equation différentielle

[invite07aa0cad]

bonjour a toute est a tous et surtout bonne année voila j ai eu un QCM a faire et je voudrai savoir si j ai bon si vous y trouver des faute pouvais vous m expliquer pourquoi car mes réponse je n arrive pas trop a les expliquer our moi c est evident mais pas toujour correct merci de m apporter votre aide

SUJET:il peut y avoir plusieurs propositions exactes
on considère les équations différentielles :
(E1)y'(x)-2y(x)=0
(E2)y'(x)-2y(x)=2e^2x
ou l inconnue y est une fonction dérivable sur R
1°)Si f et g sont des fonctions non nulles qui sont solutions de (E1)
a)f=g b)il existe un réel k tel que f=kg
c)f-g est une solution de (E1)

2°) Si f est une solution de (E1) telle que f(0) < ou = 0 alors:
a) il existe un réel c tel que f->ce^-2x
b)lim f(x)=-infini quand x tend vers +infini
c)la fonction x->f(x)+2e^2x est une solution de (E2)

3°) Si f et g sont deux solutions de (E2):
a) il existe un réel k tel que g->f(x)+ke^2x
b) f-g est une solution de (E2)
c) la dérivée de g:f(x)e^-2x

mes réponces sont
1°) a et b
2°) c
3°) a
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[invite2031b66f]

bonjour,
je n'ai pas tout lu, mais la réponse que tu donnes à la premiere question est fausse. Et je ne vois pas ce qu'il y a d'évident pour toi si tu n'arrives pas à justifier, d'autant plus que le résultat est faux. tu devrais essayer de comprendre comment ça marche plutot que de deviner les résultats je pense, désolé de sembler méchant, je ne le suis pas
Bon, reprenons ensemble la premiere question, qui est du cours ! (je suppose que tu es en Terminale), les equa diff du premier ordre, à coeff constants c est du cours, et tu as même démontré le résultat.

(E1) y'(x)-2y(x)=0

ton cours affirme que l'ensemble des solutions de (E1) est l'ensemble des fonctions f définies par f(x) = k. exp(2.x), quel que soit k un réel
(regarde bien la démo ds ton livre de maths, ça te permettras de comprendre comment ça marche et en plus, c'est au programme...).
Donc si tu peux considérer n'importe quel k réel, ça veut dire que tu as une infinité de solutions à l'équation (E1). Après, ces solutions sont construites de la même manière, en analysant 1 min ces solutions, tu peux répondre comme il faut à la premiere question, tout en justifiant pourquoi a), b), ou c) sont "vrai" ou "faux".
Bon courage, on verra peut-etre pour les autres questions plus tard, mais si tu veux que je t'aide, j'aimerais bien voir comment tu réfléchies un peu, essaie de montrer que t'as cherché les résultats..., apres si c est faux c est pas grae, on regardera ça ! Le but étant de t'amener à réfléchir, et non de te donner les résultats...

[invite07aa0cad]

oui oui vous avez raison je ne veux pas qu on me donne les réponse au bac vous ne serez pas avec moi je doit me débrouiller par moi meme
pour la 1je vais vous expliquer mon raisonnement
(E1)y'(x)=2y(x)
donc il existe une solution qui s écrit k*e^2x
je nai pasde condition initiale donc je peux pas trouver k
si f et g sont solution cela veut dire qu elle s ecrivent sous cette forme la donc si k=1 f = g
et si k est plus grand donc f=k*g
c est pour cela que j ai mis c est deux réponse
c est pour cela que c est sa qui me paraissait evident et c etait pas du hazard
et pour moi c etais faux car f-g serai egale a une constante et une équa diff peut pas etre egale a une constante
ha moins que k=0 c est possible?
voila j espere avoir été compréhensible dans mes explications
merci de bien vouloir m aider

[invite2031b66f]

ton erreur est ici:
"(E1)y'(x)=2y(x)
donc il existe une solution qui s écrit k*e^2x
je nai pasde condition initiale donc je peux pas trouver k " CECI EST FAUX

CORRIGE:
(E1)y'(x)=2y(x)
donc la solution de (E1) est l'ensemble des fonctions définies sur R par
f(x)=k*e^2x, avec k appartenant à R, k quelconque.
J'insiste, toutes les fonctions de la forme f(x)=k*e^2x sont solutions de (E1), ici tu n'as pas de condition initiale donc il y a une infinité de solutions.

Une fois celà admis (ou compris serait le mieux), tu peux refaire ton raisonement pour en déduire les réponses à la premiere question ...

[A voir en vidéo sur Futura]