Dérivation: une fonction composée.

[invite323995a2]

f'(x) sachant que f(x)=cos^3x- 3 cosx+ 1?
Je sais juste que f(x)= X^3 - 3X + 1.
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[invite1237a629]

f'(x) sachant que f(x)=cos^3x- 3 cosx+ 1?
Je sais juste que f(x)= X^3 - 3X + 1.

Salut,

Euh pas vraiment...

Si tu veux, définis g(x)=x^3-3x+1

Et après tu peux dire que f(x)=g(cos(x)).

Une manière de calculer f(x) est d'utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée :



Tu peux y arriver à partir de là ?

[invite96a7a5d5]

f'(x) sachant que f(x)=cos^3x- 3 cosx+ 1?
Je sais juste que f(x)= X^3 - 3X + 1.

Ouais, et X ça te tombe du ciel ?

Tu veux dire : si je pose X=cos(x) alors "je sais juste que "

Tu ne peux pas parler d'une variable X avant d'avoir dit ce que c'était !


Bon alors si on pose , on a f = g°cos

La formule de la dérivation d'une fonction composée est :

(g°h)' = (g'°h) h'

f=g°cos
f'=(g'°cos)cos'

Tu sais calculer g', tu connais la dérivée de cos : tu connais donc tout ce qu'il faut savoir !

[invite323995a2]

Chimerade, si je suis tes conseils j'obtiens donc:

f '= (3 cos²x * 3) * -sin x .

Bon! Ensuite je dois étudier les variations de f sur [0,Pi].En simpliant j'obtiens alors du [ 3cos²x*-sin x]*[-3sin x] .Je sais que 3cos²x>0 à part pour x=Pi/2 , que -sinx<0 à part pour x=0. Le produit des 2 est donc négatif à part pour 0 et Pi/2 où il est nul.
Ensuite -3sinx s'annule en 0 et est négatif sur [0,Pi/2].
Donc [ 3cos²x*-sin x]*[-3sin x] positif sur [0,Pi/2] donc f est strictement croissante sur f. Juste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite323995a2]

Houla!!! Grosse, énorme erreur de ma part. F'(x)= 3cos²x*-3sinx !!!

[invite323995a2]

Alors je reprends: f'(x)= 3 cos²x -3sinx

-3sinx< ou =0 sur [0,Pi/2]
3 cos²x >0 ou =0 sur [0,Pi/2]

Donc leur produit est inférieur ou égal à 0 sur [0,Pi/2]. Donc f est strictment décroissante sur [0,Pi/2]. Mais je reste sceptique car quand je trace Cf sur ma calculatrice, sur [0,Pi/2], f est strictement croissante. Aurais-je fais une erreur dans mon raisonnement?

Merci d'avance.