Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 14 sur 14

Divisibilité dans Z



  1. #1
    raptor77

    Divisibilité dans Z


    ------

    Bonjour les ami(e)s je suis en terminale S spé maths et j'ai un souci pour faire cet exo, j'avance pas du tout j'ai réussi tous les exos de la feuille sauf celui ci :
    Démontrer par récurrence sur n que N=n(2n+1)(7n+1) est divisible par 6, quel que soit l'entier n>=1.

    Merci d'avance pour votre aide
    Cordialement
    Raptor

    -----
    On ne naît pas humain on le devient

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Divisibilité dans Z

    Bonjour.

    Quelles sont les 3 étapes à faire ?
    Où en es-tu dans ton raisonnement ?
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Divisibilité dans Z

    Bonjour,

    D'abord tu dois initier la récurrence ; là ça va pas trop dur

    Ensuite, supposons qu'à un certain rang n, N(n) soit bien divisible par 6. Tu vas devoir montrer que dans ces conditions, N(n+1) est aussi divisible par 6.

    Écris alors N(n+1), développe histoire de faire apparaître N(n). Ensuite, je te laisse faire
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    raptor77

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Bonjour,

    D'abord tu dois initier la récurrence ; là ça va pas trop dur

    Ensuite, supposons qu'à un certain rang n, N(n) soit bien divisible par 6. Tu vas devoir montrer que dans ces conditions, N(n+1) est aussi divisible par 6.

    Écris alors N(n+1), développe histoire de faire apparaître N(n). Ensuite, je te laisse faire

    soit Pn "N est divisible par 6 pour n>=1"
    Initialisation N(1)=1*(2*1+1)(7*1+1)24 or 24/6=4 donc P(1) est vraie
    On suppose que 6lN (6 diviise N) pour un certain entier n>=1
    On veut montrer que N(n+1)

    N(n+1)=(n+1)2(n+1)+1)(7(n+1)+1
    voilà c'est là que je bloque
    On ne naît pas humain on le devient

  6. #5
    raptor77

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par raptor77 Voir le message
    soit Pn "N est divisible par 6 pour n>=1"
    Initialisation N(1)=1*(2*1+1)(7*1+1)24 or 24/6=4 donc P(1) est vraie
    On suppose que 6lN (6 diviise N) pour un certain entier n>=1
    On veut montrer que N(n+1)

    N(n+1)=(n+1)2(n+1)+1)(7(n+1)+1
    voilà c'est là que je bloque
    Personne?
    On ne naît pas humain on le devient

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : Divisibilité dans Z

    Hello,

    Tu n'as pas encore fait ce que je t'ai dit : développe l'expression de N(n+1), et essaye d'y reconnaître N(n). Fais déjà ça, après on verra ensemble pour la suite.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. Publicité
  10. #7
    raptor77

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Hello,

    Tu n'as pas encore fait ce que je t'ai dit : développe l'expression de N(n+1), et essaye d'y reconnaître N(n). Fais déjà ça, après on verra ensemble pour la suite.
    désolé de te dire ca mais je développe N(n+1) dans tous els sens et je vois pas de N(n)
    On ne naît pas humain on le devient

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Divisibilité dans Z

    Écris-nous ce que donne le développement de N(n+1).
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    raptor77

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Écris-nous ce que donne le développement de N(n+1).
    N(n+1)=(n+1)(2n+3)(7n+8)
    =(n+1)(14n²+16n+21n+24)
    =14n^3+37n²+24n+14n²+37n+24
    =14^3+51n²+61n+24
    On ne naît pas humain on le devient

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Divisibilité dans Z

    Ok. Maintenant développe N(n), et soustrais. Tu verras que dans ton développement de N(n+1), il y a N(n)
    Dernière modification par Gwyddon ; 13/09/2007 à 19h54.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    raptor77

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Ok. Maintenant développe N(n), et soustrais. Tu verras que dans ton développement de N(n+1), il y a N(n)
    N=14n^3+9n²+n
    donc N(n+1)=14n^3+42n²+60n+9n²+n+24
    donc N(n+1)=N+42n²+60n+24
    Ok N est divisble par 6 mais comment prouver que que 42n²+60n+24 est divisble par 6?
    On ne naît pas humain on le devient

  15. #12
    Gwyddon

    Re : Divisibilité dans Z

    Si a est divisible par q, b est divisible par q, alors (a+b) est divisible par q (évident à démontrer). Je te laisse imaginer ce que tu dois faire maintenant pour conclure
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  16. Publicité
  17. #13
    raptor77

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Si a est divisible par q, b est divisible par q, alors (a+b) est divisible par q (évident à démontrer). Je te laisse imaginer ce que tu dois faire maintenant pour conclure
    N(n+1)=N+42n²+60n+2
    N(n+1)=N+6*6n²+6n²+6*10n+6*4
    On voit bien que 6+6n²+6n²+6*10n+6*4 est divisible par 6 donc N(n+1) est vrai
    Conclusion N est divisible pour tout n>=1
    Merci à toi
    On ne naît pas humain on le devient

  18. #14
    Gwyddon

    Re : Divisibilité dans Z

    Bien joué

    Il n'y a pas de quoi, tu as compris c'est l'essentiel
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Divisibilité dans N
    Par MS.11 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 30/09/2007, 17h49
  2. Divisibilité dans Z
    Par MS.11 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 11
    Dernier message: 29/09/2007, 19h27
  3. Divisibilité dans Z
    Par Cyberal dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 01/10/2006, 00h46
  4. Divisibilité dans Z
    Par Martin78 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 26/09/2006, 19h13
  5. divisibilité
    Par Kathrina dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 06/02/2006, 16h54