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limite de xarctan(1/racine(x))



  1. #1
    GalaxieA440

    limite de xarctan(1/racine(x))


    ------

    Bonsoir

    Je sais que j'insiste avec mes arctangeantes pourrites, mais je bloque ici :

    Si c'est possible sans passer par les DL, merci de m'aiguiller, parceque j'ai essayé les changments de variable, et de remplacer arctan(1/u), sachant que x est positif, mais je n'arrive à rien

    Merci bien, bonne soirée

    +++

    -----
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  2. #2
    Crossover

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Bonsoir,

    Arctan(x) = x + o(x) en 0 donc Arctan(1/racine(x)) = ... en l'infini
    Et y'a plus qu'à faire la limite...

    Pourquoi s'embêter à le faire sans DL ?

    Sans DL je ne vois pas comment faire dsl...

  3. #3
    MiMoiMolette

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Plop,

    Citation Envoyé par Crossover Voir le message
    Bonsoir,

    Arctan(x) = x + o(x) en 0 donc Arctan(1/racine(x)) = ... en l'infini
    Et y'a plus qu'à faire la limite...

    Pourquoi s'embêter à le faire sans DL ?

    Sans DL je ne vois pas comment faire dsl...
    Parce qu'il est en terminale, non ? :/

    Sinon, la limite est-elle censée être finie ?

    Vu que arctan(1/sqrt(x)) tend vers quelque chose de fini...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #4
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    La limite c'est + l'infini il me semble....
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Sinon, la limite est-elle censée être finie ?

    Vu que arctan(1/sqrt(x)) tend vers quelque chose de fini...
    Le quelque chose de fini étant 0, ça ne nous aide pas tellement

    Pour lever l'indétermination on peut utiliser le taux d'accroissement de l'arctangente en 0 :

    en posant .

  7. #6
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    attention c'est x*arctan(1/sqrt(x)), et pas sqrt(x)*arctan(1/sqrt(x)).

    Ca marche toujours.... ????
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  8. #7
    MiMoiMolette

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Sépare x en
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  9. #8
    Electrofred

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Salut !

    Je trouve à la calculatrice également .
    Je te propose une méthode à notre niveau, je ne sais pas trop si c'est correct, c'est du "fait maison" donc attends peut-être confirmation de quelqu'un d'autre :
    J'utilise la notation pour dire que quelque chose tend vers 0 par valeurs strictement positives.
    On cherche .
    Pour tout x>0 posons , aisni , donc .
    On a donc par composée .
    Posons pour tout , ( et donc ) . On a et donc par composée .
    Or pour tout , .
    Finalement, il vient
    Or et , on conclue par produit que la limite recherchée existe et qu'elle vaut , comme ce qui avait été conjecturé sur la calculatrice.

    Voilà, j'espère que c'était correct.

    A+

    Edit : Oups grillé depuis longtemps avec le taux d'accroissement

  10. #9
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Je regarde ça de plus près dès demain...

    En tout cas merci encore à vous tous, et bonne soirée ^^

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  11. #10
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Pour lever l'indétermination on peut utiliser le taux d'accroissement de l'arctangente en 0 :

    en posant .
    Je gère pas trop les taux d'accroissement mais n'y aurait il pas un os ? ça ne fait pas 0 ????
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  12. #11
    Electrofred

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    En fait c'est pas x=0 mais u=0 (enfin pas =0 mais plutot tend vers 0):

    On a pour tout x>0 avec .
    Quand x tend vers u tend vers 0.
    On calcule donc d'une part (on donne a u et pas a x la valeur 0, en fait c'est indépendant de ce qui a été fait au dessus imagine que tu cherches juste la limite quand u tend vers 0 de ).
    Ensuite , par produit ("", avec des guillemets biensur ) ca te donne .

  13. #12
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    ok je comprend mieu le calcul du taux d'accroissement, par contre, on peut comme ça "multiplier" une limite en +l'infini par un taux d'accroissement pour conclure que la fonction globale diverge ? ???

    Parcequ'en fait, le taux d'accroissement quand u tends vers 0 de arctan(1/racine(u))/u correspond à un coeff directeur, pas à une limite ?

    Mais bon comme je l'ai dit je n'ai pas beacoup utilisé les taux d'accroissement de cette manière, dommage, parceque j'en vois maintenant l'utilité.

    En tout cas merci encore pour l'aide

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  14. #13
    Electrofred

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    par contre, on peut comme ça "multiplier" une limite en +l'infini par un taux d'accroissement pour conclure que la fonction globale diverge ? ???
    Parcequ'en fait, le taux d'accroissement quand u tends vers 0 de arctan(1/racine(u))/u correspond à un coeff directeur, pas à une limite ?
    La remarque que j'ai faite entre guillemets n'était biensur qu'une image, on ne fait pas vraiment " ", on conclue d'après les opérations sur les limites. par exemple, quand tu calcules , tu commences par dire que 1/x tend vers + infini (+), que l'exponentielle tend vers 1 donc tu conclue que ca tend vers .
    Ici c'est exactement la même chose : soit f la fonction qui nous interesse (), on écrit que f=f1*f2 avec f1 la fonction racine carrée et f2 le taux d'acroissement.
    Et la y'a plus qu'a faire les limites de f1 et f2 a part (on a choisi f1 et f2 de facon à ne pas retomber sur une indétermination lors de la conclusion sur la limite de f).
    La limite de f1 c'est + infini pas de probleme.
    Pour f2 ca s'avere un peu plus compliqué, on fait un changement de variable puis on aboutit à un taux d'accroissement qui permet de lever l'indetermination. Le taux d'accoissement lui c'est en effet un coefficient directeur (d'une sécante à la courbe) mais nous ce qui nous interesse c'est la limite du taux d'accoissement, qui est également un coefficient directeur, mais celui de la tangente, et ca c'est le nombre dérivé.
    Par exemple, tu as du voir que . Si on admet que la fonction sinus est dérivable sur R et que sin'(x)=cos(x) (je dis ca parce qu'en général on se sert justement de cette limite pour montrer la dérivabilité du sinus ...), alors on a :
    car f(0)=sin(0)=0. Et la limite du taux d'accroissement par définition c'est le nombre dérivé. Or ici f est dériavle et f'(x)=cos(x), donc on a .

    Voila, j'espère que j'ai répondu à ta question et que tu as mieux compris. S'il y a des points qui ne sont pas tres clairs n'hésite pas.

    A+

  15. #14
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    ok c'est tout bon

    Je te remercie pour ces explications et cette aide, ça ma permi en tout cas de bien avancer sur un travail que je traîne depuis un moment déja. Donc j'utiliserai cette méthode du taux d'accroissement, même si l'autre que tu proposes est très ingénieuse (respect d'ailleurs, je n'étais pas arrivé jusque la en utilisant le même changement de variable...)...

    Voila voila merci encore

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  16. #15
    GalaxieA440

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    ouais en fait c'est le terme "taux d'accroissement" qui m'a embrouillé, parceque c'est vrai qu'il doit bien figurer quelque part, mais en fait c'est jsute la défnition ici, avec la limite, du nombre dérivé, que j'utilise en fait très souvent. Mais je ne pense pas que j'aurai pensé comme ça au changement de variable nécessaire ^^

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  17. #16
    Electrofred

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    OK super ravi d'avoir pu t'aider.
    J'en profite juste pour te dire qu'on pourrait aussi écrire que et utiliser la règle de l'hospital (la limite du quotient des fonctions est égal à la limite du quotient des dérivées, si ca ne marche pas du premier coup on rederive ... mais ici ca marche du premier coup).
    Petite question (désolé j'utilise ton post ) : savez vous pourquoi la règle de l'hospital n'est pas appréciée par les profs de maths (enfin il parait) ? Je suis d'accord qu'il faut faire attention en l'utilisant à ne pas écrire d'horreurs du genre (désolé c'est pas beau ), mais par exemple pourra-t-on l'utiliser en prépa ? parce que c'est bien pratique quand même.

  18. #17
    Gaara

    Re : limite de xarctan(1/racine(x))

    Salut electrofred,

    à ta question on m'a dit que la plupart des élèves ne savent pas ce qu'ils font en manipulant ce truc. Il serait mieux d'appliquer le théorème des accroissement finis et encore, il faut Bien l'utiliser.

    Sur ce,

    a+
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

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