dérivabilité TS
Bonsoir à tous,
quelqu'un pourrait me dire si pour l'exercice suivant j'ai trouvée la bonne réponse:
Soit f la fonction définie sur l'ensemble des réels,
f(x)=x^2 * cos(1/x) et f(0)=0
etudier la dérivabilité de la fonction f en 0.
j'ai trouvée: que f '(x)= cos(2) - sin(x).
est-ce correcte?
Merci d'avance, je vous souhaite à tous une bonne soirée.
En posant f(0) = 0, on a effectué un prolongement par continuité de f en 0. En effet, avec x<0, lim (x->0) = 0 et avec x>0, lim (x->0) = 0. Les limites à gauche et à droite sont égales, on a donc posé f(0) = lim (x->0 ; x<0) = lim (x->0 ; x>0).Soit f la fonction définie sur l'ensemble des réels,
f(x)=x^2 * cos(1/x) et f(0)=0
Pour étudier la dérivabilité en 0, il faut déterminer si f'(0) existe. Si tel est le cas, l'expression obtenue est un réel, , et non une fonction de x.etudier la dérivabilité de la fonction f en 0.
j'ai trouvée: que f '(x)= cos(2) - sin(x).
Comme pour le prolongement par continuité, le nombre dérivé en 0 existe si et seulement si les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite sont des réels et sont égales. Le nombre dérivé en 0 est alors égal à cette limite l.
Merci beaucoup je vais réesseyer avec tout cela,
je m' y suis donc mal prise en calculant la dérivée ?
En fait j'ai calculée après f '(0) et j'ai trouvée f '(0)=cos(2)
donc la dérivabilité en 0 est cos(2)
donc lim f (x)= 0 (quand x tend vers 0)
Est-ce juste ?
Salut groseille2,
1. Une chose à la fois :En fait j'ai calculée après f '(0) et j'ai trouvée f '(0)=cos(2)
donc la dérivabilité en 0 est cos(2)
donc lim f (x)= 0 (quand x tend vers 0)
Est-ce juste ?Soit, je ne trouve pas la même chose. Est-ce que tu peux détailler ton calcul ?j'ai calculée après f '(0) et j'ai trouvée f '(0)=cos(2)
2.Non, "le nombre dérivé est cos(2)" est une formulation correcte. Etudier la dérivabilité en 0, c'est prouver que f'(0) existe (unicité des limites à gauche et à droite de 0) et que c'est un réel.la dérivabilité en 0 est cos(2)
3.Pour étudier la dérivabilité en 0, il faut déterminer si f'(0) existe.Là, je ne comprends plus. Il s'agit de la justification du prolongement par continuité et non celle de l'existence du nombre dérivé en 0.donc lim f (x)= 0 (quand x tend vers 0)
As-tu écrit le taux d'accroissement ?
salut, pour le taux de croissance voici ce que j'ai trouvé moi: xcos(1/x) est ce correct?
merci
J'ai la même chose. Pour calculer le nombre dérivé en 0, il reste à calculer les limites "à gauche" et "à droite" de 0 de cette expression.pour le taux de croissance voici ce que j'ai trouvé moi: xcos(1/x) est ce correct?
oui c'est ce que j'arrive pas à faire.en fait cos (1/0) ca n'existe pas alors comment faire?,
merci
Par exemple, tu peux poser h = 1/x, et voir ce que cela implique (en termes de limites) ...
oui mais par ex lim x-> 0+ de cos(1/x) = lim de cos +°° et j'ai jamais vu ca
mais je verrai cela après mnt je dois y aller
merci bcp pour votre aide
bonjour,
on peut se servir de cela: tang(x)=sin(x)/cos(x) donc cos(x)=sin(x)/tang(x)
alors limx-->0 xcos(1/x)=limx-->0 (sin(1/x)/tang(1/x))x
(on a aussi limx-->0 sin(x)/x= 1 et limx-->0 tang(x)/x=1
alors enfin on trouve que cette limite = 0 un nombre réel (sans x)
c'est correct?
Bonjour,
Soit...alors limx-->0 xcos(1/x)=limx-->0 (sin(1/x)/tang(1/x))x
Ok(on a aussi limx-->0 sin(x)/x= 1 et limx-->0 tang(x)/x=1)
Je ne vois pas très bien le lien : le passage entre les 2 lignes précédentes (de sin(1/x) à sin(x)).
Pour la limite, de toute façon, x ne doit pas apparaître. Pour le résultat, c'est OK.alors enfin on trouve que cette limite = 0 un nombre réel (sans x)
Je te suggère plutôt, comme je te l'avais proposé, de poser h = 1/x et d'utiliser le fait que la fonction cos est bornée.
bonjour,
oui, il fallait mettre (1/x) à la place de x dans la 2eme ligne. mais là, ca mène à rien.
je sais pas exactement comment je peux me servire de h=1/x...par contre le fait que cos est bornée voilà ce que j'ai trouvé:
pour tout x de R-(0) -1<cos (1/x)<1 (normalement inférieur ou egale)
- pour tout x de R+* -x <xcos (1/x)< x
lim x-->0+ (-x)= 0 et lim x-->0+ (x)= 0
donc limx-->0+ xcos(1/x)=0 ((A))
- pour tout x de R-* x <xcos (1/x)< -x
lim x-->0- (-x)= 0 et lim x-->0- (x)= 0
donc limx-->0- xcos(1/x)=0 ((B))
de ((A)) et ((B)) on deduit que limx-->0 xcos(1/x)=0
alors?
merci
Salut,
Effectivement, il est possible de procéder comme tu l'as fait.- pour tout x de R+* -x <xcos (1/x)< x
lim x-->0+ (-x)= 0 et lim x-->0+ (x)= 0
donc limx-->0+ xcos(1/x)=0 ((A))
- pour tout x de R-* x <xcos (1/x)< -x
lim x-->0- (-x)= 0 et lim x-->0- (x)= 0
donc limx-->0- xcos(1/x)=0 ((B))
de ((A)) et ((B)) on deduit que limx-->0 xcos(1/x)=0
Tu peux rassembler le calcul des 2 limites (x--> 0 - et x--> 0 +) en un seul, en écrivant :
Pour tout x réel, | xcos(1/x) | ≤ |x|
lim x-->0 |x| = 0
Donc, lim x-->0 | xcos(1/x) | = 0
Alors, voila comment on peut se servir du changement de variable h = 1/x :je sais pas exactement comment je peux me servire de h = 1/x...par contre le fait que cos est bornée voilà ce que j'ai trouvé:
Quand x -> 0 -, h -> - infini et quand x -> 0+, h -> + infini.
lim(x)-->0 |x cos(1/x)| = lim h--> infini cos(h)/h = 0
car la fonction cosinus est bornée.
salut;
oui la valeur absolue est mieux.
mais pour cela ""lim(x)-->0 |x cos(1/x)| = lim h--> infini cos(h)/h = 0
car la fonction cosinus est bornée."" j'ai pas compris. on a pas encore fait cette règle là....mais bon...
merci beaucoup
En fait, c'est assez intuitif. Quelque soit h, et a fortiori pour un h très grand, cos(h) est compris entre -1 et 1. Comme h tend vers + infini, cos(h)/h tend vers 0.
On peut aussi écrire, pour tout h :
| cos (h)/h | ≤ | 1/h |
Avec h tendant vers + infini, cos (h)/h tend vers 0.
salut
oui c'est vrai j'ai pas fait attention à cela
mais c'est un peu le meme principe à ce que j'ai fait avec cos(1/x).
merci beaucoup pour votre aide.
Oui. L'avantage de poser h = 1/x est de déterminer rapidement la limite, carc'est un peu le meme principe à ce que j'ai fait avec cos(1/x)
x --> cos(x) est une fonction usuelle (dont on connaît bien les limites et variations, entre autres), tandis que x --> cos(1/x) non.
ok merci beaucoup
