TS conjecture et division euclidienne

inviteab0873a3 · 28/10/2008, 15h58

Bonjour à tous,
J'ai un DM de math à faire, voici l'énoncé :
Deux nombres entiers non nuls: N= 3n²-n+1 & D=2n-1 avec n appartient à N*
1. determiner avec un logiciel les valeurs du reste de la div. euclidienne de N par D, pour tout 1<n<50
2.Representer graphiquement ce reste en fct de n

n N D reste
1 3 1 0
2 11 3 2
3 25 5 0
4 45 7 3
5 71 9 8
6 103 11 4
7 141 13 11
8 185 15 5
9 235 17 14
10 291 19 6
...
50 7451 99 26

(j'ai fais ces deux premieres questions sans difficultés)

3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l'expression du reste de la division euclidienne de N par D.

4. La conjecture formulée est-elle vraie ? justifier.

j'aurais besoin d'aide pour les 3. & 4. SVP

Merci d'avance à celui ou celle qui arrivera à me conduire à la réponse

PS : j'ai déja refléchie sur ces question mais je tombe dans un cul de sac

inviteab0873a3 · 28/10/2008, 18h14

Y'a t-il quelqu'un capable de me répondre ????
...PLzzzzzzzzzzzzzzz

**Arkangelsk** · 28/10/2008, 21h48

Salut,

Sans avoir trouvé pour le moment, j'ai une conjecture pour $\text{[math]}$ pair, qui ne marche pas pour $\text{[math]}$ impair. Une piste possible pour la démonstration serait donc d'étudier séparément les deux cas...

**Arkangelsk** · 28/10/2008, 21h55

Bon, j'ai aussi une conjecture pour $\text{[math]}$ impair.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Arkangelsk** · 28/10/2008, 22h11

Au cas où tu repasserais par là, je te mets la conjecture pour $\text{[math]}$ pair en "spoil", de toute façon je n'arriverai pas à te le faire deviner.

Cliquez pour afficher

Il reste à le démontrer...

invitea9351d88 · 28/10/2008, 22h36

bonjour,

voila la suite des restes pour les n impairs:
0, 0, 8, 11, 14, 17, ...

tu remarques pas quelque chose à partir d'un certain rang?

à partir de ce rang essaye d'écrire une relation entre le n et le reste correspondant à ce n

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 09h59

j'ai également séparer les pairs et impairs mais je trouve r(2n)=r(n-2) +1 où r(2-n) est le reste de la division précédente paire, je trouve un résultat différent pour les impairs or faudrait-il pas une égalité pour conjecturer ? mon résultat n'est pas le même que le tien, je dois avoir faux ? tu peux m'expliquer comment tu trouve le tien stp Arkangelsk.

pour les impairs, on ajoute 3 à partir de 8 ... (quand n = 5) j'en ai conclut sur le même modèle que les pairs : r (2n+1) = r(n-2) +3

PS: désolé pour le retard mais je me couche relativement tôt le soir ^^

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 10h22

Envoyé par Tonton87

j'ai également séparer les pairs et impairs mais je trouve r(2n)=r(n-2) +1 où r(2-n) est le reste de la division précédente paire, je trouve un résultat différent pour les impairs or faudrait-il pas une égalité pour conjecturer ? mon résultat n'est pas le même que le tien, je dois avoir faux ? tu peux m'expliquer comment tu trouve le tien stp Arkangelsk.

pour les impairs, on ajoute 3 à partir de 8 ... (quand n = 5) j'en ai conclut sur le même modèle que les pairs : r (2n+1) = r(n-2) +3

PS: désolé pour le retard mais je me couche relativement tôt le soir ^^

Salut,

Il me semble avoir trouvé la démonstration pour la formule du reste avec $\text{[math]}$ pair que j'ai donnée. Dès que l'on a $\text{[math]}$ pair, cela incite à poser : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ naturel. Et la démonstration coule maintenant de source...

Tu peux essayer de voir ce que cela donne pour $\text{[math]}$ . Je n'ai pas regardé avec attention ta méthode mais cela me semble moins trivial ...

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 10h53

Effectivement, pour les pairs je trouve bien ce que tu m'a proposé précédemment ( r=p+1=n/2 +1), je trouve pour les impairs [ n = 2p+1 d'où p=(n-1)/2 ] ceci : r= p+3 = (n-1)/2 +3 = ... = (n+5)/2

les résultats sont toujours différents, comment dois-je continuer ?

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 11h07

Envoyé par Tonton87

Effectivement, pour les pairs je trouve bien ce que tu m'a proposé précédemment ( r=p+1=n/2 +1), je trouve pour les impairs [ n = 2p+1 d'où p=(n-1)/2 ] ceci : r= p+3 = (n-1)/2 +3 = ... = (n+5)/2

les résultats sont toujours différents, comment dois-je continuer ?

Bon, je ne suis pas certain que tu aies bien compris, mais peut-être que je me trompe. On va rester du côté des $\text{[math]}$ pairs pour commencer. Comment démontres-tu que le reste est bien $\text{[math]}$ ?

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 11h10

Et bien, les restes des pairs font : 2;3;4 .. etc, donc on rajoute +1 au résultat précédent, P étant un entier naturel on peut considérer que p est le nombre précédent ?

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 11h17

Envoyé par Tonton87

Et bien, les restes des pairs font : 2;3;4 .. etc, donc on rajoute +1 au résultat précédent, P étant un entier naturel on peut considérer que p est le nombre précédent ?

D'accord. Mais là, tu as une relation impliquant les restes (pour les $\text{[math]}$ pairs) entre eux. Ce que tu cherches est plutôt une relation entre $\text{[math]}$ et le $\text{[math]}$ , non ?

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 11h27

3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l'expression du reste de la division euclidienne de N par D.

donc oui il faudrait une relation du reste en fonction de n ...

on a deux relations, l'une pour les pairs et l'autre pour les impairs qui sont différentes...

Et maintenant ? je voie pas ce qu'on peut faire de ces deux relations...

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 11h34

Envoyé par Tonton87

3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l'expression du reste de la division euclidienne de N par D.

donc oui il faudrait une relation du reste en fonction de n ...

on a deux relations, l'une pour les pairs et l'autre pour les impairs qui sont différentes...

Et maintenant ? je voie pas ce qu'on peut faire de ces deux relations...

Je t'ai donné la première conjecture pour les $\text{[math]}$ pairs. Peux-tu écrire celle pour les impairs ? (Le reste en fonction de $\text{[math]}$ ).

D'autre part, je t'encourage à bien relire mes posts précédents, en particulier le #8 qui devrait te mettre sur la voie ...(Je parle bien de la démonstration)

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 11h41

Concernant les impairs j'ai trouvé ceci : tout d'abord pour p : n=2p+1 d'où p= (n-1)/2

Ensuite, je pose r= p+3 (car à partir de 8 on ajoute 3 au résultat précédent) et j'obtiens au final r = (n+5)/2

Est-ce juste ?

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 11h47

Envoyé par Tonton87

Concernant les impairs j'ai trouvé ceci : tout d'abord pour p : n=2p+1 d'où p= (n-1)/2

Ensuite, je pose r= p+3 (car à partir de 8 on ajoute 3 au résultat précédent) et j'obtiens au final r = (n+5)/2

Est-ce juste ?

Hum, j'ai bien fait de poser la question... Non, ce n'est pas juste. Prends $\text{[math]}$ pour t'en convaincre. Pense à vérifier avant de poster. Tu peux démontrer le résultat conjecturé pour $\text{[math]}$ pair d'abord, en suivant ce que je t'ai indiqué.

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 11h54

Ah oui effectivement, c'est faux :s
Pour les pairs, la démonstration n'est t-elle pas la suivante :
les restes des pairs font : 2;3;4 .. etc, donc on rajoute +1 au résultat précédent, P étant un entier naturel on peut considérer que p est le nombre précédent. (p = n/2)
donc r= p+1
r= n/2 +1

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 12h02

Envoyé par Tonton87

Ah oui effectivement, c'est faux :s
Pour les pairs, la démonstration n'est t-elle pas la suivante :
les restes des pairs font : 2;3;4 .. etc, donc on rajoute +1 au résultat précédent, P étant un entier naturel on peut considérer que p est le nombre précédent. (p = n/2)
donc r= p+1
r= n/2 +1

Mais, où est la démonstration dans tout ça ???

Il est vrai que les restes constituent une suite croissante, ce qu'il faudrait démontrer. Tu peux certainement t'en sortir avec une récurrence, mais alors il faut rigoureusement la poser...

Pourquoi ne pas procéder comme je te l'indique

?

EDIT : J'oubliais :

P étant un entier naturel on peut considérer que p est le nombre précédent

Pourquoi ne pas écrire plus simplement que $\text{[math]}$ est le précédent de $\text{[math]}$ ?

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 12h13

Pourrais-tu m'aiguiller dans la démonstration ? il s'agit bien de poser n=2p (pour n pair) ? Ensuite il faut remplacer n par 2p ?

mais le remplacer dans quoi ?

Je crois que je suis un peu perdu ...

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 12h17

Remplace n par 2p dans 3n²-n+1 et 2n-1. Puis divise 3n²-2n+1 par 2n-1. Tu n'as peut-être pas vu la division de deux polynômes mais c'est assez simple et intuitif dans ce cas.

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 12h52

J'arrive à : (12p²-2p+1)/(4p-1)

j'essaye de factoriser quelque chose par (4p-1) pour obtenir 12p²-2p+1
mais je trouve pas le bon, avec (3p-1) je trouve 12p² -7p +1

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 13h06

Envoyé par Tonton87

J'arrive à : (12p²-2p+1)/(4p-1)

j'essaye de factoriser quelque chose par (4p-1) pour obtenir 12p²-2p+1
mais je trouve pas le bon, avec (3p-1) je trouve 12p² -7p +1

Hum, hum

... Si tu arrives à factoriser, c'est qu'il n'y a pas de reste ! Un petit effort, tu y es presque !

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 13h13

Donc le reste serait égal à la différence entre 12p²-2p+1 et 12p²-7p+1 ? d'où r= 5p

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 13h18

Envoyé par Tonton87

Donc le reste serait égal à la différence entre 12p²-2p+1 et 12p²-7p+1 ? d'où r= 5p

Non. Pose la division de 12p²-2p+1 par 4p-1 comme la division de deux nombres. Exprime ensuite le quotient ("en éliminant les p²") puis le reste.

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 13h27

je pose donc et j'obtiens : 12p²-2p+1= (4p-1)*q + r
Par contre pour supprimer les p² je ne voie pas comment je peux m'y prendre

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 13h29

Est-ce que tu as posé la division comme en primaire, avec la potence

?

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 13h31

je viens de le faire mais j'ai jamais fais ça avec des polynômes, comment je m'y prends ?

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 13h32

Envoyé par Tonton87

je viens de le faire mais j'ai jamais fais ça avec des polynômes, comment je m'y prends ?

Qu'est-ce que tu as trouvé ?

inviteab0873a3 · 29/10/2008, 13h38

Je ne sais pas comment faire ..! je n'ai jamais fais de division de ce type, je suis censé soustraire un multiple de 4p-1 à 12p²-2p+1 pour obtenir le reste et le quotient ?

**Arkangelsk** · 29/10/2008, 13h43

Oui. Le premier terme doit être en $\text{[math]}$ . N'oublie pas ce que j'écris :

("en éliminant les p²")

!

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