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Divisibilité dans Z



  1. #1
    Cyberal

    Divisibilité dans Z


    ------

    Bonjour à tous !
    Je cherche à aider ma nièce qui doit chercher les entiers relatifs n tels que (2n+10) divise (3n+20). Nous avons trouvé que n=(10k-20)/(3-2k) doit être entier. Avec le tableur de la calulatrice, nous avons trouvé que n=0 ou -4 ou -6 ou -10 est solution. Y en a-t-il d'autres ? Quelle équation donne les solutions ?
    Merci de votre aide !

    -----

  2. #2
    shokin

    Re : Divisibilité dans Z

    Il ne me semble pas y avoir d'autres solutions car :

    n=(10k-20)/(3-2k) doit être entier (c'est juste).

    Il faut maintenant pouvoir trouver, dans les règles, une fraction dont le numérateur est une valeur donnée constante. Cela est ici facile car 2 (le facteur de k dans le dénominateur) divise 10 (le facteur de k dans le numérateur).

    n = (10k-20)/(3-2k)

    n = (10k-15-5)/(3-2k)

    n = (10k-15)/(3-2k) - 5/(3-2k)

    n = 5 - 5/(3-2k)

    Comme n doit être entier et 5 est entier, 5/(3-2k) doit être entier.

    Donc 3-2k doit diviser 5.

    Tu attribuer alors à 3-2k les valeurs, une à une, des nombres entiers qui divisent 5 (qui sont -5, -1, 1, 5).

    Pour chacune des valeurs de 3-2k, tu trouves des valeurs respectives à k, puis à n (celles que tu as trouvées).

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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