Problème de spe en TS : arithmétique
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre la question suivante. Pourriez-vous m'aider? Merci d'avance.
on suppose que x, y et z sont premiers entre eux et que x est pair. On a x4=(z2 - y2)(z2 + y2) . Montrer que le pgcd de ( z2 - y2) et de (z2 + y2) est 2
Curieuse approche car si on développe on tombe sur un théorème célèbre.
d'autant plus que si x4 est vrai tel que:Envoyé par Jeanpaul
x4= (z² -y²) (z² +y²) alors ce théorème est faux.
ces deux nombres,(z² -y²) et (z² +y²), sont premiers entre eux deux à deux, leur produit est un carré, ils sont eux même deux carrés...
Merci pour vos réponses mais je ne comprends pas comment il faut prouver que le pgcd de (z2- y2) et de (z2 + y2) est 2.
En effet, le but de l'exercice est de démontrer le théorème de Fermat pour n = 4 par l'absurde. Il faut d'abord prouver que le pgcd de (z2- y2) et de (z2 + y2) est 2.
Ensuite, on peut montrer qu'il existe a, b nombres entiers naturels tels que z2- y2 = 8 a4 et z2 + y2 = 2b2 (ou l'inverse) et a et b premiers entre eux. On montre ensuite que 4a4 + b4 = z2. enfin, on conclut que 2a2, b2, et z sont les côtés d'un triangle rectangle d'aire (ab)2. Or, le lemme de Fermat "il n'existe pas de triangle rectangle à côtés entiers dont l'aire soit un carré parfait" permet de déduire que l'équation x4 + y4 = z4 n'a pas de solution entières supérieures à 0.
Je pense avoir réussi les étapes de la démonstration sauf la toute première où il faut montrer que le pgcd de (z2- y2) et de (z2 + y2) est 2. Pourriez -vous m'aider?
si ces deux nombre sont premiers entre eux deux à deux et pair , (puisque z et y sont impairs.) le produit de ces deux nombre est un carré, donc divisible par 4 et 2, et dans ce cas, étant premiers entre eux deux a deux ils sont eux même des carrés donc divisible par 4 et 2 ce qui ne peut être, si il sont premier deux à deux,
x4 = u² v² tel que u² = z² - y²; et v² = z² + v².
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que t'inspire ces deux nombres: (z² - y²) et (z² + y²)...?
z est l'hypoténuse est y l'un des côté du triangle rectangle T, avec x²,
tel que x² = 2pq , p et q sont aussi premiers entre eux, l'un des deux est un carré...
est ce que le choix de démontrer le cas N = 4 est libre , ou vous devez le démontrer par l'absence de surface carré dans un triangle rectangle, dont les trois côtés sont des entiers naturels premiers entre eux ?
Il s'agit de démontrer le théorème par l'absence de surface carré dans un triangle rectangle, dont les trois côtés sont des entiers naturels premiers entre eux .
Mais :: c'est impossible, si ces deux nombres sont pairs, ils ont au moins un diviseur commun: 2, ils ne peuvent pas être premiers ?si ces deux nombre sont premiers entre eux deux à deux et pair
donc quel condition faut il pour que le produit de deux entier pair soit un carré parfait, faut il qu'ils soient tous les deux divisibles par 4 ?
Pourquoi parle-t-on du théorème de Fermat ?
Certes l'expression s'approche du casde ce théorème, mais il n'en est pas question dans l'exercice ?
En supposant qu'un entier
Oups, désolé, j'avais pas vu que la preuve s'axait après sur le théorème de Fermat.
En attendant, la première question est quasiment indépendante.
Est ce que le raisonnement suivant est juste? si d divise à la fois (z² - y²) et (z² + y²) alors d divise 2 y2 et z2 or y= un produit de nombres premiers p1 * p 2 ... et z= un produit de nombres premiers q1 * q2 ... les q et les p étant tous différents, donc d=2. Merci d'avance.
Par contre,
De plus,
Donc
Afin d'éviter une erreur de raisonnement, je te propose d'utiliser un théorème, et ne pas te baser sur une totale intuition.
Avec Bezout, que peux-tu écrire entre
Et finalement avec
Que peux-tu en déduire ?
Ton raisonnement est bon, seulement il faut justifier que tous les
Mais bon, je préfère t'engager sur la voie de Bezout, cela te fera un entraînement, et je trouve ca plus classe
Merci beaucoup!!
n'y aurait il pas un peu de confusion..?
pourquoi z et y impairs seraient le produit de deux premiers il peuvent être de premiers !
puisque y = p²-q² et z = p²+q²
Je n'ai absolument rien compris à ton message !
Sinon arsène lupin, que trouves-tu finalement en utilisant Bezout ?
pourquoi arsène dit que :
y= un produit de nombres premiers p1 * p 2 ... et z= un produit de nombres premiers q1 * q2 .c'est contraire à l'équation de départ :
(x²)² = (z² +y²)(z² - y²) donc z²,y² et x² sont donné par deux entiers p et q tel que p² - q² = y² et p² + q² = z²
avec p et q de parités différentes est premiers entre eux
or y et z peuvent être deux nombres premiers ! et de plus ils sont premiers entre eux comme tu l'as dit leur carré aussi.
on peut donc supposer que (z² +y²) =2u² et (z² -y²)=2v² tel que :
2u² * 2v²= (X²)²
que peut on dire sur u et v: si il sont impairs et premiers entre eux alors le pgcd = 2.
est ce que u et v pourrait être de parité différente ?
est ce que (z² -y²) pourait être un carré pair ? si oui il en est de même de (z² + y²) sinon le produit (x²)² serait un demi carré.
avec Bezout:
Comme z et y premiers entre eux, z2 et y2 premiers entre eux donc il existe a et b entiers naturels tels que ay2 + bz2 = 1 donc 2ay2 + 2bz2 = 2.
or d divise 2y2 et 2z2 donc il existe t et p entiers naturels tels que dt = 2y2 et dp= 2z2 donc dta + dpb = 2 donc ta + pb = 2/d or ta+ pb est un entier naturel donc 2/d est un entier naturel donc d inférieur ou égal à 2. Or (z2 + y2) et (z2 - y2) sont pairs donc ils sont tous les deux divisibles par 2 d'où leur pgcd est 2.
Ne jamais écrire de fractions en arithmétique ! (En tout cas le moins possible).
Tu peux faire cela plus simplement :
De là, tu as
merci bubulle
ta solution est effectivement plus simple et plus élégante.
Merci bubulle. Ta solution est en effet plus simple et plus élégante.
