible par q, alors (a+b) est divisible par q (évident à démontrer). Je te laisse imaginer ce que tu dois faire maintenant pour conclure

N(n+1)=N+42n²+60n+2
N(n+1)=N+6*6n²+6n²+6*10n+6*4
On voit bien que 6+6n²+6n²+6*10n+6*4 est divisible par 6 donc N(n+1) est vrai
Conclusion N est divisible pour tout n>=1
Merci à toi

[Gwyddon]

Bien joué

Il n'y a pas de quoi, tu as compris c'est l'essentiel