Exercice nombre dérivé

[invite7094fe3d]

1. A a un mouvement rectiligne (horizontal), j'appelle X sa position par rapport à O (=OA). X varie avec t (le temps). Vu que sa vitesse Va est constante, on écrit X=Va*t = 2t (dimension: cm = cm/s *s), en choisissant l'origine du temps (t=0s) là quand A est en O (X=0cm). C'est OK ?

Ok, ça j'ai compris

2. B a aussi un mouvement rectiligne (vertical), j'appelle Y sa position par rapport à O (=OB). Y varie aussi avec t , comment ?
Sachant que AB=5cm, on déduit Y = f(t) = racine_carrée_de (25 –4t²) … justement c'est la fonction donnée dans le 1er problème.
Et puis ?
La fonction dérivée de f(t), notée f'(t), est la fonction vitesse instantanée de B. As-tu cela en leçon ?
Vb = f'(t) = -4t/(racine_carrée_de (25 –4t²))
toujours avec t=0 lorsque B est au plus haut (Y=5cm) et A est en O (X=0cm).

La premiere partie c'est bon, mais d'où sort le -4t ?
Et pourquoi c'est 5cm au plus haut ?

3. A la configuration donnée… X=3cm -> t=1,5s -> Vb(t=1,5) = f'(t=1,5) = -2cm/s (B descend !!)
(f'(1,5) signifie "la valeur de la fonction dérivée de f, en t=1,5")

Là je n'ai pas compris
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[tuan]

On a choisi pour t=0 l'instant où A était (est) en O, la barre AB en vertical et B au plus haut (OB=5cm) (n'oublie pas que AB est en mouvement !!).
Tu as donc compris que f(t) = racine_carrée_de (25 –4t²) est la fonction qui exprime la position (Y=OB) du point B à tout instant t. On voit qu'avec t=0 Y=5cm… ça correspond !

Ce type de fonction s'appelle l'équation de mouvement, et les leçons apprennent que la fonction dérivée de l'équation de mouvement est la fonction vitesse (exprimant la valeur de la vitesse en fonction de la valeur du temps).

Il faut donc que tu saches trouver la dérivée f'(t) de cette fonction f(t)…
(type : f(t) = u ½ => f'(t) = ½ u' / u ½ ) (si tu ne comprends pas ceci, il faut revoir le cours sur la dérivée )
D'où Vb= f'(t) = -4t/(racine_carrée_de (25 –4t²))

[invite7094fe3d]

Que signifie l'exposant 1/2 ?
Et où est la vitesse instantanée de B là dedans ?

[tuan]

u ½ ou sqrt(u) ou sqr(u) … signifient "racine_carée_de (u)".
Que comprends-tu de ces mots "fonction", "instantanée"... ?

[invite7094fe3d]

Ah ok ben je n'avais jamais vu ça non plus.
Ben vitesse instantanée c'est la vitesse du point B à un instant t.

[invite7094fe3d]

Bon on a :





Donc la fonction est dérivable en de nombre dérivé .

[invite7094fe3d]

Position de A par rapport à O :



Position de B par rapport à O :



C'est cette fonction qu'il faut dériver ?

[invite7094fe3d]

Et si comme tu dis , alors quand on remplace t par 3/2 (le temps), on ne trouve pas -2cm.s^-1 mais -1.5cm.s^-1.

[tuan]

voilà l'illustration

OK, je m'excuse ... erreur de transcription.
Vb= -1,5 m/s comme dans mon image "gif"

[invite7094fe3d]

Ok, alors j'ai tout compris, sauf comment on obtient

[invite7094fe3d]

En fait la vitesse de B c'est le nombre dérivé ?

[invite44d70ebf]

Salut

En fait la vitesse de B c'est le nombre dérivé ?

Ce n'est pas trop tôt. Mais il faut que tu comprennes pourquoi.


Merci Tuan, j'avais effectivement oublié.

L.

[tuan]

Probablement, tu n'as pas eu le cours complet sur les dérivées des fonctions.
Je reviens au 1er problème…
La fonction f(t) = (25 –4t²)½ comme tu peux le voir est bien définie en t=3/2=1,5s
La fonction t(h) (ce "t" n'a rien avoir avec l'autre t comme temps… Si ce n'est pas malheureux d'avoir ce genre de prof…!)…
- dans la 1e forme (f(3/2+h)-f(3/2))/h , exprime la vitesse moyenne mesurée pendant un lap de temps "h" à partir de l'instant 3/2=1,5s (=distance parcourue divisée par le lap de temps)
- dans la 2e forme (de la question a), donne la possibité de calculer t(h) quand on réduit le lap de temps "h" à 0 : la vitesse moyenne tend vers et devient la vitesse instantanée, à 3/2=1,5s)
Et cette valeur t(h=0) = -1,5 (m/s)

[invite7094fe3d]

-1.5cm/s, non ?

Mais alors il n'y avait pas besoin de faire -4t/..... si on avait déjà tout depuis le début.

Il suffisait de dire que f est dérivable en 3/2 de nombre dérivé -3/2 donc la vitesse instantanée de B est 1.5cm/s.

J'ai trouvé sur un autre forum quelqu'un qui disait cela :

"C'est tout à fait ça : en fait comme tu as dû le voir en cours de physique, la vitesse instantanée est la plus précise si tu prends un écart de temps très court. En gros, pour ton exercice, tu vas calculer OB pour A à 3,001cm de O puis la même chose pour A à 2,999cm de O, tu fais la différence entre les deux et tu divises le tout par 0,001 (temps mis par A pour parcourir ces 2 millimètres). Tu obtiens la vitesse instantanée de B en cm par seconde.Voilà !"

Mais quand je le fais, je ne trouve pas -1.5.

[invite7094fe3d]

Non ?
Bon je vais continuer d'essayer de comprendre

Merci de votre aide !

[invite7094fe3d]

Non, je ne vois toujours pas pourquoi cela ne marche pas.

[tuan]

"… la vitesse instantanée est la plus précise si tu prends un écart de temps très court. …" c'est dans ton texte !

[invite7094fe3d]

Ben oui !

Enfin bref, j'ai compris comment faire !
Mais une dernière question :

1.5cm/s c'est bien la vitesse instantanée de l'extrémité B lorsque A est à 3 cm de O ?

[tuan]

-1,5 cm/s si B s'approche de O (A s'éloigne de O) et
+1,5 cm/s sinon

[invite7094fe3d]

Mais, on ne peut pas dire si A s'éloigne ou pas puisque c'est à un moment précis (quand A est à 3cm de O).

[invite7094fe3d]

Non, c'est faux ce que je dis ?

[invite7094fe3d]

Sinon je peux aussi faire avec les sinus et cosinus comme sur l'illustration ?
Cela me semble beaucoup plus simple.