Problème sur les ensembles de points

[invite143e4ff1]

je n'arrive pas a faire la partie B j'ai un probleme concernant le grand 2 :


A, B, C sont 3 points distincts du plan tq BC = 3AB (vecteurs)
On se propose de determiner l'ensemble L des points M du plan pour lesquels il existe un cercle passant par B et C et tangent en M a la droite (AM)



PARTIE B : Méthode analytique :

on choisit AB pour unité de longueur et on désigne par u(vecteur) , un vecteur tq (B; AB, u) (vecteur) soit un R.O.N (repère orthonormé) du plan.

2- soit M un point du plan n'appartenant pas à (AB) et (a,b) son couple de coordonnées.

a) calculer, en fonction de a et b, les coordonnées du centre du cercle (C)m passant par B, C et M

b) determiner une equation de la tangente au cercle (C)m au point M

c) en déduire que M appartient à L si et seulement si a²+b²+2a-3=0

d) determiner l'ensemble L


merci bien

on a pour le 2- a) C(3;0) A(-1;0) B(0;0) et donc M(a:b)
-----

[invite57a1e779]

Le centre du cercle est :
– équidistant de et , donc sur la médiatrice de
– équidistant de et , donc sur la médiatrice de .
Il te suffit donc de déterminer des équations de ces médiatrices puis les coordonnées de leur point d'intersection.

La tangente en au cercle est la perpendiculaire à passant par : tu peux facilement en déterminer une équation.

Il te suffit alors d'écrire la condition analytique nécessaire et suffisante pourque cette tangente passe par le point , puis d'interpréter géométriquement le résultat obtenu pour caractériser l'ensemble .

[invite143e4ff1]

milieu de [BC] = x = xC-xB / 2 = 3/2
y = 0
I (3/2 ; 0)

J mileu de [BM] = x = xM - xB / 2 = xM / 2
y = yM - xB /2 = yM/2

J (xM/2 ; yM/2)

le vecteur BC a pour coordonnées (3 ; 0)
donc 3(x- 3/2 ) + 0(y-0) = 0
3x - 9/2 = 0 ou 6x - 9 = 0 x = 3/2

le vecteur BM a pour coordonnées (xM ; yM)
donc xM(x - xM/2) + yM(y - yM) = 0
(xM)x - (xM)²/2 + (yM)y - (yM)²/2 = 0
ou 2(xM)x - xM² + 2(yM)y - yM² = 0

donc pour trouver le centre du cercle il faut trouver le point d'intersection des deux mediatrices.

2ax - a² + 2by - b² = 6x - 9
a² - b² + 2ax + 2by - 6x - 9 = 0
a² - b² + (2a - 6) x + 2by - 9 = 0

jusque la c'est bon ?

[invite57a1e779]

Les calculs de médiatrices sont exacts :
– la médiatrice de [BC] a pour équation
– la médiatrice de [BM] a pour équation [tex]2(xM)x - xM^2 + 2(yM)y - yM^2 = 0[tex], c'est-à-dire [tex]2ax - a^2 + 2by - b^2 = 0[tex]

Pour trouver l'intersection de ces deux droites, tu dois résoudre le système
.

L'équation n'a de signification en terme d'intersection des droites.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite143e4ff1]

système :
x = 3/ 2
2ax - a² + 2by - b² = 0

x = 3/2
3a - a² + 2by - b² = 0

x = 3/2
y = ((a² + b² - 3a) / 2 ) /b

[invite57a1e779]

Oui, c'est ça.

[invite143e4ff1]

pour la suite il faut faire AM.MO = 0 (scalaire) ?

je trouve 3a²-b²-2a+3=0

je suis pas sûr de ce résultat ???

[invite57a1e779]

pour la suite il faut faire AM.MO = 0 (scalaire) ?

Oui, c'est ça, mais tu devrais détailler tes calculs.
Tu connais les coordonnées de A, M et O. Tu as dû faire une erreur dans les signes en développant le produit scalaire.

[invite143e4ff1]

AM (a + 1 ; b )
MO (3/2 - a ; (a² + b² - 3a)/ 2b - b ) = ( 3/2 - a ; (a² - b² - 3a)/ 2b )

AM.MO = 0
(a+1)(3/2-a) + b(a²-b²-3a)/2b = 0
3a/2 - a² + 3/2 - a + a²/2 -b²/2 -3a/2 = 0
-a² + a²/2 - b²/2 -a + 3/2 = 0
-2a² + a² - b² -2a + 3 = 0
-a² - b² -2a + 3 = 0
a² + b² + 2a - 3 = 0

voila j'ai trouver c'etait une petite erreur de signe

donc ca c'est l'equation de la tangente

pour le c) il faut dire quoi au juste ?

[invite57a1e779]

voila j'ai trouver c'etait une petite erreur de signe

donc ca c'est l'equation de la tangente

pour le c) il faut dire quoi au juste ?

Tu as rectifié ton calcul.
Mais depuis hier soir, j'avais perdu le fil de l'exo. En fait, tu viens de répondre à la question c) sans avoir fait b).

Le cercle est de centre O et passe par M.
La tangente est la droite perpendiculaire en M à la droite (OM).

A la question b), on te demande de déterminer une équation de cette tangente, ce que tu n'a pas fait.

A la question c), on te demande une condition M appartienne à L, cette condition est: "A appartient à cette tangente", c'est -à-dire "AM est perpendiculaire à OM", c'est ce que tu viens de faire en calculant le produit scalaire AM.OM.

[invite143e4ff1]

ouai d'accord mais pour le b) on fait comment du coup ?

[invite57a1e779]

ouai d'accord mais pour le b) on fait comment du coup ?

Tu dois écrire une équation de la droite perpendiculaire en M à OM.

[invite143e4ff1]

et comment on fait ?

[invite57a1e779]

et comment on fait ?

Si la droite D a pour équation ax+by=c, sais tu ce qu'est le vecteur de coordonnées (a,b) ?

[invite143e4ff1]

c'est le vecteur normal, non ?

OM = n

[invite57a1e779]

c'est le vecteur normal, non ?

OM = n

Oui, donc, dans ton exo, le vecteur normal est de coordonnées (tu remplaces les coordonnées de M et de O par leurs valeurs), et l'équation de la droite est de la forme
.
Il te reste à calculer pour que la droite passe par le point [tex]M[/txe].

[invite143e4ff1]

(3/2 - a)x + ((a² - b² - 3a)/2b)y = c ?

ce n'est pas plutôt = - c ?

[invite57a1e779]

(3/2 - a)x + ((a2 - b2 - 3a)/2b)y = c ?

ce n'est pas plutôt = - c ?

Déjà l'équation de la droite a plutôt une équation de la forme
.

Ensuite, tu écris que la droite passe par , ce qui te fournit la valeur de .

Le fait que tu l'appelles ou est affaire de goût personnel et de notation, puisque tu vas le remplacer par la valeur calculée.

[invite143e4ff1]

et si on prend un point Q(x,y) sur la tangente :
MQ.MO = 0
ca va nous donner l'équation de la tangente ?

MQ.MO = 0
(x - a)(3/2 - a ) + (y-b)( (a² - b² - 3a ) / 2b ) = 0

[invite57a1e779]

et si on prend un point Q(x,y) sur la tangente :
MQ.MO = 0
ca va nous donner l'équation de la tangente ?

MQ.MO = 0
(x - a)(3/2 - a ) + (y-b)( (a2 - b2 - 3a ) / 2b ) = 0

Oui, c'est une autre méthode pour obtenir l'équation de la tangente.