Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle
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Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle



  1. #1
    mx6

    Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle


    ------

    Bonjour,

    Afin de résoudre un exercice, j'ai besoin de trouver les coordonnées du centre du cercle inscrit. Mais je ne vois pas comment faire

    Par exemple si j'ai c'est quoi les coordonnées du centre du cercle inscrit ?

    Je sais que c'est l'intersection des bissectrices, mais je n'ai jamais su comment trouver l'équation de la bissectrice d'un angle formé par deux droites par exemple.....

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Bonjour mx6,

    Deux résultats pour t'aider :
    – le couple des bissectrices de deux droites est l'ensemble des points équidistants des deux droites, d'où une équation de ce couple ;
    – le centre du cercle inscrit à un triangle est le barycentre des trois sommets, chacun d'eux étant affecté comme coefficient de la longueur du côté opposé.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Merci beaucoup God's Breath, je vais voir ce que je peux tirer de ces informations.

  4. #4
    inviteb4d8c3b4

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Ouaaa, moi je vois pas par où comencer ! Un coup de pouce svp ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    Ouaaa, moi je vois pas par où comencer ! Un coup de pouce svp ?
    Si les droites portant les deux côtés du triangle issus du sommet ont pour équations et , le point est équidistant de ces deux droites si, et seulement si



    c'est-à-dire

    ou

    qui sont deux équations de droites, l'une est la bissectrice intérieure de l'angle en , l'autre la bissectrice extérieure.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    inviteb4d8c3b4

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    C'est bête mais je vois pas d'où ça vient. Je comprends bien l'histoire des équations, mais pourquoi on utilise les modules, et pourquoi seulement u et v (et u' et v') ?

    Merci

  8. #7
    inviteb4d8c3b4

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Y a une histoire avec l'équation du cercle là-desous, mais je vois pas le lien !!!

  9. #8
    God's Breath

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    C'est bête mais je vois pas d'où ça vient. Je comprends bien l'histoire des équations, mais pourquoi on utilise les modules, et pourquoi seulement u et v (et u' et v') ?
    C'est la formule de la distance du point de coordonnées à la droite d'équation :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  10. #9
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    God's Breath, ca fait bien une heure et demie que je me bats avec l'exo, enfin, j'ai utilisé les méthodes proposées, mais je me retrouve avec des racines de x et y partout, très durs à calculer !

    Voici l'énoncé :

    Déterminer tous les nombres complexes non réels tels que les points images , et forment un triangle dont le centre du cercle inscrit est l'origine O du repère.

  11. #10
    God's Breath

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Déterminer tous les nombres complexes non réels tels que les points images , et forment un triangle dont le centre du cercle inscrit est l'origine O du repère.
    Évidemment, il faut envisager des méthodes par les complexes...

    Si les points et ont pour affixes respectives et , le vecteur a pour affixe , et est l'affixe d'un vecteur orthogonal à la droite .

    Soit le projeté orthogonal de sur , il est d'affixe tel que , avec réel.

    Reste à déterminer en exprimant que est aligné avec et , par exemple est réel, soit
    ou
    c'est-à-dire
    soit
    donc
    et .

    Finalement .

    Les projections orthogonales de sur les côtés du triangle dont les sommets ont pour affixes , , (après avoir écrit quelques conditions pour que ces points soient distincts...) sont , et , et est le centre du cercle inscrit, ou de l'un des cercles exinscrits, si, et seulement si,

    Bon courage !!!

    PS, il faut factoriser et simplifier les affixes : . Il y aura des facteurs communs dans l'expression des .

    J'espère qu'il y a plus simple...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #11
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Merci God's Breath pour le fil ! Encore des calculs à faire; mais beaucoup moin que la méthodé envisagé au depart

  13. #12
    invite2220c077

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Salut,

    Soient , et trois points du plan complexe. Alors l'affixe du centre du cercle inscrit au triangle ABC est : avec , et respectivement les longueurs BC, AC et AB.

  14. #13
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    En effet, Zweig, God's Breath l'a dit dans son premier post, ce que t'as écris, c'est bien le barycentre des sommets pondorés avec les longuers des cotés opposés.
    Mais cette voie aussi, est très lamentable, j'ai fais 3 pages de calculs avec et en vain y a des racines, des puissances jusqu'à 6, complétement horrible.

  15. #14
    God's Breath

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Bonsoir mx6,

    Ce que dit Zweig, qui a plus réfléchi que moi, fonctionne très bien.

    L'affixe du centre du cercle inscrit est

    et oncherche donc les nombres tels que
    .

    Or


    On élimine et , c'est-à-dire , car alors , et on n'a pas de « vrai » triangle.

    Reste donc .

    Mézalor est réel négatif, donc , et sont alignés sur l'axe réel : on n'a toujours pas de « vrai » triangle.

    Aucun nombre ne convient.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  16. #15
    invite2220c077

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    J'ai trouvé pareil

  17. #16
    invite2220c077

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Sinon, pour ta culture mx6 : les coordonnées du centre de gravité est (a+b+c)/3, celui de l'orthocentre ((tan A)*a + (tan B)*b + (tan C)*c)/(tan A + tan B + tan C) (toujours dans le plan complexe).

  18. #17
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    J'avais commencé pareil mais j'ai remplacé par

    Mais j'ai un petit souci je ne comprend pas ça (j'ai honte )


    .....

    Sinon bravo pour la démo

  19. #18
    God's Breath

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Quelle horreur, j'ai oublié les modules, donc toute la fin de mon truc est fausse...

    On a en fait :



    et la condition est , qui est beaucoup moins simple que ce que j'envisageais.

    Je pense qu'en écrivant , avec et , on doit pouvoir conclure assez facilement.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  20. #19
    invite2220c077

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Enorme, j'ai fait exactement la même erreur que toi ...

    Bon, pour résoudre cette équation, j'ai sorti l'artillerie lourde : j'ai posé , ce qui nous ramène à résoudre l'équation dans de :



    Par identification de complexes, on doit résoudre en fait :



    ou encore



    Ce qui nous donne d'une part . Le deuxième facteur se réécrit quant à lui

    Ainsi, en considérant cette équation d'inconnue et de paramètre , on obtient les solutions , avec :





    Ainsi les complexes solutions, en enlevant ceux qui donnent des triangles aplatis, sont : et , avec

  21. #20
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Je crois que j'ai pu conclure :
    Si
    Alors ; , et (à vérifier svp!)

    Alors on posant mon équation et en factorisant par je trouve :

    Ce qui est impossible !
    Dernière modification par mx6 ; 29/03/2009 à 22h11.

  22. #21
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Excusez moi !
    Ma conclusion est fausse !!!!!

    On conclure que est un réel positif !
    Donc et .

    En remplaçant dans mon égalité precédante (juste au dessus)
    On trouve
    Soit
    soit

    Donc pas de solution !

  23. #22
    tuan

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    ...
    Voici l'énoncé :

    Déterminer tous les nombres complexes non réels tels que les points images , et forment un triangle dont le centre du cercle inscrit est l'origine O du repère.
    Salut,
    Je n'ai fait aucun calcul et par raisonnement je trouve z=exp(i.2pi/3)
    Truc: si l'argument de z est thêta, la différence d'arguments entre z et z2 d'une part ou entre z2 et z3 d'autre part est aussi thêta. De là on déduira que le triangle doit être au moins isocèle au sommet z2, ce qui n'est possible que si le module de z vaut 1 et ainsi de suite...
    PS: il est tard je n'ai pas bien vérifié tout mais je crois que c'est bon, il suffit de faire un dessin avec la solution proposée.

  24. #23
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Si alors et sont confondus je trouve d'après GeoGebra, à vérifier......


    En effet,
    PS. Je ne suis pas doué pour les dessins sur logiciels !
    Dernière modification par mx6 ; 30/03/2009 à 00h58.

  25. #24
    tuan

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Si alors et sont confondus je trouve d'après GeoGebra, à vérifier......


    En effet,
    PS. Je ne suis pas doué pour les dessins sur logiciels !
    Euh pardon, me trompe-je ?
    Je n'aime tjrs pas les radians avec les fractions qui brouillent quand on doit raisonner...
    si l'argument de z est 120°, celui de z2 est 240° et celui de z3 est 360° ou 0°. nan ?
    PS : ce n'est pas z4 que tu calcules ?
    Dernière modification par tuan ; 30/03/2009 à 01h04.

  26. #25
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Ah oui désolé !!! J'ai mis le carré au z² !
    Peux tu donner la démonstration complete ?

  27. #26
    tuan

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    je ne fais que rapidement un dessin symbolique.
    - les 2 angles en roses sont égaux à thêta
    - la bissectrice en B (z2) donne 2 angles égaux en jaune
    - les 2 angles en vert sont donc égaux et les restes des angles en rose également. Ca prouve que AE = CF
    Or on a déjà EB=FB
    Le triangle ABC est donc isocèle en B, avec OA (module de z) = OC (module de z3)
    Images attachées Images attachées  

  28. #27
    mx6

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Je vois bien que ta solution marche, mais comment tu l'as démontré ?

  29. #28
    tuan

    Re : Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

    Bien entendu, le conjugué est une autre solution z=exp(-i.2pi/3)
    (l'image est validée !)

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