Problème exo 1ère S Suites numériques

[invite64ad22d5]

Bonjour a tous!

Je suis en 1ère S j'ai un exo à faire en maths et comme l'indique le titre je galère un peu... Aussi j'espère que quelqu'un pourra m'aider

Donc voici l'énoncé :

Un employé se rend à son travail en bus:
==> S'il est à l'heure, il prend le bus de ramassage gratuit.
==> S'il est en retard, il prend le bus à 1.5€.

Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est 1/5.
S'il est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est 1/20.
On appelle Rn : " l'employé est en retard un jour donné "
Pn = p(Rn)
Qn = p(Rn barre) = (1-Pn)

a) Exprimer Pn+1 en fonction de Pn et de Qn puis en fonction de Pn.
==> Là, j'ai donc dit Pn+1=(Pn+1/Pn)xPn+(Pn+1/Qn)xQn=1/40+1/10=0.125

b) Etudier la suite Pn
On pose Vn=Pn-4/23
Montrez que Vn est une suite géométrique de raison q=-3/20
==> Là je bloque, j'ai l'impression que l'énoncé est faux (pourtant j'ai vérifié c'est bien ça ^^) puisque moi ça fonctionne mais avec 4/38 pas 4/23 bref...

c) Exprimer Vn puis Pn en fonction de n

d) Justifier que Pn est convergente, trouver sa limite.

Bon en gros je craque c'est pour demain et je bloque depuis un moment...

Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa

Merci
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[invite3df1c846]

Bonjour!!!

Pour ta réponse au a/ je suis pas tellement sûr de sa validité!! Pour l'énoncé de ton b/ non-plus d'ailleurs ^^

Bon en fait je te propose de faire un arbre pour mieux pouvoir résoudre ce problème, tu arriveras beaucoup plus facilement au résultat de en fonction des autres variables (où tes probabilités de l'énoncé doivent intervenir bien sûr).

Tu fais deux premières branches avec comme proba et et après tu finiras très facilement (sans oublier que les probas se multiplient le long d'un chemin et s'additionnent lorque ce n'est pas le cas).

Le seul problème est que mon résultat diffère légèrement de celui de ton énoncé puisque la question c/ ne fonctionnerait qu'avec Vn=Pn-4/20 (soit -1/5).


EDIT : Tu devrais pour la a/ obtenir un résultat sous la forme P(n+1)=a-b*Pn où a et b des réels que tu devrais avoir

Voilà j'imagine que le reste devrait pouvoir se faire plus rapidement si ce n'est pas trop tard. ^^

[invitea3eb043e]

Ton énoncé est juste.
Fais un arbre de décision au jour n puis au jour (n+1)
Au jour n, la proba d'être en retard est Pn, celle d'être à l'heure est 1 - Pn
Il y a 2 façons d'être en retard le jour n+1 :
1) Il a été en retard le jour n, donc sa proba est Pn/20 (on multiplie les 2 probas)
2) Il a été à l'heure le jour n, alors la proba est(1 - Pn)/5
et la proba totale d'être en retard le jour n+1 est la somme de ces 2 chemins, soit :
P(n+1) = Pn/20 + (1 - Pn)/5
et ensuite ça déroule comme ton énoncé le dit.