Fonction tangente

[benj65]

Bonjour tout le monde,

j'ai un soucis avec la fin de mon dm sur l'étude de la fonction tangente.

7) On rappelle que pour tous réels a et b, on a les formules d'addition suivantes:

cos(a+b)=cos(a) x cos(b) - sin(a) x sin(b)
sin(a+b)= sin(a) x cos(b) + sin(b) x cos(a)

En déduire une formule liant tan(a+b) à tan(a) et tan(b), pour des réels a, b et a+b appartenant à D

Données: tan(x)= sin(x)/cos(x) et D = R-{pie/2 +kpie (k appartient à Z)}

Je commence par remplacer comme suivi:

tan(a+b)= [sin(a) x cos(b) + sin(b) x cos(a)]/[cos(a) x cos(b) - sin(a) x sin(b)]

Après ça je ne comprends pas ce qui faut faire et de même la question me parait un peu ambigue.

8) Démontrer sur I= [0, pie/2[ , on a:

tan (a)= [1 -cos(2a) ] / [sin(2a)]

Je sèche complètement dessus, quelqu'un pourrait t'il me donner un indice ou m'éclaircir svp.

Merci de vos réponses
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[invite4a11ae1c]

salut
pour exprimer tan(a+b) tu as juste le droit d'utiliser cos(a+b) et sin(a+b) ou tuas d'autres formules?

[benj65]

Je ne sais pas du tout, je n'ai que ces formules d'additions.
J'avais penser a factoriser mais je vois pas comment et avec quoi...

[invite4a11ae1c]

en fait il faut que tu "separe" le numerateur du denominateur, si tu fais
[(sin a.cos b + cos a.sin b)/ cos a.cos b]* [(cos a.cos b)/(cos a.cos b-sin a. sin b)] tu obtiens des tan pour le premier facteur

[A voir en vidéo sur Futura]

[benj65]

Si je comprends ce que tu veux dire je vais obtenir quelques chose avec tan (a) au numérateur et tan(b) au dénominateur ou inversement.

Merci

[invite4a11ae1c]

euh... la formule finale est un peu plus compliquee apres si tu bloque je te conseil de partir du resultat ça peut aider

[invite4a11ae1c]

sinon pour la deuxieme formule il faut commencer par remplacer cos(2a) et sin(2a) en utilisant les formules que tu as et ensuite il faut utiliser
sin²a+cos²a=1 pour exprimer cos² en fnction de sin² et le tour est joué

[benj65]

Je te remercie de ton aide précieuse .

[benj65]

Je n'arrive pas à développer enfin j'ai des sin² et cos².

De plus je ne connais pas tan(a) et tan(b), enfin leurs valeurs.
Donc comment puis-je dire que cela vaut telle valeur et non celle là?

Il me faudrait vraiment un coup de main

[invite4a11ae1c]

c'est la premiere ou la deuxieme formule qui te pose pb?

[invite4a11ae1c]

pour tan(a+b) tu pars de sin(a+b)/cos(a+b), tu developpe cos et sin et tu as ce que tu avais trouvé :

[sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)]/[cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)]

à partir de ça du multiplie le tout par [cos(a)*cos(b)]/[cos(a)*cos(b)]
ça te donne:

{[sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)]/[cos(a)*cos(b)]}*
{[cos(a)*cos(b)]/[cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)]}

pour simplifier on va dire que ça vaut A*B

En regardant d'abord A tu sépare les deux termes de la somme du numerateur et tu simplifie pour obtenir une somme de tan (tan(a)=sin(a)/cos(a))

Pour B, tu factorises le denominateur par cos(a)*cos(b) pour pouvoir simplifier au numérateur et tu obtiens du tan(a)*tan(b)

dsl c'est pas super clair mais jsuis pas douee en mise en forme