Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

invite9a322bed · 29/03/2009, 14h38

Bonjour,

Afin de résoudre un exercice, j'ai besoin de trouver les coordonnées du centre du cercle inscrit. Mais je ne vois pas comment faire

Par exemple si j'ai $\text{[math]}$ c'est quoi les coordonnées du centre du cercle inscrit ?

Je sais que c'est l'intersection des bissectrices, mais je n'ai jamais su comment trouver l'équation de la bissectrice d'un angle formé par deux droites par exemple.....

invite57a1e779 · 29/03/2009, 14h50

Bonjour mx6,

Deux résultats pour t'aider :
– le couple des bissectrices de deux droites est l'ensemble des points équidistants des deux droites, d'où une équation de ce couple ;
– le centre du cercle inscrit à un triangle est le barycentre des trois sommets, chacun d'eux étant affecté comme coefficient de la longueur du côté opposé.

invite9a322bed · 29/03/2009, 16h48

Merci beaucoup God's Breath, je vais voir ce que je peux tirer de ces informations.

inviteb4d8c3b4 · 29/03/2009, 17h04

Ouaaa, moi je vois pas par où comencer ! Un coup de pouce svp ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 29/03/2009, 17h14

Envoyé par jeanmi66

Ouaaa, moi je vois pas par où comencer ! Un coup de pouce svp ?

Si les droites portant les deux côtés du triangle issus du sommet $\text{[math]}$ ont pour équations $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , le point $\text{[math]}$ est équidistant de ces deux droites si, et seulement si

$\text{[math]}$

c'est-à-dire

$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

qui sont deux équations de droites, l'une est la bissectrice intérieure de l'angle en $\text{[math]}$ , l'autre la bissectrice extérieure.

inviteb4d8c3b4 · 29/03/2009, 17h29

C'est bête mais je vois pas d'où ça vient. Je comprends bien l'histoire des équations, mais pourquoi on utilise les modules, et pourquoi seulement u et v (et u' et v') ?

Merci

inviteb4d8c3b4 · 29/03/2009, 17h32

Y a une histoire avec l'équation du cercle là-desous, mais je vois pas le lien !!!

invite57a1e779 · 29/03/2009, 17h43

Envoyé par jeanmi66

C'est bête mais je vois pas d'où ça vient. Je comprends bien l'histoire des équations, mais pourquoi on utilise les modules, et pourquoi seulement u et v (et u' et v') ?

C'est la formule de la distance du point $\text{[math]}$ de coordonnées $\text{[math]}$ à la droite $\text{[math]}$ d'équation $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

invite9a322bed · 29/03/2009, 17h55

God's Breath, ca fait bien une heure et demie que je me bats avec l'exo, enfin, j'ai utilisé les méthodes proposées, mais je me retrouve avec des racines de x et y partout, très durs à calculer !

Voici l'énoncé :

Déterminer tous les nombres complexes $\text{[math]}$ non réels tels que les points images $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ forment un triangle dont le centre du cercle inscrit est l'origine O du repère.

invite57a1e779 · 29/03/2009, 18h42

Envoyé par mx6

Déterminer tous les nombres complexes $\text{[math]}$ non réels tels que les points images $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ forment un triangle dont le centre du cercle inscrit est l'origine O du repère.

Évidemment, il faut envisager des méthodes par les complexes...

Si les points $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont pour affixes respectives $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , le vecteur $\text{[math]}$ a pour affixe $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est l'affixe d'un vecteur orthogonal à la droite $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ le projeté orthogonal de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , il est d'affixe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ réel.

Reste à déterminer $\text{[math]}$ en exprimant que $\text{[math]}$ est aligné avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , par exemple $\text{[math]}$ est réel, soit
$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$
c'est-à-dire $\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ .

Finalement $\text{[math]}$ .

Les projections orthogonales de $\text{[math]}$ sur les côtés du triangle dont les sommets ont pour affixes $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ (après avoir écrit quelques conditions pour que ces points soient distincts...) sont $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est le centre du cercle inscrit, ou de l'un des cercles exinscrits, si, et seulement si, $\text{[math]}$

Bon courage !!!

PS, il faut factoriser et simplifier les affixes : $\text{[math]}$ . Il y aura des facteurs communs dans l'expression des $\text{[math]}$ .

J'espère qu'il y a plus simple...

invite9a322bed · 29/03/2009, 20h02

Merci God's Breath pour le fil ! Encore des calculs à faire; mais beaucoup moin que la méthodé envisagé au depart

invite2220c077 · 29/03/2009, 20h39

Salut,

Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ trois points du plan complexe. Alors l'affixe du centre du cercle inscrit au triangle ABC est : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement les longueurs BC, AC et AB.

invite9a322bed · 29/03/2009, 20h48

En effet, Zweig, God's Breath l'a dit dans son premier post, ce que t'as écris, c'est bien le barycentre des sommets pondorés avec les longuers des cotés opposés.
Mais cette voie aussi, est très lamentable, j'ai fais 3 pages de calculs avec et en vain y a des racines, des puissances jusqu'à 6, complétement horrible.

invite57a1e779 · 29/03/2009, 21h08

Bonsoir mx6,

Ce que dit Zweig, qui a plus réfléchi que moi, fonctionne très bien.

L'affixe du centre du cercle inscrit est
$\text{[math]}$
et oncherche donc les nombres $\text{[math]}$ tels que
$\text{[math]}$ .

Or
$\text{[math]}$

On élimine $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , c'est-à-dire $\text{[math]}$ , car alors $\text{[math]}$ , et on n'a pas de « vrai » triangle.

Reste donc $\text{[math]}$ .

Mézalor $\text{[math]}$ est réel négatif, donc $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont alignés sur l'axe réel : on n'a toujours pas de « vrai » triangle.

Aucun nombre $\text{[math]}$ ne convient.

invite2220c077 · 29/03/2009, 21h11

J'ai trouvé pareil

invite2220c077 · 29/03/2009, 21h23

Sinon, pour ta culture mx6 : les coordonnées du centre de gravité est (a+b+c)/3, celui de l'orthocentre ((tan A)*a + (tan B)*b + (tan C)*c)/(tan A + tan B + tan C) (toujours dans le plan complexe).

invite9a322bed · 29/03/2009, 21h25

J'avais commencé pareil mais j'ai remplacé $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$

Mais j'ai un petit souci je ne comprend pas ça (j'ai honte

)
$\text{[math]}$

.....

Sinon bravo pour la démo

invite57a1e779 · 29/03/2009, 21h36

Quelle horreur, j'ai oublié les modules, donc toute la fin de mon truc est fausse...

On a en fait :

$\text{[math]}$

et la condition est $\text{[math]}$ , qui est beaucoup moins simple que ce que j'envisageais.

Je pense qu'en écrivant $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on doit pouvoir conclure assez facilement.

invite2220c077 · 29/03/2009, 22h06

Enorme, j'ai fait exactement la même erreur que toi ...

Bon, pour résoudre cette équation, j'ai sorti l'artillerie lourde : j'ai posé $\text{[math]}$ , ce qui nous ramène à résoudre l'équation dans $\text{[math]}$ de :

$\text{[math]}$

Par identification de complexes, on doit résoudre en fait :

$\text{[math]}$

ou encore

$\text{[math]}$

Ce qui nous donne d'une part $\text{[math]}$ . Le deuxième facteur se réécrit quant à lui $\text{[math]}$

Ainsi, en considérant cette équation d'inconnue $\text{[math]}$ et de paramètre $\text{[math]}$ , on obtient les solutions $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ainsi les complexes solutions, en enlevant ceux qui donnent des triangles aplatis, sont : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$

invite9a322bed · 29/03/2009, 22h07

Je crois que j'ai pu conclure :
Si $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ (à vérifier svp!)

Alors on posant mon équation et en factorisant par $\text{[math]}$ je trouve :
$\text{[math]}$
Ce qui est impossible !

invite9a322bed · 29/03/2009, 22h25

Excusez moi !
Ma conclusion est fausse !!!!!

On conclure que $\text{[math]}$ est un réel positif !
Donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

En remplaçant dans mon égalité precédante (juste au dessus)
On trouve $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$

Donc pas de solution !

invitea84d96f1 · 30/03/2009, 00h33

Envoyé par mx6

...
Voici l'énoncé :

Déterminer tous les nombres complexes $\text{[math]}$ non réels tels que les points images $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ forment un triangle dont le centre du cercle inscrit est l'origine O du repère.

Salut,
Je n'ai fait aucun calcul et par raisonnement je trouve z=exp(i.2pi/3)
Truc: si l'argument de z est thêta, la différence d'arguments entre z et z² d'une part ou entre z² et z³ d'autre part est aussi thêta. De là on déduira que le triangle doit être au moins isocèle au sommet z², ce qui n'est possible que si le module de z vaut 1 et ainsi de suite...
PS: il est tard je n'ai pas bien vérifié tout mais je crois que c'est bon, il suffit de faire un dessin avec la solution proposée.

invite9a322bed · 30/03/2009, 00h53

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont confondus je trouve d'après GeoGebra, à vérifier......

En effet, $\text{[math]}$
PS. Je ne suis pas doué pour les dessins sur logiciels !

invitea84d96f1 · 30/03/2009, 01h01

Envoyé par mx6

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont confondus je trouve d'après GeoGebra, à vérifier......

En effet, $\text{[math]}$
PS. Je ne suis pas doué pour les dessins sur logiciels !

Euh pardon, me trompe-je ?
Je n'aime tjrs pas les radians avec les fractions qui brouillent quand on doit raisonner...
si l'argument de z est 120°, celui de z² est 240° et celui de z³ est 360° ou 0°. nan ?
PS : ce n'est pas z4 que tu calcules ?

invite9a322bed · 30/03/2009, 01h03

Ah oui désolé !!! J'ai mis le carré au z² !
Peux tu donner la démonstration complete ?

invitea84d96f1 · 30/03/2009, 01h21

je ne fais que rapidement un dessin symbolique.
- les 2 angles en roses sont égaux à thêta
- la bissectrice en B (z²) donne 2 angles égaux en jaune
- les 2 angles en vert sont donc égaux et les restes des angles en rose également. Ca prouve que AE = CF
Or on a déjà EB=FB
Le triangle ABC est donc isocèle en B, avec OA (module de z) = OC (module de z³)

invite9a322bed · 30/03/2009, 01h23

Je vois bien que ta solution marche, mais comment tu l'as démontré ?

invitea84d96f1 · 30/03/2009, 09h16

Bien entendu, le conjugué est une autre solution z=exp(-i.2pi/3)
(l'image est validée !)

Cordonnées centre cercle inscrit à un triangle

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