Bonsoir,
En me baladant sur wikipedia j'ai découvert un théorème qui s'appelle le théorème de Zeckendorf et qui affirme ceci : Tout entier strictement positif peut être décomposé de manière unique en une somme de nombres de Fibonacci1 non-consécutifs et deux à deux distincts.
Dit autrement, pour tout entier , il existe un unique -uplet d'entiers tel que avec et pour .
Quelques exemples de décomposition : , , ...
Étonnant, non ?
Ceux que cela amuse peuvent essayer de démontrer le théorème. Il n'est pas trop difficile de prouver qu'un entier naturel quelconque peut se décomposer comme décrit plus haut. Établir l'unicité de la décomposition est par contre plus ardu. Pour ce faire on pourra utiliser (voire même montrer) ce résultat :
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(1) Les nombres de Fibonacci sont les termes de la suite définie par , et pour . Les treize premiers termes sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 et 144.
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