petit probléme pour un exercice

[invite1fec0793]

bonjour,j'ai un petit probléme pour mon exercice j'espére que vous pourrez m'aider svp

on a une fonction f(x)=(x²-3x+1)/(x²-6x+10)
la 1ére question était de déterminer son ensemble de definition:j'ai déduit que cétait R
la question qui me pose probléme la voici:déterminer les limites f aux bornes de sonn ensemble de definition
voilà ce que j'ai fait
f(x)=(x²(1- 3x/x²+1/x²))/(x²(1-6x/x²+10/x²))
f(x)=(x²(1-3/x+1/x²))/(x²(1-6/x+10/x²))

ensuite je ne sais pas quoi faire car les x² s'élimine

merci de votre aide
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Combien fait x²/x² ?

Duke.

[invite1fec0793]

Bonsoir.

Combien fait x²/x² ?

Duke.

ça s'annule donc f(x)=(1-3/x+1/x²)/(1-6/x+10/x²)

[Duke Alchemist]

ça s'annule donc f(x)=(1-3/x+1/x²)/(1-6/x+10/x²)

ça se simplifie mais ça ne s'annule pas !

Les expressions entre parenthèses qui te restent tendent vers 1 donc la limite est celle de x²/x² qui vaut...

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Tu peux aussi faire ainsi :

(x²-3x+1)/(x²-6x+10)

= (x²-6x+10+3x-9)/(x²-6x+10)

= (x²-6x+10)/(x²-6x+10) + (3x-9)/(x²-6x+10)

= 1 + (3x-9)/(x²-6x+10)





Shokin

[invite1fec0793]

ça se simplifie mais ça ne s'annule pas !

Les expressions entre parenthèses qui te restent tendent vers 1 donc la limite est celle de x²/x² qui vaut...

je pense que on a lim(quand x tend vers +infini)(1-3/x+1/x²)=1
et lim(quand x tend vers +infini)(1-6/x+10/x)=1
Donc lim(quand x tend vers +infini)f(x)=0
de meme lim(quand x tend vers - infini)f(x)=0

[shokin]

En effet :

lim de a/(xⁿ), quand x tend vers +/- infini, = a, avec a réel non nul.

L'infini, c'est un peu comme l'inverse de 0. [Les spécialistes vont me jeter les tomates en pleine face.]



Ce qui aboutit à la conclusion suivante :

Quand tu as f(x) = le quotient entre deux polynômes, pour calculer la limite quand x tend vers +/- infini, tu ne considères, pour chacun des deux polynômes, que le monôme de degré le plus élevé.

Exemples :

La limite, quand x tend vers +/- infini, de (x²-3x-6)/(x²-5x-4) est x²/x² = 1.

La limite, quand x tend vers +/- infini, de (x²-3x-6)/(-x²-5x-4) est x²/(-x²) = -1.

La limite, quand x tend vers +/- infini, de (3x²-3x-6)/(5x²-5x-4) est 3x²/(5x²) = 3/5.

La limite, quand x tend vers +/- infini, de (3x³-3x-6)/(5x²-5x-4) est 3x³/(5x²) = 3x/5, donc respectivement +/- infini.

La limite, quand x tend vers +/- infini, de (3x²-3x-6)/(5x³-5x-4) est 3x²/(5x³) = 3/5x, donc 0 [respectivement 0₊ ou 0_-].



Shokin

[invite1fec0793]

il ya une autre question :quelle conséquence graphique peut on en deduire pour C(la courbe representative de le fonction)?

f(a)-f(x-a)=0

Mais comment faire?merci de votre aide

[Duke Alchemist]

je pense que on a lim(quand x tend vers +infini)(1-3/x+1/x²)=1
et lim(quand x tend vers +infini)(1-6/x+10/x)=1
Donc lim(quand x tend vers +infini)f(x)=0
de meme lim(quand x tend vers - infini)f(x)=0

Je n'ai pas bien compris ce qui est en gras :

(limite des termes de plus haut degré)

et
Et c'est exactement pareil en

quelle conséquence graphique peut on en deduire pour C(la courbe representative de le fonction)?

si alors est une asymptote horizontale à Cf en .
k est bien sûr une constante (réelle)

[invite1fec0793]

donc c'est y=1
pour la rédaction j'écri lorque la limite en +inf et - inf est égale à 1 on dit que la droite d'équation y=1 est asymptote horizontale à Cf et idem pour x=1 pourr asymptote verticale

[invite1fec0793]

est ce correcte ?de plus pour étudier le signe de f(x)
c'est comme delta est inférieure à 0 c'est -4 donc c'est signe de a donc - et pour le tableau de variation je fais seulement une fléche qui descent

[shokin]

C'est donc ben correct. Tu as trouvé l'asymptote horizontale y=1.

Par contre, je ne vois pas d'asymptote verticale x=1. [Une asymptote y=k n'implique pas une asymptote x=k, et réciproquement.]

Tu trouves une asymptote verticale x=t si la limite d'une fonction tend vers +/- infini lorsque x tend vers un nombre réel t. Ces nombres t sont souvent, dans les quotients de polynômes, les nombres exclus du domaine de définition car rendant le dénominateur nul.

Dans une fonction f(x) = g(x)/h(x) [quotient de deux polynômes], tu dois résoudre l'équation h(x) = 0. Les solutions de cette équation sont les nombres où se situeront les asymptotes verticales.

Dans ton exercice, il n'y a pas d'asymptote verticale car ton polynôme (au dénominateur) du second degré x²-6x+10 a un discriminant inférieur à zéro.



Shokin

[Duke Alchemist]

Et j'ajoute que le domaine de définition étant lR, comme tu l'as trouvé toi-même, cela rend difficile (le mot est faible ) la présence d'une asymptote verticale.

EDIT : dois-tu déterminer la dérivée par la suite ?

[shokin]

Oui, les dérivées sont très utiles !

Écrire en phrases correctes, ponctuées et sans trop de fautes d'orthographes nous aiderait, surtout quand on essaie de résoudre plusieurs problèmes de mathématique à la fois.



Shokin

[invite1fec0793]

Oui, les dérivées sont très utiles !

Écrire en phrases correctes, ponctuées et sans trop de fautes d'orthographes nous aiderait, surtout quand on essaie de résoudre plusieurs problèmes de mathématique à la fois.



Shokin

oui avant il yavait la dérivé à calculer mais ça c'était facile c'est pour ça que j'ai directement demandé le tableau de signe et de variation

[shokin]

est ce correcte ? de plus pour étudier le signe de f(x)
c'est comme delta est inférieure à 0 c'est -4 donc c'est signe de a donc - et pour le tableau de variation je fais seulement une fléche qui descent

J'ai mis du temps à comprendre car la tournure en gras n'est pas très correcte en grammaire française. [Mettre des virgules aiderait à la lecture. ]

En effet, le discriminant delta est strictement négatif, donc aucun réel exclus du domaine de définition, donc tous les réels ont une image réelle, donc aucun ne correspond à une asymptote.

Qu'est-ce que ce a dont tu parles ?

As-tu encore des questions ? ou tout est clair ? (ce qui ne m'est pas clair, c'est de savoir si tout est clair pour toi )




Shokin

[invite1fec0793]

quand par exemple delta est inférieur à 0 le trinome est de signe constant

[shokin]

quand par exemple delta est inférieur à 0 le trinome est de signe constant

Ben oui, puisque que, si son discriminant est strictement négatif, le polynôme n'a pas de zéro (on appelle les zéros d'un polynôme les nombres réels qui rendent nulle la valeur du polynôme). Et parce qu'il n'a pas de zéros et parce que ces polynômes sont des fonctions continues, sa valeur ne peut pas changer de signe. [Si sa valeur pouvait changer de signe, la courbe devrait traverser l'axe y=0, ce qui voudrait dire que le polynôme pourrait être égal à zéro et aurait deux solutions, celles où se croisent la courbe et l'axe y=0 ; si le discriminant d'un polynôme du second degré est nul, celui-ci n'a qu'une solution et la courbe est, en un point, tangente à l'axe y=0.]



Shokin