TERM S exo pour lundi

[inviteb2220a48]

Bonjour à tous. Voici un exo que je dois faire pour lundi mais j'ai de petits problèmes,quelqu'un peut m'aider merci.

1. On désigne par g la fonction numérique définie sur [0 ; pi] par :
g(x) = xcosx - sinx
Etudier g en déduire le signe de g(x) sur [0 ; pi]
2. Soit f la fonction définie sur [0 ; pi]
par : x=0 , f(0) = 1
x € ]0 ; pi], f(x) = sinx / x

On sait que lim sinx / x = 0
x tend vers 0
3. Etude de f en 0
a. Prouver que, pour tout nombre réel x >ou=0
0<ou= x -sinx<ou = x^3/6

Pour cela, on introduira la fonction h(x) = sinx - x + x^3/6
on calculera les dérivées h', h'' et h''' et on déduira le signe de h

b. Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f'(0)
je n'arrive pas a vous joindre mon fichier car il est trop lourd!

Pour la question 1 c'est bon, je trouve g'=-xsinx donc g est décroissante sur [0;pi]
Pour la question 2 je trouve f' = (xcosx-sinx)/x²

Je n'arrive pas a étudier le signe de f dans la 2e question et n'arrive pas du tout à faire la 3e question à l'exception de calculer h',h'' et h'''( je trouve h'= cos x-1+(x²/2); h''=-sinx+x; h''= -cos x+1 )

merci de maider
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[invite0022ecae]

c'est quoi la 2ème question ?
je crois que lim(x ->0) sinx/x=1 et non 0
Pour l'étude de f : tu as trouvé f'(x)=g(x)/x^2 et tu connais le signe de g grâce à la question 1)

[inviteb2220a48]

oui tu a raison pour la limite faute de frappe!

alors vu que j'avais trouver que g' est négative sur]0;pi] et que x tjs positif sur cet intervalle donc f est strictement décroissante sur ce meme intervalle. Merci j'avais pas vu que c'est g(x)/x²
le fait qu'on nous donne la limite c'est juste pour le tableau de variations??

maintenant tu peux m'aider pour la question 3 s'il te plait?

[inviteb2220a48]

oui tu as raison pour la limite faute de frappe!

alors vu que j'avais trouver que g' est négative sur]0;pi] et que x tjs positif sur cet intervalle donc f est strictement décroissante sur ce meme intervalle. Merci j'avais pas vu que c'est g(x)/x²
le fait qu'on nous donne la limite c'est juste pour le tableau de variations??
la 2 question était juste de trouver les variations de f
maintenant tu peux m'aider pour la question 3 s'il te plait?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0022ecae]

pour la question 3, tu construit le tableau de variation de h", tu en déduis son signe, tu fais de même avec h', pour finalement avoir le signe de h qui te permettra de répondre

[inviteb2220a48]

je trouve :
signe de h''' positif
donc h'' croissante sur - linf + linf
signe de h'' négatif sur -linf 0 et positif sur 0 + linf
donc h' décroissante jusqu'a 0 et croissante jusqu'a + linf car h''(0)=0
mais après j'arrive pas et je ne vois pas trop à quoi ça sert

[invite0022ecae]

limite toi à [0;+oo[ puisque c'est sur cette intervalle que porte la question.

[inviteb2220a48]

donc h est croissante sur 0 + linf
ce qui implique que sinx+(x^3)/6 sup ou égal a 0
ce qui implique que x-sinx inf ou égal a x^3/6
mais après je suis de nouveau bloquée.

[invite0022ecae]

d
ce qui implique que x-sinx inf ou égal a x^3/6
mais après je suis de nouveau bloquée.

tu es bloqué où ?

[inviteb2220a48]

comment tu prouves que 0<x-sinx<x^3/ 6
pour le moment j'ai que x-sinx<x^3/6

[invite0022ecae]

tu as h"(x) = x-sinx et tu connais son signe

[inviteb2220a48]

donc vu que h''>ou égal a 0 donc on a l'encadrement?
merci beaucoup pour ton aide

[invite0022ecae]

y a pas de quoi,
@+