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Dérivation/Equation différentielle



  1. #1
    pietro_il_lover

    Dérivation/Equation différentielle


    ------

    Boujour à tous

    Voilà je suis en Terminale S et j'ai juste besoin d'un coup de main pour la résolution d'un exercice et notamment pour la question 2)b svp !
    J'ai pratiquement fini le reste du devoir donc si quelqu'un pouvait me conseillé !


    Une exploitation agricole utilise un certain type d'engrais qu'elle répand sur le sol.Une étude a montré qu'une fois répandu sur le sol une partie de l'engrais (1%) est transmise sous forme de nitrate dans l'eau de la nappe phréatique; ces nitrates sont ensuites dissous dans cette eau.
    On note Q0 la quantité d'angrais répandu sur le sol à l'instant t=0.
    A tout instant, la quantité de nitrates qui passe dans l'eau est notée q(t) et f(t) désigne la quantité de nitrates qui passe dissoute dans l'eau.
    L'étude a encore montré que les fonctions q et f vérifient pour t supérieur ou égale à0 les équations différentielle suivantes :
    (1) q'(t) = -0,7*q(t) avec q(0)=q 0 =0,01 Q 0
    (2) f'(t)=0.7*q(t)-0.4*f(t) avec f(0) =0

    1)Résoudre l'équation (1).

    On a q(t)=a*e^(-0,7t) et q(0)=0,01*Q0

    On a donc a=0,01*Q0

    d'où q(t) = 0,01*Q0*e^(-0,7t)

    2)a) Résoudre l'équation différentielle y' + 0.4y = 0

    y(t)=a*e^(-0,4t)

    b)Déterminer le réel k tel que la fonction définie par t: 0.7*q(0)*k*e^(-0.7t) soit 1 solution particulière de (2) .

    Ici, je sais qu'il faut dériver t et remplacer f'(t) et f(t) par t' et t pour déterminer k mais je n'arrive pas à dériver t !
    Est-ce que vous pourriez m'aider svp !


    -----

  2. #2
    bubulle_01

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    Toutes les solutions de (2) sont telles que :
    [TEX]f'(t)=0.7q(t)-0.4f(t)[TEX]
    On a :

    Or
    Ainsi
    soit
    Or t est solution de (2).
    Donc
    Or
    Donc
    Or
    D'où
    Soit
    Soit
    soit
    Je n'ai pas vérifié mes calculs, à toi de le faire ^^

  3. #3
    pietro_il_lover

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    Merci bcp bcp bcp bubulle pour ton coup de main !
    (Je me suis encore embrouillé tout seul dans mes calculs ! lol )

    Passe un bon réveillon !!!

  4. #4
    bubulle_01

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    Mais de rien ! ^^

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pietro_il_lover

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    Re bonjour à tous !

    Ptit problème de compréhension pour passer de :

    t'(t) = 0.007*Q0*e^(-0.7t) - 0.0028*Q0*k*e^(-0.7t)

    à

    t'(t) = -0.0049*Q0*k*e^(-0.7t)


    Une idée?

  7. #6
    bubulle_01

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    Je ne suis passé de cette écriture à l'autre :
    la deuxième expression que tu as noté je l'ai determiné en calculant bêtement la dérivée de t

  8. #7
    pietro_il_lover

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    okech !!!! Mais en partant de l'expression : t(t) = 0.007*k*Q0*e^(-0.7t) ???

  9. #8
    bubulle_01

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    Oui


    .

  10. #9
    pietro_il_lover

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    mais comment tu fais quand tu as une série de multiplication à la chaîne ?

  11. #10
    bubulle_01

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    L'expression de t(t) est de la forme :
    Donc sa dérivée est :

  12. #11
    pietro_il_lover

    Re : Dérivation/Equation différencielle

    par "a" tu entends, 0.007*Q0*k ?

  13. #12
    bubulle_01

    Re : Dérivation/Equation différentielle

    Oui oui, un réel

  14. #13
    pietro_il_lover

    Re : Dérivation/Equation différentielle

    Ah zut ! Q0 et k sont des réels ! C'est pour ça ! Merci encore pour tout tes précieux conseils !

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