Etude d'une suite de rapports de distances TS

[invite369a4dc4]

Salut,

je n'arrive pas à répondre a cette question de mon dm à rendre pour demain.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on considère les points An, Bn et Cn, d'abscisse n, appartenant respectivement à l'axe des abscisses; à la droite D déquation y=2x-5, et a la courbe C, représentant la fonction f d'équation y=(2x-5)(1-e^(-x));
soit le Un le réel défini par Un=CnBn/AnBn

1)Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a :
Un=2n-5-f(n)/2n-5

2) Quelle est la nature de la suite Un ?

3) Calculer la limite de la suite Un.

Merci pour votre aide.
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[inviteec9de84d]

Salut,
qu'as-tu fait pour l'instant ? où es-tu bloqué exactement ?

[invite369a4dc4]

Ca c'est la dernière partie de mon dm. J'ai déja fait les 2 premières. Ca m'a pas trop de rapport avec les autres questions (enfin je pense).
Ou j'arrivepas ? Bah je ne sais pas comment faire, tout simplement. J'ai essayé de remplacé Cn, Bn et An par leur expression en changeant x en n; mais ça ne mène nulle part. Donc j'en appelle a votre aide. Merci

[invite369a4dc4]

Ca c'est la dernière partie de mon dm. J'ai déja fait les 2 premières. Ca m'a pas trop de rapport avec les autres questions (enfin je pense).
Ou j'arrivepas ? Bah je ne sais pas comment faire, tout simplement. J'ai essayé de remplacé Cn, Bn et An par leur expression en changeant x en n; mais ça ne mène nulle part. Donc j'en appelle a votre aide. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec9de84d]

On va d'abord se mettre d'ccord sur l'énoncé :
?
Montrer que
?

[inviteec9de84d]

Parce que si An est sur l'axe des abscisses, An = 0 pour tout n si je ne m'abuse......

[invite369a4dc4]

Le réél Un est défini par Un=(CnBn)/(AnBn) ( c'est ok ce que tu as mis)

Il faut maintenant démontrer Un= (2n-5-f(n)) / 2n-5
démoni numérateur

Voila.

[invite369a4dc4]

c'est mal passé dsl.

le dénominateur est 2n-5-f(n)

le numérateur est 2n-5

[inviteec9de84d]

Bon,
Un est défini comme un rapport de distances, c'est à dire qu'il faut considérer les longueurs CnBn et AnBn.

Allez je te les donne et ça roule !

[invite369a4dc4]

Comprend pas tu peux détailler stp; merci

[invite369a4dc4]

je trouve en développant l'exprssion Un=2n-5-f(n)/2n-5 >>> Un=e^(-n)
Si ça peut aider ...

[inviteec9de84d]

Le terme traduit la distance entre les points repérés par An et Bn. Comme An = 0 pout tout n (il est sur l'axe des abscisses), alors AnBn est la distance de Bn (sur la droite) à l'axe soit :


Remarque : tu n'est pas obligé de considérer la distance euclidienne, si c'est ça qui te dérange.....la distance AnBn = |bn - an| convient très bien pour des suites, discrètes (tu te déplaces de n en n en suivant le quadrillage, et non comme sur la droite réelle de manière continue).

Ensuite, de la même façon il vient :

car Cn est sur le graphe de la fonction f, donc prend les valeurs f(n).

Ce que tu en déduis pour Un dois t'aider de manière évidente pour la fin

[invite369a4dc4]

quand tu dis "Cn est sur le graphe de la fonction f, donc prend les valeurs f(n)", tu veux dire que D et C sont confondus, c'est sa ? Dsl, je met du temps avant de saisir

Merci pour toute tes explications lapin savant

[inviteec9de84d]

Non, d'après ton énoncé, Bn est sur la droite et Cn est sur le graphe de f, mais avec la distance que je t'ai donné, et bien la distance entre Bn et Cn s'exprime par la différence des termes de leurs suites.

[inviteec9de84d]

En d'autres termes,
bn = 2n -5 est l'ordonnée du point Bn à l'abscisse n,
cn = f(n) est l'ordonnée du point Cn à l'abscisse n (comme pour une fonction f(x), mais en discret)

[invite369a4dc4]

merci bcp lapin savant