! Systeme de 2 inconnues en trigo !

[invitea9541bbd]

Bonjour je suis en premiere S et je bloque sur une des questions de mon DM de math sur les angles orientés:

On considère le systeme suivant avec x E [ 0; 2pie ]

( 2sinx -4cosx= rac3 + 2
( sinx + rac3 cosx = 0

1) determiner cosx et sinx
2) en deduire la valeur de x

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-- Pour commencer le systeme j'ai trouvé que l'on peut poser :

X = cosx
Y= sinx

donc cela nous fait :


( 2Y -4X= rac3 + 2
( Y + rac3X = 0

Voila mais après je n'arrive pas a resoudre le système j'ai essayé pas mal de méthodes mais chacune me mette dans une impasse, substitution etc ..

Si quelqu'un a une idée et peut m'aider ce serais vraiment simpas !

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[inviteec9de84d]

Salut,
très bonne idée de poser de nouvelles inconnues : ta démarche est correcte.

Ensuite tu résous simplement en faisant une combinaison linéaire avec les lignes (essaye donc 2*L2 - L1), ça marche bien !

[invitece2661ac]

bonjour:

en faite tu as une inconnue et donc tes deux équations doivent etre dependantes.

sinx + rac3 cosx = 0
2.[ (1/2).sin(x) + ((rac3)/2).cos(x) ] = 0

or 1/2 = sin(Pi/6) et (rac3)/2 = cos(Pi/6) aussi 2 differente de zero alors:

[ sin(Pi/6).sin(x) + cos(Pi/6).cos(x) ] = 0

On sait que: cos( a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

donc: sin(Pi/6).sin(x) + cos(Pi/6).cos(x) = cos( x - Pi/6)

donc notre équation devient : cos( x - Pi/6) = 0 = cos(Pi/2)

et donc : x - Pi/6 = Pi/2 ce qui donne : x = 2Pi/3 solution de tes deux equations

verification : 1- sinx +( rac3) cosx = 0
x = 2Pi/3 alors sin(2Pi/3) = (rac3)/2 et cos(2Pi/3) = -1/2
donc : (rac3)/2 + (rac3).(-1/2)=0 bien verifiée

Pour 2- : 2sinx -4cosx= (rac3) + 2

2.((rac3)/2) -4.(-1/2) = (rac3) + 2 verifiée aussi

[invitea9541bbd]

bonjour:

en faite tu as une inconnue et donc tes deux équations doivent etre dependantes.

sinx + rac3 cosx = 0
2.[ (1/2).sin(x) + ((rac3)/2).cos(x) ] = 0

or 1/2 = sin(Pi/6) et (rac3)/2 = cos(Pi/6) aussi 2 differente de zero alors:

[ sin(Pi/6).sin(x) + cos(Pi/6).cos(x) ] = 0

On sait que: cos( a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

donc: sin(Pi/6).sin(x) + cos(Pi/6).cos(x) = cos( x - Pi/6)

donc notre équation devient : cos( x - Pi/6) = 0 = cos(Pi/2)

et donc : x - Pi/6 = Pi/2 ce qui donne : x = 2Pi/3 solution de tes deux equations

verification : 1- sinx +( rac3) cosx = 0
x = 2Pi/3 alors sin(2Pi/3) = (rac3)/2 et cos(2Pi/3) = -1/2
donc : (rac3)/2 + (rac3).(-1/2)=0 bien verifiée

Pour 2- : 2sinx -4cosx= (rac3) + 2

2.((rac3)/2) -4.(-1/2) = (rac3) + 2 verifiée aussi

Bonsoir, tout d'abord merci beaucoup à tous les 2 pour votre aide !!

Nabil merci beaucoup pour ton message qui m'aide énormement !! je ne voyais pas du tout cet exercice dans ce sens là, cépendant j'aurais quelque questions car je ne comprend pas tout ><':

je ne comprend pas comment tu passe de

sinx + rac3 cosx = 0

à 2.[ (1/2).sin(x) + ((rac3)/2).cos(x) ] = 0

que signifie le "2." du début ? c'est pour me dire que c'est la 2eme equation car je ne comprend pas ce qu'il fait là lol...

ensuite je ne comprend pas trop trop comment tu passe de : cos( x - Pi/6) = 0 = cos(Pi/2)

puis de :" x - Pi/6 = Pi/2 ce qui donne : x = 2Pi/3 solution de tes deux equations"

Voilà sinon je te remercie encore pour ton aide et d'avoir sacrifié du temps pour moi ^^, tu es un as de la trigo !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece2661ac]

Rebonsoir:

2.[ (1/2).sin(x) + ((rac3)/2).cos(x) ] = 0
si tu redevlopppes tu tomberas sur ton equation de depart :
sin(x) + (rac3).cos(x) = 0

pour la deuxieme point d'interrogation:cos( x - Pi/6) = 0 = cos(Pi/2)
c'est simple meme cos donc meme angle x - Pi/6 = Pi/2

Ceci est dit on peut faire les choses autrement:
2sinx -4cosx= (rac3) + 2.........-1-
sinx + rac3 cosx = 0............-2-

Multiplions l'equation -2- par (-2) on aura donc:
2.sinx - 4.cosx= (rac3) + 2.........-1-
-2. sinx - 2.(rac3) cosx = 0............-2'-

Ajoutons les deux les membres des deux égalites -1- et -2'- on obtient:

- 4.cosx - 2.(rac3) cosx = (rac3) + 2
-2.cos(x).((rac3) + 2) = (rac3) + 2
cos(x) = -1/2 et donc x = 3.Pi/2
remarque : tu peux eliminer le cos en multiplions -1- par (rac3) et -2- par (4)

[invitea9541bbd]

ok !! je comprend beaucoup mieux!!

Merci beaucoup pour ton aide !!

Bonne soirée !!