Logiciel pour le calcul d'une intégrale définie

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai à calculer l'intégrale .

J'ai donc regarder pour la primitive, mais au vue de sa complexité (ici ), j'ai plutôt chercher à calculer directement l'intégrale définie.

Mais cela n'a rien donné avec Maxima ou Derive...

Quelqu'un connaitrait-il un logiciel qui pourrait me calculer cette intégrale ?

Merci d'avance
Phys2
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[Universus]

Salut Phys2,

Il y a une petite différence entre l'intégrale que tu présentes ici et celle résolue dans ton lien. Est-ce une erreur de frappe?

Autrement, je dois dire que je ne peux pas te répondre, malheureusement ; néanmoins, peut-être que cela pourra quelque peu aider d'autres à t'aider.

Amicalement

[Seirios]

Il y a une petite différence entre l'intégrale que tu présentes ici et celle résolue dans ton lien. Est-ce une erreur de frappe?

Oui effectivement ; la formule correcte est celle donnée dans mon premier message. Une petite correction cependant ; l'intégration se fait de 0 à .

Merci Universus pour ta vigilence

[Romain-des-Bois]

Salut,

tu as des valeurs numériques ? (pour et )

Si oui, une méthode des trapèzes, et c'est plié

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cassano]

Si ton intégrale est définie, Maple devrait pouvoir faire ça sans problème.

[Seirios]

tu as des valeurs numériques ?

Pas du tout...

Si ton intégrale est définie, Maple devrait pouvoir faire ça sans problème.

Je viens d'essayer, mais toujours pas...Je mets en pièce jointe ce que j'obtiens (c'est également ce que j'obtiens avec les autres logiciels)

[Celestion]

Est ce que tu arrives à calculer la primitive avec ces logiciels ?

[Cassano]

Apres, il faut lui demander une valeur. Essaye avec evalf, evalhf voire ce qu'il te donne

[Romain-des-Bois]

Est ce que tu arrives à calculer la primitive avec ces logiciels ?

Je pense que s'il avait une primitive, il n'aurait aucun mal à avoir l'intégrale

Phys2 : je te propose une méthode d'approximation de l'intégrale. Parfois (si on a BEAUCOUP de chance), on peut en déduire la valeur exacte de l'intégrale...

L'idée, c'est d'appliquer la méthode des rectangles :
tu découpes l'intervalle en intervalles réguliers plus petits :

Si est grand, ces intervalles sont petits, tu peux alors approximer l'intégrale (sur un de ces petits intervalles ) par : (c'est l'aire du rectangle collé à ta courbe mais en dessous si ta courbe est croissante, en dessus si ta courbe est décroissante). Quand tu ajoutes tout ça, tu obtiens une approximation de ton intégrale.



Après, il n'y a plus qu'à faire tendre vers l'infini

j'ai déjà vu un cas où ça marche

On peut améliorer cela avec la méthode des trapèzes ou mieux encore Newton, Simpson...

Pourquoi tu as cette intégrale à calculer ?


Romain

[Celestion]

Je pense que s'il avait une primitive, il n'aurait aucun mal à avoir l'intégrale

Mathematica donne la primitive.
Je pose la question pour Maxima, Derive, etc.

[Romain-des-Bois]

Ah beh si Mathematica donne une primitive, c'est terminé

[Seirios]

Phys2 : je te propose une méthode d'approximation de l'intégrale. Parfois (si on a BEAUCOUP de chance), on peut en déduire la valeur exacte de l'intégrale...

Je n'avais pas pensé à essayer ce genre de méthode ; merci du conseil, je vais voir si cela peut donner quelque chose.

Pourquoi tu as cette intégrale à calculer ?

J'essaie de calculer la période des petites oscillations d'un pendule constitué d'une boule et d'une ficelle, de poids négligeable. Après pas mal de calculs, j'arrive à cette expression de la période, donc cela m'ennuie de ne pas pouvoir trouver une expression simple (qui existe d'ailleurs)...

Mathematica donne la primitive.
Je pose la question pour Maxima, Derive, etc.

Oui, mais voilà la primitive : http://integrals.wolfram.com/index.j...9&random=false Il y a même des fonctions que je ne connais pas C'est pourquoi je demandais à calculer l'intégrale définie, en espérant obtenir une expression plus simple...

[Romain-des-Bois]

Salut,

oui, avec une primitive pareille...

Qui est dans ton expression ?

Tu veux trouver une valeur exacte sans aucune approximation ? Parce que si ce sont des petites oscillations, tu peux approximer dans tes calculs par , par ... enfin, le genre de trucs qu'on fait tout le temps en physique...

Si tu veux poster le déroulement de tes calculs (sans tous les détails) ça m'intéresse.

Romain

[Seirios]

Qui est dans ton expression ?

C'est le rapport R/L (ou L/R, je ne sais plus, il faut que je regarde mes calculs) du rayon de la boule R sur la longueur L du pendule.

Tu veux trouver une valeur exacte sans aucune approximation ? Parce que si ce sont des petites oscillations, tu peux approximer dans tes calculs par , par ... enfin, le genre de trucs qu'on fait tout le temps en physique...

L'expression que j'ai donnée a déjà été simplifiée par cette méthode...

Si tu veux poster le déroulement de tes calculs (sans tous les détails) ça m'intéresse.

Je prépare cela

[Seirios]

Si tu veux poster le déroulement de tes calculs (sans tous les détails) ça m'intéresse.

Merci beaucoup Romain-des-Bois, car, ayant effacé mes calculs, j'ai dû les refaire pour te les détailler, et j'ai finalement trouvé une erreur, et en la corrigeant, je suis tombé sur un résultat exploitable

Voici mes calculs :

On considère une pendule constituée d’une sphère de rayon R suspendue par un fil inextensible de poids négligeable et de longueur .

Pour un point quelconque, de masse infinitésimale dm, de la sphère, j’ai l’équation , où l’on a égalisé l’énergie mécanique à un point quelconque à l’énergie potentielle correspondant à la hauteur maximale (l’énergie cinétique étant nulle en ce point) ; est ici la distance au point de suspension du pendule.
Pour déterminer , nous repérons un point de la sphère par des coordonnées sphériques dans une base orthonormée (si besoin, je pourrais éventuellement faire un croquis).
Nous avons alors , , et , avec l’angle maximal, associé à .
L’équation d’un point quelconque de la sphère devient donc .

Pour étendre mon équation à l’ensemble de la sphère, je somme les différentes équations de tous les points de la sphère, ce qui revient à calculer l’intégrale et à l’égaler à zéro ; soit .

On calcul donc l’intégrale : (je ne détaille pas les calculs intermédiaires, mais ils tiennent sur une bonne dizaine de lignes)

On a donc , soit .

En intégrant les deux membres de l’égalité de 0 à , on obtient : .

Or par linéarisation du cosinus (), l’étude portant sur de petites oscillations, puis on obtient, par le changement de variable , .

On en déduit , avec , qui correspond à la période d’un pendule simple, et (là non plus je ne détaille pas davantage les calculs, mais ils sont ici élémentaires)

Pour la validité du résultat, on obtient bien une expression homogène à une durée, et on retombe sur la période d’un pendule simple en posant , donc je suis plutôt optimiste Après, il est possible que le facteur 1/2 ait été victime d’une erreur de calcul…