Probabilités

[invite4259dd8f]

Bonjour
Jai un enoncé d'exercice et je n'arrive pas a faire des arbres ...
J'aurai donc besoin d'un tout petit peu d'aide svp
Voici le début de lénoncé:
Une urne contient huit boules rouges et six boules bleues.
Chaque boule a la meme probabilité detre tirée
On tire successviement trois boules sans remise

a) Determiner le nombre de cas possibles ; on peut imaginer un arbre.

Je n'arrive pas a imaginer cet arbre.
Jai commencé par R1( rouge n°1) et jai mi toutes les possibilité je l'ai fais 3fois ( on tire succesivement 3 boules) et j'en conclu que le resultat est 8*13 ?
Est ce cela ? merci
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[invite1237a629]

Plop,

Comme les boules rouges sont indiscernables entre elles (à mon avis...), je pense que dans ton arbre, tu n'as pas besoin de numéroter les boules.

Sinon, j'crois bien que tu es bien parti.


Si la première est une rouge, après tu peux tirer encore soit une R soit une B. Pour cette R, tu peux ensuite tirer soit une R soit une B, pareil pour la B.

Si la deuxième est une B, c'est le même schéma.

Donc tu auras différents schémas possibles : {R, R, R}, {R, B, R}, etc... Certains se répèteront -> tu n'en garderas qu'un, car (l'énoncé ne le dit pas, mais on pourrait le proposer) l'ordre de tirage n'est pas important...
-> je trouve 6


L'énoncé n'est pas super clair pour moi (j'ai du mal avec ces trucs-là ) donc regarde si ce mode de raisonnement convient, plutôt que de voir si le résultat est juste =/

[God's Breath]

L'urne contient 8 boules, donc l'arbre commence par 8 branches donnant le résultat du premier tirage. Il reste alors 7 boules dans l'urne, donc chaque branche donne naissance à 7 branches donnant le résultat du deuxième tirage. Il reste alors 6 boules dans l'urne, donc chaque branche donne maintenant naissance à 6 branches donnant le résultat du troisième tirage.
Il y a donc 8.7.6 = 336 possibilités.

[invite1237a629]

Sauf qu'il y a 14 boules au total dans l'urne...

Comment savoir si les boules sont discernables ou pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Sauf qu'il y a 14 boules au total dans l'urne...

Oui, je n'ai tenu compte que des boules rouges... Il y a donc 14.13.12 possibilités

Comment savoir si les boules sont discernables ou pas ?

Les boules sont "indiscernables au toucher" expression consacrée pour dire que "la probabilité de tirage d'une boule est uniforme" : on ne peut pas tricher en coisissant une plus grosse, ou plus lourde, ou plus lisse, ou plus... qu'une autre.

Mais on peut les distinguer dans leur ordre d'apparition lors des tirages successifs. Mon erreur en dénombrant un tirage sur les boules rouges le montre bien : il y a 336 possibilités de tirer 3 boules parmi 8 rouges, et non une seule, bien que le résultat soit toujours trois boules rouges...

Tu peux imaginer que les boules portent un numéro, peint en rouge pour les boules de 1 à 8, en bleu pour les boules de 9 à 14. Les boules restent indiscernables au toucher, mais leur ordre d'apparition est apparent.
Maintenant, si le peintre s'est trompé, et a peint toute la boule au lieu de ne peindre que le numéro, cela ne change rien, les boules ne peuvent pas s'en rendre compte pour modifier leur probabilité d'être tirée.

Autre point de vue : on ne tire qu'une boule. Il y a quatorze possibilités, 6 favorables pour le tirage d'une boule bleue, 8 pour le tirage d'une boule rouge. Les probabilités sont donc 6/14 et 8/14.

Si l'on raisonne en disant : 2 possibilités, on tire une rouge ou une bleue, donc un cas favorable de chaque côté, et une probabilité de 1/2 pour l'apparition d'une boule de couleur donnée, on sent bien que cela ne marche pas. Le résultat ne dépend pas du nombre de boules de chaque couleur, et on sent bien que si l'on avait 13 boules rouges et 1 boule bleue, le tirage d'une rouge est favorisé.

[invite1237a629]

Alors l'énoncé peut être interprété de différentes manières possibles ? Vu que tu as émis l'hypothèse que l'ordre importait et que les boules étaient numérotées, mais rien ne dit si l'on doit le considérer ainsi ou pas... ou bien ce sont des conventions ?

(sinon, j'ai bien compris le 14.13.12, formule des arrangements - merci pour le bonus ! )

[God's Breath]

Alors l'énoncé peut être interprété de différentes manières possibles ?

Non, il n'y a qu'une seule façon de l'interpréter, je faisais juste des hypothèses sur le travail de celui qui a peint les boules, pour dire que, finalement, cela n'avait rien à voir avec notre problème.

Je réitère la question : une urne contient 356 boules rouges et 1 boule bleue. Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirée ; quelle est la probabilité de tirer la boule bleue ?

[invite1237a629]

Ben 1/357

Mais là, on en tire 3 parmi des boules qui sont toutes plus nombreuses que 3 oO

[God's Breath]

Ben 1/357

Tu considères donc qu'il y a 356 possibilités de tirer une boule rouge.

Les 356 boules rouges sont indiscernables, mais elles conduisent à 356 possibilités différentes

Mais là, on en tire 3 parmi des boules qui sont toutes plus nombreuses que 3 oO

On tire ici 3 boules parmi 14, l'arbre contient 14 branches qui se subdivisent en 13, qui se resubdivisent en 12.
Comme dans le 1/357, tu es bien obligé de considérer que des boules distinctes bien qu'indiscernables conduisent à des possibilités distinctes.

[invite1237a629]

Tu considères donc qu'il y a 356 possibilités de tirer une boule rouge.

Je me dis plutôt qu'il y a 356 fois plus de chances de tirer une boule rouge qu'une bleue :/

Justement, en considérant qu'elles sont indistinctes (têtue la molette qu'on vous dit ! ) et indiscernables (donc ordre de tirage peu important), on peut dire que les possibilités sont :

(3B, 3R, 2B1R, 2R1B)

Non ?

Je verrais alors l'arbre comme :
Deux branches (une vers R, une vers B), pour chacune de ces branches, deux autres branches (une vers R, une vers B) etc...

Mais qu'est-ce qui cloche dans ça ?

('tention hein, je veux comprendre, pas dire que MA solution est bonne )

[God's Breath]

Je me dis plutôt qu'il y a 356 fois plus de chances de tirer une boule rouge qu'une bleue :/

Oui, mais les calculs et moi... seul le raisonnement m'importe

JJustement, en considérant qu'elles sont indistinctes (têtue la molette qu'on vous dit ! ) et indiscernables (donc ordre de tirage peu important), on peut dire que les possibilités sont :

(3B, 3R, 2B1R, 2R1B)

Non ?

Je verrais alors l'arbre comme :
Deux branches (une vers R, une vers B), pour chacune de ces branches, deux autres branches (une vers R, une vers B) etc...

Mais qu'est-ce qui cloche dans ça ?

Je reviens à mes 356 boules rouges et une bleue, ton arbre a bien 357 branches : une vers chaque boule rouge, et une vers la boule bleue.

Dans notre problème c'est pareil, le premier étage de l'arbre a 14 branches, une vers chacune des boules qui peuvent être tirées en premier. Puis, de chaque branche, repartent 13 branches, une vers chacune des boules restantes, susceptibles d'être tirées en second. Puis, au troisième étage, chaque branche se ramifie en 12...

Je ne vois pas comment l'expliquer autrement.

Chaque branche représente un tirage de la forme (BBB), (BBR) ,(BRB), (RBB), (RRB), RBR), (BRR), (RRR).
Il faut ensuite dénombrer chacune de ces formes pour calculer la probabilité correspondante.

[invite1237a629]

Oui, mais les calculs et moi... seul le raisonnement m'importe

Ben le raisonnement, justement, c'est que comme il y a 356 fois plus de boules rouges que de blanches, il y a 356 fois plus de chances de tomber sur une rouge que sur une blanche :/

Je reviens à mes 356 boules rouges et une bleue, ton arbre a bien 357 branches : une vers chaque boule rouge, et une vers la boule bleue.

Dans notre problème c'est pareil, le premier étage de l'arbre a 14 branches, une vers chacune des boules qui peuvent être tirées en premier. Puis, de chaque branche, repartent 13 branches, une vers chacune des boules restantes, susceptibles d'être tirées en second. Puis, au troisième étage, chaque branche se ramifie en 12...

Je ne vois pas comment l'expliquer autrement.

Chaque branche représente un tirage de la forme (BBB), (BBR) ,(BRB), (RBB), (RRB), RBR), (BRR), (RRR).
Il faut ensuite dénombrer chacune de ces formes pour calculer la probabilité correspondante.
Aujourd'hui 16h51

Si on considère les boules identiques, on peut regrouper les branches de l'arbre. Elles n'auront certes pas la même probabilité, mais pour l'instant, on veut le nombre de cas
C'est comme dans un arbre où on dit "40% de femmes, 60% d'hommes dans une population de 100 personnes, une femme aura 2 enfants, soit fille, soit garçon, un homme en aura 1, soit fille, soit garçon". Tous les hommes et femmes sont différents, mais le critère qui nous intéresse, c'est le sexe. On ne va pas faire 100 branches, puis plus de 140 branches pour les différents enfants ?

C'est ça que je ne comprends pas

[MaliciaR]

Hello,

Peut-être je vais dire une grosse connerie
Mais il me semble que ce ne soit pas si compliqué que vous tentez de le rendre Dans le sens où le raisonnement que l'on suit est :
* j'ai 1 chance sur 2 de tirer une boule rouge (1/2), sur 8 boules rouges et 6 bleues;
* j'ai ensuite 1 chance sur 2 de tirer une rouge en ayant 7 rouges et 6 bleues si N°1 était rouge et 1 chance sur 2 en ayant 8 rouges et 5 bleues si N°1 était bleue;
* etc.
In fine, il y a deux chemins possibles étant donné que c'est un tirage sans remise...

Si j'ai dit des bêtises, shame on me Mais que personne ne se moque, je suis biologiste

Cordialement,

[God's Breath]

Si on considère les boules identiques, on peut regrouper les branches de l'arbre. Elles n'auront certes pas la même probabilité, mais pour l'instant, on veut le nombre de cas

Le problème est qu'à l'heure actuelle, on ne formalise plus assez ces problèmes de probabilité, et que l'on dit vite des bêtises.

Quand on dit que "chaque boule a la même chance d'être tirée", cela veut dire que l'on dispose, au départ de l'ensemble des boules présentes dans l'urne sur lequel on considère une probabilité uniforme.

On définit par ailleurs sur une variable aléatoire , à valeurs dans l'ensemble , dont la valeur est la couleur de la boule tirée.

Un tirage de trois boules successives, est un triplet , élément de , dont les trois éléments sont deux à deux distincts, puisque les tirages successifs sont sans remise. Les "cas possibles", c'est-à-dire les objets sur lesquels vont porter le calcul de probabilité, sont ces triplets. Leur nombre est 14.13.12.

[invite1237a629]

Présenté comme ça, c'est de suite plus clair


Merci beaucoup pour tes réponses et ta patience !


(et désolée d'avoir squatté le topic )

[God's Breath]

Merci beaucoup pour tes réponses et ta patience !)

De rien, je regrette de ne pas avoir formalisé le problème plus tôt.

[invite4259dd8f]

O punez j'aurais jamais pensé que ce soit aussi compliqué que ca . Donc j'avais faux sur toute la ligne .. En tout cas merci beaucoup pour toute votre aide.
Aprés par exemple si il me demandait de dire combien il ya de possibilités pour avoir 2 boules rouges dans le tirage.
Je dois regarder mon arbre et le dire ? ou il y a plus simple ?

[God's Breath]

Aprés par exemple si il me demandait de dire combien il ya de possibilités pour avoir 2 boules rouges dans le tirage.

On te le demande, ou pas ?

En fait, la réponse à la première question dépend plus ou moins des questions suivantes.

Je dois regarder mon arbre et le dire ? ou il y a plus simple ?

Vu la taille immense de ton arbre, je ne pense pas que tu puisse compter "une par une" toutes les branches convenables. Il va donc falloir trouver une méthode pour les compter, et obtenir une jolie formule.