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Probléme - suites



  1. #1
    krikik07

    Probléme - suites


    ------

    Bonsoir, j'ai quelques problèmes sur ce Dm et ce serait sympa de m'aider au moins aux premières questions car je n'arrive pas à démarrer.
    Merci d'avance!


    On dispose de deux verres de même contenance 20 cl.
    Le verre 1 est plein d'eau et le verre 2 contient 10 cl de vin.
    A l'aide du verre 1, on remplit le verre 2, puis après avoir rendu le mélange homogène dans le verre2, on remplit le verre1 en utilisant le verre 2. On répète plusieurs fois cette opération.

    On se pose les questions suivantes :
    la proportion de vin dans le verre 1 peut-il être :
    A supérieur à celle du verre 2 ?
    B supérieur à 99.99% de celle du verre 2?

    Afin de répondre à ces questions, on modélise la situation en notant respectivement, pour tout entier naturel n, U et Vn les proportions de vin dans les verres 1 et 2, au bout de n étapes. On a donc U0=0 et V0=1

    1°) a) Justifier que V1=1/2 et U1=1/4, puis calculer U2 et V2
    b) expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :
    Vn+1=0.65(Un+Vn).
    c) en remarquant que la quantité de vin contenue dans l'ensemble des deux verre n'est pas modifiée à chaque étape, démontrer que, pour tout entier naturel n : Vn=1-2Un
    d) En déduire les dix premiers termes de chacune des suites u et v.
    2°)a) démontrer que la suite u vérifie une relation de récurrence de la forme Un+1=f(Un), ^ù f est une fonction affine que l'on précisera.
    b) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite u en utilisant la droite représentant la fonction affine f.
    c) Quelle propriété de la fonction f permet de justifier que, pour tout entier naturel n, un < Vn et répondre à la question a.
    3°) Soit W la suite définie sur N par Wn=Un+1-Un
    a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Wn+1=(1/4)Wn. En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de Wn en fonction de n.
    b) Déterminer le sens de variation des suites u et v?
    4°) Soit p la suite définie sur N par pn=Un/Vn.
    a) Calculer les dix premiers termes de la suite p.
    b) Quel est le sens de variation de la suite p?
    c) Répondre à la question B.

    -----

  2. #2
    ALEX15000

    Re : Probléme - suites

    A la premier étape tu va donc avoir dans ton verre 2 10cL de vin et 10cL d'eau donc V1=1/2 et dans le verre 1 il y a donc 10cL d'eau. Tu rajoute dedans 10cL du verre2 soit 5cL d'eau et 5cL de vin (le mélange étant homogène). Donc tu te retrouve avec 5cL de vin pour 15cL d'eau. D'ou U1=1/4.
    Voila pour la question a
    "J'adore violer votre virginité intellectuelle..."

  3. #3
    tuan

    Re : Probléme - suites

    Bonsoir,
    Je fais 2 remarques:

    1) A chaque étape complète (20cl dans le verre 1 et 10cl dans le verre 2), le volume d'eau x que gagne le verre 2 est exactement égal au volume de vin que gagne le verre 1)
    - proportion d'eau dans le verre 2 (vin au départ) est donc V = x/10
    - proportion de vin dans le verre 1 (eau au départ) est donc U = x/20

    2) On voit donc pour l'énoncé que V et U ne signifient pas la même chose

    Comme Alex15000 a expliqué… à la 1e étape, x=5cl, V1=5/10=1/2 et U1=5/20=1/4

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