Exercice nombre dérivé

[invite7094fe3d]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice, pourriez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

On a une fonction :
Elle est définie sur
On pose

a) Démontrer que :



Pour ça, aucun problème !

b) En déduire que la fonction f est dérivable en :

Comment fait-on ? Il faut refaire le calcul ?

2) Une barre [AB], de 5 cm de longueur, a ses extrémités qui coulissent sur les demi-axes [Ox) et [Oy) d'un repère orthonormal dont l'unité est 1 cm.
L'extrémité A se déplace à une vitesse constante de 2cm.s^-1

Quelle est la vitesse instantanée de l'extrémité B lorsque A est à 3 cm de O ?

Alors là, je ne vois pas du tout comment faire !

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite09c180f9]

Bonjour,

b) En déduire que la fonction f est dérivable en

comme la question le dit il faut juste le déduire. Tu sais comment démontrer une dérivabilité en un point, donc sert toi tout simplement de la question précédente...

2) Une barre [AB], de 5 cm de longueur, a ses extrémités qui coulissent sur les demi-axes [Ox) et [Oy) d'un repère orthonormal dont l'unité est 1 cm.
L'extrémité A se déplace à une vitesse constante de 2cm.s^-1
Quelle est la vitesse instantanée de l'extrémité B lorsque A est à 3 cm de O ?

Les points A et B se déplacent sur les demi-axes donc tu es constament dans une situation avec un triangle rectangle AOB rectangle en O. De plus ton hypoténuse AB et toujours égale à 5cm.
Tu connais également la vitesse de A qui en plus est constante.
Ainsi, tu peux en déduire le temps qu'aura mis A pour arriver à 3cm de O. Tu peux également en déduire la distance à laquelle B se trouve de O donc par conséquent sa vitesse instantanée en découlera...

[invite7094fe3d]

Merci de ton aide.

Il faut faire un graphique ?
Mais A part de O ?
Si oui, alors il faut 1.5s pour faire 3cm.

[invite7094fe3d]

Quelqu'un d'autre peut m'aider ?

Je n'ai pas très bien compris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7094fe3d]

Alors en m'aidant du triangle rectangle j'ai trouvé que pour arriver à 3cm de O le point A met 1.5 seconde et que OB mesure 4cm.

Et après ?

Est-ce que cela veut dire que le point B fait 4cm en 1.5 seconde et que donc sa vitesse est de 4/1.5 = 2.7 cm.s^-1 ?

[invite7094fe3d]

Serait-ce bon ?

[tuan]

Bonsoir,
Pour fixer les idées, je place A sur le demi-axe horizontal Ox et B sur le demi-axe vertical Oy.
Si A a une vitesse constante, a priori celle de B ne l'est pas. Mais ça ne sert à rien de la démontrer car la vitesse de B n'est pas constante.
Faire une division de l'espace parcouru par le temps écoulé… c'est chercher une vitesse moyenne et non pas une vitesse INSTANTANEE.
La barre a à chaque instant une rotation instantanée autour d'un centre instantané de rotation (noté C) qui se déplace sans cesse…
1. Vu que…
- le vecteur-vitesse de A est horizontal,
- le vecteur-vitesse de B est vertical,
- le vecteur-vitesse de tout point de la barre est perpendiculaire au "rayon" qui joint le point au centre C de rotation,
on en déduit que C se trouve au 4e sommet du rectangle OACB.
2. On a…
la vitesse instantanée de A = +2cm/s (vers la droite)
CA=4cm
CB=3cm
on en déduit
-que la vitesse de rotation (instantanée) de la barre est donc u=vitesse/rayon = 2/4 = 0.5 rad/s
le sens rotation étant anti-horlogique (=trigonométrique)
-que la vitesse instantané de B est = u.rayon = 0.5*3 =1.5 cm/s et le sens est de haut en bas.
Ici, on a utilisé une formule simple, presque évidente mais ô combien importante:
vitesse linéaire (m/s) = produit (vitesse angulaire (rad/s) * rayon de position (m))

bon week-end !

[invite7094fe3d]

Merci

Ah oui j'ai vu ça ! Mais en physique...

On ne peut pas utiliser le triangle rectangle plutôt ?
Parce que là ça me semble un peu compliqué !

[invite7094fe3d]

Et pourquoi dit-on que la barre a une rotation ?

[tuan]

A va à droite, B descend, donc la barre tourne. Cependant la rotation n'est pas constante bien que la vitesse linéaire de A soit constante.
Tu vois aussi que l'inclinaison de la barre change avec le mouvement, donc elle tourne.

[invite7094fe3d]

Ok, mais il n'y a pas une méthode plus simple ?
Et comment savez-vous que le rayon est CA ?

[tuan]

Il y a une autre explication, je ne sais pas si ça te conviendra.
Je reprendre le même dispositif…
La barre AB a une longueur fixe (5cm), alors la projection du vecteur-vitesse de A et la projection du vecteur-vitesse de B sur la droite AB sont égales (Fais un dessin).
En jouant sur différents triangles semblables : OAB d'une part et ceux formés par les vecteurs-vitesses et par leurs projections respectives, tu devra trouver la "taille" du vecteur-vitesse en B (descendant)

[tuan]

1. Vu que…
- le vecteur-vitesse de A est horizontal,
- le vecteur-vitesse de B est vertical,
- le vecteur-vitesse de tout point de la barre est perpendiculaire au "rayon" qui joint le point au centre C de rotation,
on déduit que...
- C se trouve sur la verticale (perpendiculaire au vecteur-vitesse horizontal de A) passant par A (fais le dessin !)
- C se trouve sur la horizontale (perpendiculaire au vecteur-vitesse vercical de B) passant par B (ajoute dans le dessin !)
- C est donc à l'intersection des lignes tracées...
Cela revient à construire le rectangle OACB.
Ca te va ?

[invite7094fe3d]

J'ai plus compris la première méthode !
Mais je n'ai pas trop compris avec l'histoire du centre de rotation (C).
Avec l'exercice il y a un schéma montrant un repère orthornormal avec une barre en travers de 5 cm.

[invite7094fe3d]

Oui, ça me va !

[invite7094fe3d]

Mais alors ce qu'à dit physastro :

"Les points A et B se déplacent sur les demi-axes donc tu es constament dans une situation avec un triangle rectangle AOB rectangle en O. De plus ton hypoténuse AB et toujours égale à 5cm.
Tu connais également la vitesse de A qui en plus est constante.
Ainsi, tu peux en déduire le temps qu'aura mis A pour arriver à 3cm de O. Tu peux également en déduire la distance à laquelle B se trouve de O donc par conséquent sa vitesse instantanée en découlera..."

Ce n'est pas bon ?

[tuan]

Lorsqu'un corps (non déformable) ne se déplace pas en translation, il y a tjrs une rotation qui se diffère à tout moment (valeur et centre). On parle donc des rotations instantannées...
J'essaye de faire un petit dessin pour t'expliquer l'autre méthode. Il me faut du temps.

[tuan]

Mais alors ce qu'à dit physastro :

"Les points A et B se déplacent sur les demi-axes donc tu es constament dans une situation avec un triangle rectangle AOB rectangle en O. De plus ton hypoténuse AB et toujours égale à 5cm.
Tu connais également la vitesse de A qui en plus est constante.
Ainsi, tu peux en déduire le temps qu'aura mis A pour arriver à 3cm de O. Tu peux également en déduire la distance à laquelle B se trouve de O donc par conséquent sa vitesse instantanée en découlera..."

Ce n'est pas bon ?

Non, bien que A se déplace à vitesse constante, B ne l'est pas.
Au début quand A était à gauche de O (ça ne change pas ton énoncé) B était moins haut que 5cm.
Ensuite A arrive en O, B monte au plus haut (5cm).
Après, A est à droite de O, B redescend... donc sa vitesse s'est annulée à un moment donnée pour ensuite changer de signe... donc vitesse non constante.
La vitesse moyenne n'est pas une vitesse instantannée.

[tuan]

Il y a une autre explication, je ne sais pas si ça te conviendra.
Je reprendre le même dispositif…
La barre AB a une longueur fixe (5cm), alors la projection du vecteur-vitesse de A et la projection du vecteur-vitesse de B sur la droite AB sont égales (Fais un dessin).
En jouant sur différents triangles semblables : OAB d'une part et ceux formés par les vecteurs-vitesses et par leurs projections respectives, tu devra trouver la "taille" du vecteur-vitesse en B (descendant)

voilà l'illustration

[invite44d70ebf]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice, pourriez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

On a une fonction :
Elle est définie sur
On pose




2) Une barre [AB], de 5 cm de longueur, a ses extrémités qui coulissent sur les demi-axes [Ox) et [Oy) d'un repère orthonormal dont l'unité est 1 cm.
L'extrémité A se déplace à une vitesse constante de 2cm.s^-1

Quelle est la vitesse instantanée de l'extrémité B lorsque A est à 3 cm de O ?

Alors là, je ne vois pas du tout comment faire !

Merci d'avance pour votre aide !

Salut
En exprimant OB en fonction de OA à tout instant, tu at:
OA= Va* t
OA= 2t
OAB étant rectangle à tout instant,
OB²=25-OA²
=25-4t
d'où OB=(25-4t)^1/2( J'arrive pas à faire racine carré)
OB= f(t)
Or tu as vu en Physique que la vitesse instantanéé est la dérivée de la position par rapport au temps, donc
Vb(t)=f'(t).
Donc tu trouves d'abord t avec
t=oa\2
t=1,5 s

Puis à t=1.5s, OA=3m et Vb=f'(1,5).

Mais j'aimerais tant qu'on y est, j'aimerais mieux comprendre la rotation instantanée de la barre.

Cordialement, L.

[invite7094fe3d]

Merci beaucoup à tous les deux.

L'illustration est très bien faite !
Donc Lillylloyd, tu trouves la même reponse que tuan ?
Parce que je ne comprends pas trop comment tu as fait.
Vb=f'(1.5) veut dire quoi ?

[invite44d70ebf]

Tu avais une fonction f(t) au départ, et ce n'est pas fortuitement que l'on te l'a donné au début. Les questions1) et 2) de ton exo sont liés.
D'abord, comprends tu que OB=f(t)?

[invite7094fe3d]

Oui, ça, ça va.

[invite7094fe3d]

Mais pourquoi dis-tu que OA = Va*t ?

[invite44d70ebf]

Comment est-ce que tu exprimerais la distance parcourue en fonction du temps mis et de la vitesse? Du reste, c'est en utilisant cette formule qu'on aboutit à OB= f(t).

[invite7094fe3d]

Mais Vb=f'(1.5) veut dire quoi ?
Enfin dans ton calcul je ne vois pas où on a la vitesse instantanée de B

[invite7094fe3d]

Non, personne ?
J'aimerais bien comprendre^^

[tuan]

Bonjour,
Je m'excuse…La dernière suggestion (dernière phrase) de Physastro est correcte; mais toi Cannot, tu l'as interprétée en un calcul de la vitesse moyenne… ce qui n'était pas bon.
Bon, j'essaye de faire un peu mieux. Pourtant, tout a été bien expliqué par Lillylloyd (nonobstant une petite erreur de frappe, l'exposant de t…)

1. A a un mouvement rectiligne (horizontal), j'appelle X sa position par rapport à O (=OA). X varie avec t (le temps). Vu que sa vitesse Va est constante, on écrit X=Va*t = 2t (dimension: cm = cm/s *s), en choisissant l'origine du temps (t=0s) là quand A est en O (X=0cm). C'est OK ?

2. B a aussi un mouvement rectiligne (vertical), j'appelle Y sa position par rapport à O (=OB). Y varie aussi avec t , comment ?
Sachant que AB=5cm, on déduit Y = f(t) = racine_carrée_de (25 –4t²) … justement c'est la fonction donnée dans le 1er problème.
Et puis ?
La fonction dérivée de f(t), notée f'(t), est la fonction vitesse instantanée de B. As-tu cela en leçon ?
Vb = f'(t) = -4t/(racine_carrée_de (25 –4t²))
toujours avec t=0 lorsque B est au plus haut (Y=5cm) et A est en O (X=0cm).

3. A la configuration donnée… X=3cm -> t=1,5s -> Vb(t=1,5) = f'(t=1,5) = -2cm/s (B descend !!)
(f'(1,5) signifie "la valeur de la fonction dérivée de f, en t=1,5")

[invite7094fe3d]

Je n'ai jamais vu tout cela en cours

[invite7094fe3d]

Je reprends^^
Je sais que A est à 3cm de O, donc B est à 4cm de 0.
Le point A met 1.5s pour arriver à 3cm de O.
Mais après je n'ai pas compris ce que vous avez dit plus haut car je ne l'ai jamais vu en cours.