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Dérivabilité



  1. #1
    radio

    Dérivabilité


    ------

    Bonjour

    J'ai un exo à faire et je n'arrive pas, pourriez vous m'aidez svp

    ENONCE :

    L’unité de mesure de l’angle est le radian

    Partie 1 :

    On introduit sur R la fonction f(h) = sin(h) / h pour h différent de 0 et f(0)=1
    On veut prouver que f est continue en 0

    1) Expliquer pourquoi il suffit de prouver qu’elle est continue à droite en 0. Ensuite, soit h>0
    (VOIR SCHEMA EN BAS)
    2) Comparer les longueurs des segments [MM’], [AM], [AN] et la longueur de l’arc AM ne contenant pas B (on admet que le plus court chemin entre 2 points est le segment de droite les joignant).
    3) En déduire pour tout h>0, sin(h)=<h=<tan(h)
    4) En utilisant la relation cos²(h)+sin²(h)=1, en déduire que pour h>0

    h / racine (h²+1) =<sin(h)=< h

    5) Calculer la limite sin(h) / h lorsque h tend vers 0+
    6) Conclure que la fonction sin est dérivable en 0 et calculer sin’(0)
    7) En utilisant une composée, déduire que la fonction cos est dérivable aussi en 0 et calculer cos’(0)
    8) En déduire la limite de (cos(h)-1) / h lorsque h tend vers 0

    Partie 2 :

    Soient a et h réels tels que a et a+h non nuls

    1) Exprimer sin(a+h) en fonction des lignes trigo de a et h
    2) Compléter (sin(a+h)-sin(a)) / h= ....…..
    3) En déduire la limite de (sin(a+h)-sin(a)) / h lorsque h tend vers 0
    4) Conclure
    5) Compléter cos (x)=sin(….+x) pour tout x. Puis, expliquer comment on peut utiliser ce qui précède pour montrer que la fonction cos est dérivable sur R.
    6) Calculer la dérivée de la fonction cos

    MERCI

    -----
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  2. #2
    Antho07

    Re : dérivabilité

    qu a tu fais ???
    ou bloques tu??

  3. #3
    Antho07

    Re : dérivabilité

    pour la premiere question, étudie la parité de la fonction

  4. #4
    radio

    Re : dérivabilité

    partie 1

    1) f est paire donc le montrer en 0+ suffit. Par symétrie, on aura 0-

    Voilà, après je n'ai pas du tout compris, comme on a pas fait beaucoup d'exo en cours, c'est difficile, pourriez vous m'aidez en m'expliquant comment faire.
    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    radio

    Re : dérivabilité

    aidez moi je vous en prie

  7. #6
    radio

    Re : dérivabilité

    j'ai besoin d'aide pour la question 6)7)8) et toute la partie 2

    Svp aidez moi, personne me répond

  8. #7
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Salut.Pense que cela devrait te rappeler quelque chose donc si ta bien repondu à la 5 tu trouveras pour la 6.Ensuite pour la 7 je pense qu'il faut utiliser ce que l'on te donne avant c'est-à-dire d'où et comme c'est une fonction composé tu sais deriver donc tu en déduis cos'(0) et tu reponds ainsi à la question 8.

  9. #8
    radio

    Re : Dérivabilité

    voilà ce que j'ai compris, d'après ce que tu m'as dit

    6)sin(h)/(h)=(sin(h+0)-sin(0))/h
    donc sin est dérivable en 0 et sin'(0)= -cos(0) = -1

    7)racine (1-sin²(h))=(racine(1-sin²(h+0))-cos(0)/h-0)
    donc cos est dérivable en 0
    cos'(h)=-2cos(h)x((1)/2racine(1-sin²(h)))= -2cos(h)/2racine(1-sn²(h))
    cos'(0)= -1
    8) la limite est 0

    dites moi si c'est sa? svp aidez moi, comme on a pas fait beaucoup d'exo en cours c'est difficile pour moi
    Merci

  10. #9
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Re, attention sin'(0)=cos(0) d'où sin'(0)=1 d'ailleur tu dois le voir avec l'encadrement demandé a la question 4 en utilisant le theoreme d'encadrement.Ensuite pour la question 7 fait attention a ce que tu ecris "racine (1-sin²(h))=(racine(1-sin²(h+0))-cos(0)/h-0)"
    ce n'est pas egale .En fait tu as juste a derivé racine(1-sin²h) et une fois que tu as dérivé ceci tu remplace h par 0 et normalement tu trouves cos'(0)=0. Ensuite tu reponds a la question 8 en utilisant la question 7 . Si tu n'as pas compris n'hesite pas à reposter je crois que j'ai été un peu vite.

  11. #10
    radio

    Re : Dérivabilité

    la dérivation de racine(1-sin²(h)) est-ce ?
    cos'(h)= -2cos(h)x((1)/2racine(1-sin²(h)))= -2cos(h)/2racine(1-sin²(h))

    mais après quand je remplace h par 0 je trouve cos'(0)= -1

    Peux-tu m'aider svp

  12. #11
    mb019

    Re : Dérivabilité

    J'ai trrouver ton erreur la derivé de donc la derivé de ?

  13. #12
    radio

    Re : Dérivabilité

    alors c'est 2cos(h) x sin(h)
    mais comme c'est 1-sin²(h) alors c'est -2cos(h) x sin(h) ?

  14. #13
    mb019

    Re : Dérivabilité

    oui =) et sin(0)=?

  15. #14
    radio

    Re : Dérivabilité

    donc cos'(h)= -2cos(h)sin(h)/2racine(1-sin²(h))
    est-ce sa?

  16. #15
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Oui ! donc cos'(0)=?

  17. #16
    radio

    Re : Dérivabilité

    cos'(0)=0 mais qu'est ce que je dois marqué pour dire que la fonction cos est dérivable aussi en 0

  18. #17
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Euh tu peux dire entant que fonction composé la fonction est dérivable en 0 car la fonction est derivable en 0 et la fonction est aussi en derivable en 0 donc la fonction cos est derivable en 0 et de nombre dérivé 0.

  19. #18
    radio

    Re : Dérivabilité

    pour la 8) j'ai remplacé h par 0 et donc la limite est 0
    est-ce sa?

  20. #19
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Pour la 8) si tu remplace h par 0 dans ce n'est pas egale a 0 et tu n'as pas le droit lol.En fait faut utiliser la definition du nombre dérivé.
    et ca c'est le taux de variation donc et cos'(0) tu connais deja d'apres la question précédente.
    Cordialement.

  21. #20
    radio

    Re : Dérivabilité

    ok, merci beaucoup, peux tu m'aider pour la partie 2 svp

  22. #21
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Montre moi ce que tu as fait déja car l'important c'est que tu comprennes!
    =)

  23. #22
    radio

    Re : Dérivabilité

    justement, le probléme c'est que je n'ai pas compris mais maintenant avec ton aide j'ai compris la partie 1
    Veux-tu m'aider svp pour la partie 2
    comme on a fait très peu d'exo en cours c'est difficile pour moi
    merci de ta compréhension

  24. #23
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Euh pour la premiere question qu'est ce qui te bloques ?
    D'ailleur en fonction des lignes trigos lol meme moi j'ai pas trop compris je ne sais pas si il faut utiliser les formules d'addition des sinus ou utiliser autres choses

  25. #24
    radio

    Re : Dérivabilité

    peux-tu m'aider alors pour la suite?

  26. #25
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Oui Oui t'inquietes pas lol toute manière ca me fait des revisions je suis en terminale aussi lol.Bon moi jaurais utiliser la formule des sinus si te souviens de ton année de première normalement tu les a vues ou alors fait une petite recherche sur internet.

  27. #26
    radio

    Re : Dérivabilité

    sin(a+h)=sin a cos h+cos a sin h

  28. #27
    mb019

    Re : Dérivabilité

    ok c'est bon =) fait la suite maintenant

  29. #28
    radio

    Re : Dérivabilité

    bas après je vois pas, veux tu m'aider ?

  30. #29
    mb019

    Re : Dérivabilité

    Reinjecte ce que tu as trouver a la question précedente dans la question 2 et factorise par sin(a) et au miracle tu trouve deux formes dont tu connais deja les limites d'apres la partie 1.

  31. #30
    radio

    Re : Dérivabilité

    le tout divisé par h

    après je bloque, peux tu m'aider

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