Bonsoir, j'ai quelques problèmes sur ce Dm et ce serait sympa de m'aider au moins aux premières questions car je n'arrive pas à démarrer.
Merci d'avance!
On dispose de deux verres de même contenance 20 cl.
Le verre 1 est plein d'eau et le verre 2 contient 10 cl de vin.
A l'aide du verre 1, on remplit le verre 2, puis après avoir rendu le mélange homogène dans le verre2, on remplit le verre1 en utilisant le verre 2. On répète plusieurs fois cette opération.
On se pose les questions suivantes :
la proportion de vin dans le verre 1 peut-il être :
A supérieur à celle du verre 2 ?
B supérieur à 99.99% de celle du verre 2?
Afin de répondre à ces questions, on modélise la situation en notant respectivement, pour tout entier naturel n, U et Vn les proportions de vin dans les verres 1 et 2, au bout de n étapes. On a donc U0=0 et V0=1
1°) a) Justifier que V1=1/2 et U1=1/4, puis calculer U2 et V2
b) expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :
Vn+1=0.65(Un+Vn).
c) en remarquant que la quantité de vin contenue dans l'ensemble des deux verre n'est pas modifiée à chaque étape, démontrer que, pour tout entier naturel n : Vn=1-2Un
d) En déduire les dix premiers termes de chacune des suites u et v.
2°)a) démontrer que la suite u vérifie une relation de récurrence de la forme Un+1=f(Un), ^ù f est une fonction affine que l'on précisera.
b) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite u en utilisant la droite représentant la fonction affine f.
c) Quelle propriété de la fonction f permet de justifier que, pour tout entier naturel n, un < Vn et répondre à la question a.
3°) Soit W la suite définie sur N par Wn=Un+1-Un
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Wn+1=(1/4)Wn. En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de Wn en fonction de n.
b) Déterminer le sens de variation des suites u et v?
4°) Soit p la suite définie sur N par pn=Un/Vn.
a) Calculer les dix premiers termes de la suite p.
b) Quel est le sens de variation de la suite p?
c) Répondre à la question B.
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