[TS+] Intégrales sympas

[Seirios]

C'est Décomposition en Elements Simples (D.E.S), le mieux c'est que tu recherche des exemples sur internet, mais sinon je peux t'expliquer brièvement.
Bon apparament le premier tu a compris (donc tu devrai savoir ce qu'est une DES).

Donc pour trouver , il a multiplier les 2 membres par (t+1), et a fait prendre la valeur t=-1

Pour trouver , il multiplie par t les 2 membres , puis fait tendre vers l'infini.
Par contre pour C, moi par exemple je fait prendre la valeur t=0 à légalité du débout où j'ai assigné les nouvelles valeurs de A et B trouvées, et je trouve C=2/3 et pas 1/3.
Mais je me suis ptet trompé.

Le principe est le même, mais j'ai fait différemment ; J'ai mis les deux fractions contenant les constantes A et B au même dénominateur, pour égaler le numérateur à 1, soit . Puis j'ai développé, et, après ordonné, j'ai égalé t à zéro (puisque l'équation doit être vraie pour tout t) pour obtenir une relation entre deux constantes, que j'ai réinsérée dans l'équation de départ, puis j'ai reégalé t à zéro, etc., jusqu'aux valeurs numériques.

ps: désolé Phys2 et bon anniversaire très en retard, d'ailleurs y a des trucs dans ton calculs notament juste apres que je comprend pas

Merci Qu'est-ce que tu n'as pas compris, que je puisse le détailler ?
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[invitec317278e]

En tout cas, on ne peut pas avoir simultanément A=C=1/3

[invitec317278e]

Et je ne comprends pas le passage de t²-t+1 à (4t-2)²+1....

[Seirios]

En tout cas, on ne peut pas avoir simultanément A=C=1/3

Je n'avais pas vu que Fonky- relevait cette erreur...Je vais voir ça.

Et je ne comprends pas le passage de t²-t+1 à (4t-2)²+1....

Je passe de t²-t+1 à (t-1/2)²+1/2, puis je multiplie et simplifie par 2 dans l'intégrale, et par la même occasion, une erreur effroyable

[Seirios]

Pour l'erreur des constantes, ce n'est qu'une erreur de recopiage, la suite du calcul reste correcte. Quant à l'erreur relevée par Thorin, je vais la corriger, et remettre un calcul propre.

[FonKy-]

Le principe est le même, mais j'ai fait différemment ; J'ai mis les deux fractions contenant les constantes A et B au même dénominateur, pour égaler le numérateur à 1, soit . Puis j'ai développé, et, après ordonné, j'ai égalé t à zéro (puisque l'équation doit être vraie pour tout t) pour obtenir une relation entre deux constantes, que j'ai réinsérée dans l'équation de départ, puis j'ai reégalé t à zéro, etc., jusqu'aux valeurs numériques.

waouh, ca reste quand meme long comme méthode ca

Merci Qu'est-ce que tu n'as pas compris, que je puisse le détailler ?

Non tout simplement je pense que juste apres la DES tu avais fait une erreur bete de calcul, mais vu que la DES était fausse ça ne servait à rien de te faire corriger

[invite02e16773]

Bon apparament le premier tu a compris (donc tu devrai savoir ce qu'est une DES)

Oui je connais, mais uniquement pour , pour un degré supérieur je n'ai pas appris (on nous donne la forme générale et il nous reste qu'à trouver les coefficients).

Pour voir si j'ai compris :


etc... ?

[FonKy-]

je crois que c'est ca.. lol, honnêtement c'est quelquechose qu'on voit en sup, donc ce qui veut dire qu'en fait j'ai jamais vraiment essayer de voir la démo. Mais je suppose que ca marche

[Seirios]

Je refais les calculs, j'espère qu'il n'y aura pas de fautes cette fois-ci :



Or

Donc

Et finalement

[invitebfd92313]

non guillaume ce n'est pas ca, il faut factoriser le polynôme au dénominateur en produits de polynômes irréductibles (équivalent de la décomposition en facteurs premiers) et apres la forme générale de la décomposition est un peu chiante à écrire alors je te renvoie à wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...9ments_simples
paragraphe 3.1

[invitec317278e]

Or

Tu vas me haïr, mais...pas d'accord



Enfin il serait plus simple de pas essayer de rentrer le 1/2 :

[FonKy-]

non guillaume ce n'est pas ca, il faut factoriser le polynôme au dénominateur en produits de polynômes irréductibles (équivalent de la décomposition en facteurs premiers) et apres la forme générale de la décomposition est un peu chiante à écrire alors je te renvoie à wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...9ments_simples
paragraphe 3.1

Ah, en fait j'avais mal lu.. mais a mon avis il a pas écrit ce qu'il pensait

[Seirios]

Tu vas me haïr, mais...pas d'accord

Oui effectivement, encore une erreur Cette fois-ci c'est bon je ne retente pas, l'intégrale doit avoir une dent contre moi Mais je vais vous préparer un joli exercice

[Seirios]

Un exercice plutôt difficile (personnellement, je suis encore dessus) :

Rotation autour d'un droite inclinée :

On désigne par C l'arc de la courbe y=f(x) situé entre les points P(p,f(p)) et Q(q,f(q)) et par R la région délimitée par C, par la droite y=mx+b (qui se trouve entièrement sous C) et par les perpendiculaires à la droite en P et en Q.

1. Montrer le l'aire de R est donnée par .

2. En déduire une formule pour le volume du solide engendré par la révolution de R autour de la droite y=mx+b.

[invitec1242683]

Pas mal celui la ou 'las tu trouvé ?

[Seirios]

Pas mal celui la ou 'las tu trouvé ?

C'est une version modifiée d'un exercice que j'ai vu dans un de mes cours de calcul différentiel et intégral.

[invitec1242683]

aurais-tu la gentillesse de me dire lequel ?

[invitec1242683]

.................

[invitec1242683]

j'ai presque fini la solution que je poste par pdf

[Seirios]

aurais-tu la gentillesse de me dire lequel ?

Il s'agit du premier tome de Analyse, concepts et contextes.

[invitec317278e]

Histoire de comparer les méthodes, vous avez abouti, pour la question 1 ?
Perso, un petit changement de repère a l'air de pouvoir marcher très bien

[Seirios]

Tu pourrais détailler un peu ce que tu as fait pour ton changement de repère ?

[Celestion]

Il s'agit de faire tourner la fonction d'un angle -arctan(m), dans cette base la droite est une fonction constante b, on n'a plus à se soucier des perpendiculaires à la droite puisqu'elles correspondent aux ordonnées aux point p et q. On se ramène à une intégrale habituelle.

J'ai essayé, la prise en compte de la constante b me donne quelque soucis mais je vais continuer à chercher.
Je donne quand même ce que j'ai fait en spoiler, si ça peut débloquer certains ...

 Cliquez pour afficher

[invitec1242683]

Pas mal mais je fais autrement : la substitution des aires marches aussi bien c'est juste plus bourrin

[invitec1242683]

j'ai pas fini de tout rédiger mais voila le début

[invite93e0873f]

Salut à tous,

Je m'aventurais aussi dans la même voie que Celestion lorsque j'ai vu son message. Disons par contre que ma démonstration ne s'en allait pas pour être aussi brève (en fait, il n'y a même pas eu de démonstration de mon côté ).

Pour la prise en considération de b, il me semble qu'un simple 'argument' de translation est suffisant (bien que je sente que c'est plus subtile que cela). Considérons un repère K (x,y) dans lequel nous avons les équations pour la courbe C et la droite D respectivement y=f(x) et y=mx. Dans un tel repère, ta démonstration résout le problème.

Effectuons maintenant sur K une translation t(0,-b) de telle sorte d'obtenir le repère K' (α,β) dans lequel nous avons les équations pour la courbe C et la droite D respectivement β=F(α) et β=mα+b. Étant donné que la translation ne s'est faite que le long des ordonnées (autrement dit, les repères K et K' sont parallèles avec leur axes y et β confondus), on peut réécrire pour C et D β = F(x) = f(x)+b et β = mx+b. Or, il s'agit là du problème initiale dans lequel il nous était donné F(x) et non pas f(x). Ainsi, nous pouvons écrire f(x) = F(x)-b et remplacer cela dans ton équation. En joignant le -b à -mx plutôt qu'à F(x), c'est comme si nous faisions bel et bien l'étude de ce problème dans K' au lieu de dans K (comme tu l'as fait). Ainsi, on obtient la forme générale de ton équation :



Edition : évidemment, f'(x) = F'(x) par simple translation.

[invitec1242683]

On peut aussi penser a faire un rotation de centre J(p,mp+b) et d'angle -arctan(m)

[invitebfd92313]

@celestion :

 Cliquez pour afficher

il te manque la constante parce que pour obtenir l'aire entre la courbe et la droite il faut intégrer Y-b et non Y

[invitec1242683]

exact mais il peut substituer l'aire sous la droite donc c'est aussi facile et au bond plus pratique je pense

[invitec317278e]

J'avais fait de la même manière que Celestion.
Cependant, même si ceci me parait juste (et puis, on retombe sur le bon résultat...), je ne vois pas comment justifier qu'on a le droit de faire ça.
En effet, mathématiquement, le "dx" qu'on met à la fin d'une intégrale n'est qu'une notation, bien pratique pour les changements de variables. Ainsi, lorsque l'on fait un changement de variable, on se contente de change le "dx" par le "dt", par exemple, sans oublier de dériver dt en fonction de x. Et ceci est justifié par une vraie démonstration.

Mais ici, je n'ai pas l'impression qu'il s'agisse d'un simple changement de variable, et je ne vois donc pas comment justifier qu'il suffise de changer le "dX" en "dt".

Peut être est-ce là quelque chose que je n'ai pas abordé en cours.
Si l'on pouvait m'éclairer...