Enigme ( Histoire de cercles )

[inviteea5db5e2]

Bonjour,

mon prof de maths m'a dit de m'amuser à chercher une énigme assez complexe ( sinon je serais pas là )

Il s'agit d'un champ circulaire de rayon 1. Sur un point du cercle on a attaché une corde avec au bout une chèvre, dont on ne veut qu'elle puisse brouter que la moitié de la superficie du champ. Quel doit alors être le rayon la longueur de la corde ?

La surface du champ vaut alors mais ca ne m'aide pas vraiment pour la suite...

Voilà, si quelqu'un voit ! En attendaant je continue à chercher et je vous poste mes idées.
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[inviteea5db5e2]

Je viens de voir une erreur : on cherche bien la longueur de la corde et donc indirectement, le diamètre du bout de cercle que va pouvoir fomer la chèvre en tirant sur la corde et brouter toute l'herbe qui lui est offerte !

Sinon première idée : on vire la corde et on construit une cloture suivant un diamètre du cercle. L'aire est bien divisée par 2.

Deuxième idée on met une rampe tout autour du cercle de sorte que la chèvre attachée puisse en faire le tour. Après des calculs moins complexes que ceux qu'on doit me demander en réalité, on trouve que la longueur de la corde doit être de pour r=1, bien sur...

Mais si la corde est fixée, comme on me le demande... he beh... ! C'est beaucoup plus dur... et je vois pas du tout !

[invite1fb8c39f]

Bonjour,

si tu fais un dessin en représentant les deux cercles en entier (l'un de rayon 1, l'autre r), tu verras que l'intersection peut se découper en deux parties (de part et d'autre de la droite liant les points d'intersection des cercles) qui se calculent assez bien.

[inviteea5db5e2]

Bonjour,

si tu fais un dessin en représentant les deux cercles en entier (l'un de rayon 1, l'autre r), tu verras que l'intersection peut se découper en deux parties (de part et d'autre de la droite liant les points d'intersection des cercles) qui se calculent assez bien.

Oui je le vois bien mais le problème c'est que :

j'ai jamais appris de formule pour l'aire d'un morceau de cercle délimité par une corde,

j'ai deux inconnues : r et la longueur du segment reliant les points d'intersection

En tout cas merci de ton conseil, mais d'autres indices encore seraient les bienvenus !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1fb8c39f]

Tout d'abord, tu dois savoir que l'aire portée par un arc de cercle de rayon r et d'angle est (c'est logique parce que c'est proportionnel à l'angle, et pour ça vaut bien l'aire d'un cercle entier.

Ensuite, tu n'as pas besoin d'avoir la distance entre les points d'intersection A et B. Il suffit d'avoir les angles sous lesquels [AB] est vu depuis les centres respectifs, puis d'appliquer la formule ci-dessus à bon escient

[inviteea5db5e2]

Je bloque quand même. Le centre du cercle il est pas aligné avec les points d'intersection ? je vois pas...

[invite03f2c9c5]

Bonsoir,

Juste un mot pour dire que c'est un très grand classique, dont la résolution n'est pas du tout évidente même si l'énoncé paraît simple ! Bref, ne cherchez pas une solution miraculeuse.

[inviteea5db5e2]

Mais un indice DSCH ! Par pitié !

[invite1fb8c39f]

Un indice : si les cercles ont pour centres O et P, et leurs intersections sont A et B, alors (AB) est perpendiculaire à (OP) (montre-le d'abord)

[invitec053041c]

Bonsoir.

Je confirme ce qu'a dit DSCH. Ce problème est réputé pour être assez difficile, il peut amener à des calculs d'intégrales affreuses etc... Un ami calé en informatique avait "codé" ce problème, et il semble que ce n'était pas aisé.

[inviteea5db5e2]

Merci de vos réponses. Et est ce que je peux m'en sortir sans les intégrales ? Je les ai pas encore vues...

[invite24dc6ecc]

Tu trouvera que L=1,159

[invite9a322bed]

Je suis entrain d'y réfléchir aussi =/

[invite9a322bed]

Ceux qui connaissent la solution, est ce que l'aire de l'ellipse intervient ou pas ? car avec les angles je vois pas encore grand chose...

[invite24dc6ecc]

Ya ni l'ellipse ni les integrales. Bonne chance

[invite9a322bed]

Oula tu m'as fait revenir a la case de depart la depuis 10min je travaille sur ca en me basant sur l'ellipse, mais me manquait un satané d'angle a trouver :s
Plus d'indice svp sur l'angle car je ne peux pas l'exprimer en fonction de deux inconnus, ca sera trop compliqué....

[inviteea5db5e2]

C'est léger comme indice ça !

Allez un peu de générosité que diantre !!

Sans plaisanter, un peu plus de précisions seraient pas de refus...

[invite9a322bed]

Juste un petit laissez nous reflechir j'y penserais sérieusement cet weekend

[invitee3b6517d]

En faisant une figure en vitesse, je trouve dans les

[danyvio]

Les angles sous lesquels le centre du champ d'une part, le piquet d'autre part "voient" la corde qui lie les points d'intersection des deux cercles sont liés par une relation simple . Révisez la notion d'arc capable et d'angle au centre Et vive la trigo !

[invite9a322bed]

J'ai trouvé la relation entre les deux angles c'est le double maintenant je me bat avec la trigo (que je deteste)

[invite9a322bed]

Je laisse tombé , je sens que je vais devenir fou et ca m'énerve.

[invite24dc6ecc]

Tu travaillera essentiellement avec le cos et le sin allez bonne chance Rbati()

[invite9a322bed]

Tu travaillera essentiellement avec le cos et le sin allez bonne chance Rbati()

Lol quelqu'un qui a eut la curiosité de chercher ma localisation XD

[invite9a322bed]

Je pense que j'ai trouvé, je suis vraiment content ^^

 Cliquez pour afficher

La réponse est R= racine carré de 3

[invite24dc6ecc]

Tu peux me dire comment tu as fait, moi j'ai trouvé L=1.159

[invite9a322bed]

Bah en faite ma réponse n'est pas juste je pense quand je revoie le shema. J'ai trouvé que l'angle formé est PI/3 (60degres), et avec des calcules j'en ai deduis R racine de 3. Cependant l'air de ce morceau de cercle est PI/2, mais il y a deux demis ellipse de chaque coté que j'ai oublié de prendre en compte....Je vais essayer demain de voir ca de plus près; la je dois aller au lit ^^

[invitee3b6517d]

En faisant une figure en vitesse, je trouve dans les

En faite c'est

[invite24dc6ecc]

Tu aura besoin de calculer l'aire de 2 portions de fromage(() et pour cela tu aura besoin de la formule pi*L²*a/(2pi), L étant le coté qui délimite cette aire et a l'angle formé par les deux côtés.

[danyvio]

Bah en faite ma réponse n'est pas juste je pense quand je revoie le shema. J'ai trouvé que l'angle formé est PI/3 (60degres), et avec des calcules j'en ai deduis R racine de 3. Cependant l'air de ce morceau de cercle est PI/2, mais il y a deux demis ellipse de chaque coté que j'ai oublié de prendre en compte....Je vais essayer demain de voir ca de plus près; la je dois aller au lit ^^

Si tu es arrivé à tracer des ellipses ou morceaux d'ellipse ... chapeau