TS conjecture et division euclidienne

[inviteab0873a3]

je crois avoir trouver : j'ai pour reste : p+1 et pour quotient : 3p
C'est juste ??
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[Arkangelsk]

je crois avoir trouver : j'ai pour reste : p+1 et pour quotient : 3p
C'est juste ??

Pour t'amuser, essaye de faire de même avec les (donc sans distinction de parité) et compare.

Si tu ne trouves pas, une petite indication ci-dessous (ne triche pas, hein ) :

 Cliquez pour afficher

est entier, et non +

[inviteab0873a3]

Comment faire pour supprimer les n² alors que 3n² n'est pas un multiple de 2n ? A-t-on le droit de mutiplier 3n² -n +1 pour obtenir 6n² -2n +2 ?

[Arkangelsk]

Comment faire pour supprimer les n² alors que 3n² n'est pas un multiple de 2n ? A-t-on le droit de mutiplier 3n² -n +1 pour obtenir 6n² -2n +2 ?

Non, pas vraiment. A quoi cela servirait-il ? Si tu ne trouves pas, découvre la fenêtre, mais réfléchis encore un peu .

[inviteab0873a3]

ça veux dire que 3n/2 + 1/4 est le quotient ? j'ai alors 3n²-3/2n+5/4 comme reste ...

[Arkangelsk]

ça veux dire que 3n/2 + 1/4 est le quotient ? j'ai alors 3n²-3/2n+5/4 comme reste ...

Non, le reste est de toute façon de degré inférieur ou égal au quotient, comme il doit toujours être plus petit dans la division euclidienne. Revérifie.

[inviteab0873a3]

Effectivement j'avais fais pas mal d'erreur dans mon calcul, maintenant je trouve 5/4 pour le reste, c'est déjà plus plausible

[bubulle_01]

Pourquoi ne pas prouver que est divisible par pour prouver que

Ce serait plus naturel pour un élève de terminale je pense

[inviteab0873a3]

Pourquoi ne pas prouver que est divisible par pour prouver que

Ce serait plus naturel pour un élève de terminale je pense

N = D*g(n) +r
d'où : N - r = D*g(n)
(3n² -n +1 -r = (2n-1)*g(n))
donc N- r est divisible par g(n)

Mais pour prouver que N congru à D module g(n) tu procède comment ?

[bubulle_01]

Dans ton cas tu veux prouver que
Donc montre que est divisible par

[inviteab0873a3]

Dans ton cas tu veux prouver que
Donc montre que est divisible par

On sait que r = p+1 (quand r est pair) et que n=2p
12p²-2p+1 = (4p-1)*g(n) + (p+1) g(n) = 3p si mes calcules précédents sont justes
d'où : 12p²-2p+1 -(p+1)=(4p-1)*g(n)
donc 12p²-2p+1 - (p+1) est divisible par 4p-1
p+1(4p-1) est également divisible par 4p-1

Donc 12p²-2p+1 congru à p+1(4p-1) [module 4p-1]

c'est juste ?

[inviteab0873a3]

J'ai continué selon la méthode que tu m'as proposé Arkangelsk pour les nombres impairs et je trouve comme résultat R=(3n+1)/2

J'ai vérifié en prenant quelques valeurs de n au hasard et cela concorde parfaitement.
Comment dois-je faire désormais pour conjecturer ces deux relations, les pairs et les impairs : r=n/2+1 & r= (3n+1)/2 ??

Je te remercie de ton aide jusqu'à présent, qui a été très précieuse

[Arkangelsk]

Bonjour,

J'ai continué selon la méthode que tu m'as proposé Arkangelsk pour les nombres impairs et je trouve comme résultat
R=(3n+1)/2

Oui, c'est bien cela.

Comment dois-je faire désormais pour conjecturer ces deux relations, les pairs et les impairs : r=n/2+1 & r= (3n+1)/2 ??

Conjecturer peut s'entendre dans le sens de "deviner". Une conjecture est une assertion que l'on propose comme vraie, mais qui n'a pas pu être démontrée (ou réfutée). Certaines conjectures sont célèbres, comme La Conjecture de Goldbach qui stipule que tout nombre pair plus grand que peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture date de 1742 et n'a pas encore été démontrée (ou réfutée) !

Pour ton exercice, tu deux donc dire que tu as deviné les expressions pour pair et pour impair, et ensuite tu démontres qu'elles sont vraies.

Pour la démonstration, deux possibilités (au moins) :

- Comme je t'ai indiqué : c'est une méthode standard mais peut-être hors programme. Voir Polynôme, paragraphe Division suivant les puissances décroissantes
- Comme te le propose bubulle_01 : montrer simplement que la différence entre 3n²-n+1 et le reste en fonction de n est multiple du quotient 2n-1. Dans ce cas, il ne faut pas oublier de démontrer que le reste est bien inférieur au quotient (ce qui est très rapide), comme dans toute division euclidienne.

Tu peux rédiger les deux, ce n'est pas interdit !

[inviteab0873a3]

D'accord, merci beaucoup à tous les deux, j'ai enfin réussi à terminer cet exercice