Moyennes arithmétique et géométrique. (élève motivée ;-) )

[invite40044acb]

Bonjour, je bloque sur quelques question d'un exercice, pouvez m'éclaircir un peu?
Merci par avance.

a et b sont deux reels tels que 0 inferieur à a inferieur à b. les suites (Un) et (Vn) sont définies par U(0)=a, V(0)=b et pour tout entier n: U(n+1)=racine(Un*Vn) et V(n+1)=(Un+Vn)/2
questions:
1) Prouver que, pour tout n, Un et Vn sont strictement positifs.
J'ai démontrer ce résultat par récurrence.
(Il me reste la rédaction à peaufiner)

2)prouver que, pour tout n,Un=( ou inferieur)Vn
Démonstration par récurrence également.
3) a)demontrer que pour tout n,V(n+1)-U(n+1)= (ou inferieur )(vn-un)/2


Là ça se corse un peu plus... A mon avis il faut démontrer le théorème par récurrence, mais je ne vois pas comment faire, du coup j'ai choisi une autre alternative qui me plaît moins.



Et la je suis bloquée...

b)Déduisez-en que
Et bé aussi je suis bloquée...
4)Prouvez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
On a vu que .
Or
donc
Or donc
5) On suppose ici que a =2 et b =5.
Utilisez le résultat de la question 3) pour déterminer une valeur approchée de la limite commune "l" des suites 'Un) et (Vn) a 10^-3 près.
Et là aussi je suis coincée...


Merci par avance pour votre aide!

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[invite0022ecae]

Pour 3a) ton idée est bonne

Un<=Vn dc Un²<=UnVn car Un>0
dc Un<=rac(UnVn) et -2Un>=-2rac(UnVn)
dc Un+Vn-2rac(UnVn)<= Un+Vn-2Un

[invite0022ecae]

Pour 3b) quand y=tu as prouvé 3)a)

Vn-Un<= (1/2) (V_n-1-U_n-1) <=(1/2)²((V_n-2-U_n-2) <=........<=(1/2)ⁿ(V₀-U₀)

Pour 4 il faut montrer que Vn décroissante et Un croissante et pas se contenter de montrer que lim(Vn-Un)=0

[invite40044acb]

Oulaaa en effet! Merci beaucoup pour cette éclaircie!
Si jamais tu as une idée pour la suite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40044acb]

Pour 3-b) je mettrais plutôt:
Vn-Un<= (1/2) (Vn+1-Un+1) <=(1/2)2((Vn+2-Un+2) <=........<=(1/2)n(V0-U0), non?
Mais penses tu que cela suffit pour le prouver?

[invite0022ecae]

Non c'est moi qui est raison puisque tu as prouvé que
Vn+1-Un+1<= (1/2) (Vn-Un) donc
Vn-Un<= (1/2) (Vn-1-Un-1) tu vas de n+1 à n puis de n à n-1 etc...je ne sais pas si tu me suis ?

çà suffit à le montrer

[invite40044acb]

Ah oui! effectivement tu as raison! Je n'ai pas fait attention, merci beaucoup.
Pour la 4, je vais montrer qu'elles sont croissante et décroissante, à l'aide d'un théorème que j'ai dans mon cours.
Et pour la 5, je continue d'y réfléchir...

[Thorin]

Petite parenthèse : pas besoin de récurrence pour la 2.
on a :

Or, c'est un carré, et un carré est toujours positif...
On en déduit

[invite0022ecae]

petite erreur de frappe Un+Vn-2racine (UnVn) au numérateur

[God's Breath]

Petite parenthèse : pas besoin de récurrence pour la 2.

Je me demande même comment on peut résoudre cette question par récurrence...

[invite40044acb]

arf... je vous explique comment j'ai fait.

[invite40044acb]

oups, erreure de manip. Donc je met ma démarche.
On peut montrer que pour tout n, Un<= Vn.
Nous allons montrer cela à l'aide du principe de récurrence.

Initialisation: Montrons que la propriété est vraie au rang n=0.
Pour n=0, U0=a, V0=b et a<b.
Donc U0<V0
La proposition est donc vraie au rang n=0.

Héréditié: Supposons que la propriété est vraie pour un certain rang n fixé.
On a: Un<Vn (hypothèse de récurrence)
Montrons que la proposition est vraie au rang (n+1) càd montrons que:
Un+1<= Vn+1
racUnVn<= Un+Vn/2
4UnVn<=(Un+Vn)²
2UnVn<=Un²+Vn²
(Un-Vn)²>=0
Ce résultat est tjrs vrai car le carré d'un nbe est tjrs positif, dc la proposition est vraie au rang (n+1)
la proposition est dc héréditaire.
Conclusion: on a dc prouvé d'après le principe de récurrence que un+1<= Vn+1, soit Un<=Vn

Et voilaaa

Et j'ai une question, pour la 4, pour montrer qu'elles sont décroissante et croissante, ai-je le droit de dire que:
On sait que Un<= Vn, donc
U est la suite croissante et V la suite décroissante? Ou il faut que je l'explique un minimum? Car je n'ai pas d'idée pour le montrer...

[Thorin]

C'est ce à quoi je m'attendais : ton raisonnement par "récurrence" ne fait PAS appel à l'hypothèse de récurrence...Autrement dit, ça ne sert à rien de faire un raisonnement par récurrence.

Et pour la question 4 : tu dois expliquer.

[invite0022ecae]

çà ne va pas,
tu as montré que si Un<=Vn alors (Un-Vn)^2>=0 et alors...????
Tu n'as pas montrer que si Un<=Vn alors Un+1<=Vn+1

[invite40044acb]

Ah zut alors!
Pourquoi n'est ce pas le principe de récurrence? Pourtant j'applique bien la méthode, et je le montre bien?
Pff de toute manière je ne comprend pas les suites (pour ne pas dire les maths en général ...)

[Thorin]

çà ne va pas,
tu as montré que si Un<=Vn alors (Un-Vn)^2>=0 et alors...????
Tu n'as pas montrer que si Un<=Vn alors Un+1<=Vn+1

Il me semble que ce qu'il a fait n'est pas formellement faux...
En effet, il a montré que était toujours vrai, indépendamment de n...
Ainsi, l'implication "si , alors " est vraie, car une implication dont la conclusion est toujours vraie est vraie.

Seulement, utiliser la lourdeur et la puissance de la récurrence pour finalement ne pas se servir de l'hypothèse de récurrence est une perte de temps.

J'attends l'avis de God's Breath

[invite40044acb]

çà ne va pas,
tu as montré que si Un<=Vn alors (Un-Vn)^2>=0 et alors...????
Tu n'as pas montrer que si Un<=Vn alors Un+1<=Vn+1

Ok je comprend mon erreur. Bon alors je vais rédiger sous une autre forme.
Un+1- Vn+1 = racUnVn - Un+Vn/2
=2UnVn-Un²+Vn²
=(Un-Vn)²
Or, c'est un carré, et un carré est toujours positif...
On en déduit que Un+1<= Vn+1, donc Un<=Vn
Et ça suffira.

merci, grâce à vous je comprend mes erreurs et le "principe de récurrence"

[invite40044acb]

Il me semble que ce qu'il a fait n'est pas formellement faux...
En effet, il a montré que était toujours vrai, indépendamment de n...
Ainsi, l'implication "si , alors " est vraie, car une implication dont la conclusion est toujours vraie est vraie.

Seulement, utiliser la lourdeur et la puissance de la récurrence pour finalement ne pas se servir de l'hypothèse de récurrence est une perte de temps.

J'attends l'avis de God's Breath

Ok ok, alors mon neurone de math cogite à fond...
Ce que j'ai donc peut etre fait avec le théoreme de récurrence, car je pars d'une supposition et j'arrive bien à montrer que c'est vrai au rang suivant, mais cela est trop long à faire...
Pour vous "hypothèse" de récurrence et "principe" de récurrence, sont la même chose, ou est-ce completement différent?

[Thorin]

L'hypothèse de récurrence, c'est ce que tu supposes vrai à un rang donné dans l'hérédité.
Le principe de récurrence, c'est le "principe" qui dit qu'en montrant l'initialisation, puis l'hérédité, alors, c'est vrai pour tout n.

[invite0022ecae]

C'est une démonstartion correct mais ce n'est pas un raisonnement par rec mais l'important c'est que tu ais trouvé.
Ne dis pas "je ne comprends au math" si tu fais ce genre d'exos c'est que tu as un niveau plus que correct.

[invite40044acb]

Merci Thorin pour cette précision.
Afolab, ok, j'ai un niveau correct en math, je m'en débrouille plutôt bien. Mais je n'ai malheureusement pas l'intuition des maths et je met du temps avant de comprendre ou trouver "le truc qui fait tout". C'est trop abstrait pour moi. =)
Et en terminale ça se complique un peu plus, d'où mon intervention sur un forum(ce que je n'ai jamais fait auparavant) pour demander de l'aide...

[invite40044acb]

pour la 4, je crois avoir trouvé une solution, si seulement j'arrive a résoudre Un+1-Un

Soit Wn= Un-Vn
Vn+1-Vn= Un-Vn/2
=-Wn/2 donc décroissante

Pour Un+1-Un = rac UnVn -Un et là je ne sait pas comment arriver a un résultat qui prouverait qu'elle est croissante.
Ensuite je fais la lim Un-Vn ce n'est pas un problème

[God's Breath]

Seulement, utiliser la lourdeur et la puissance de la récurrence pour finalement ne pas se servir de l'hypothèse de récurrence est une perte de temps.

J'attends l'avis de God's Breath

Il est est exact que l'on peut, formellement, habiller le raisonnement avec une récurrence, mais c'est bien dommage parce qu'on masque ainsi le fait fondamental : dès que et sont positifs, inégalité purement numérique qui n'a rien à voir avec les suites... tout en alourdissant inutilement la rédaction.

Alors que, pour déduire de , il me semble qu'une récurrence est nécessaire.

[invite40044acb]

je commence à faire une overdose de récurrence là...
Bon je vais tout recommencer pour avoir la bonne rédaction. Pour montrer que Un<=Vn pas de récurrence.
Par contre récurrence pour le 3-b).
Je ne vois avec quoi partir par contre?

Et pour la question 4 et 5 pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Je n'ai pas trouvé de pistes supplémentaires.

[invite40044acb]

La question 4 est résolue.

Je bloque toujours à la question 3-b) et la question 5. S'il vous plait, pouvez-vous m'aider? Je suis a cours d'idées de recherche.

[invite0022ecae]

Pour la 3b) il faut faire un raisonnement par rec, donc allons-y

Pour n=0 c'est évident,
Soit n>0 alors supposons que la propriété soit vraie alors:
d'après 3a) Vn+1 - Un+1 <=(1/2)(Vn-Un)
et dc, grâce à l'hypothèse de récurrence
Vn+1 - Un+1<=(1/2)(Vn-Un)<= (1/2)(1/2ⁿ)(b-a)
C'est à dire
Vn+1 - Un+1<=(1/2ⁿ⁺¹)(b-a)
Initialisation+hérédité donc .....

[invite40044acb]

Je ne comprend pas votre fonctionnement.

J'essai quand même.

Initialisation:
Montrons que la proposition est vraie au Rang n=0.
U0=a et V0=b,
Ainsi la proposition est vraie au rang n=0.
cela suffit?

Hérédité:
Supposons que la proposition est vraie pour un certain rang n fixé.
On a : Vn+1 - Un+1 <=(1/2)(Vn-Un) (hypothèse de récurrence)

Montrons que la proposition est vraie au rang (n+1), càd montrons que:
Vn+2 - Un+2 <=(1/2)(Vn+1-Un+1)
Et là comment faire pour arriver à Vn-Un <=(1/2^n)(b-a)?

[invite0022ecae]

initialisation:
V0-U0=b-a
et (1/2)⁰(b-a)=1*(b-a)=b-a
dc vrai pour n=0

Hérédité:
Supposons que la proposition est vraie pour un certain rang n fixé avec n>0
alors on a (Vn-Un)<= (1/2)ⁿ(b-a) c'est notre hypothèse de récurrence
Montrons alors que Vn+1-Un+1 <= (1/2)ⁿ⁺¹(b-a)

Jusqu'ici çà va ? si oui je continue

[invite40044acb]

Hoplà, je découvre le message juste à l'instant.
Jusqu'ici je comprend merci beaucoup! Par contre je ne m'y remettrais que demain matin, et je vais chercher à l'aide du début que vous venez de me donner.

[invite40044acb]

donc je reprend la suite:

Hérédité:
Supposons que la proposition est vraie pour un certain rang n fixé avec n>0
alors on a (Vn-Un)<= (1/2)n(b-a) c'est notre hypothèse de récurrence
Montrons alors que Vn+1-Un+1 <= (1/2)n+1(b-a)

Vn+1-Un+1=(1/2^n+1)(b-a) (il suffit de remplacer n par n+1?)

Donc la proposition est vraie au rang (n+1)
la proposition est donc héréditaire
Conclusion: D'après le principe de récurrence, pour tout n,
Vn+1-Un+1=(1/2^n+1)(b-a). Donc (Vn-Un)<= (1/2)n(b-a).

ça me parait court comme raisonnement :-s