Bonjour j'ai été amené à étudier le signe de la dérivée
(2((ln2)^2) exp(x+1) x - 2^(x+1))/x^2
Je dois avouer que ça me laisse un peu perplexe... si je pouvais avoir un peu d'aide ce serait sympa.
Je précise que ma fonction de départ était (2^(x+1))/x
Bonjour,
J'ai bien l'impression que ta dérivée n'est pas correcte, tu devrais trouver :
Ce qui devrai te laisser moins perplexe
ah en effet erreur idiote! merci beaucoup.
Par ailleurs pourrait-on me dire si le raisonnement suivant est correct:
La question est : montrer que pour tout n>=0, 2^(n+1)-1 >= n+1
Ma réponse :
On est amené à étudier le signe de 2^(n+1)-n-2, soit:
n((2^(n+1)/n)-1-2/n)
n>=0 donc étudier le signe de n((2^(n+1)/n)-1-2/n) revient à étudier l'inéquation (2^(n+1)-2)/n >=1
comme n>=0 on a : 2^(n+1)/(n+2) >=1
étudions la fonction f définie par f(x)= 2^(x+1)/(x+2) sur les positifs:
f '(x)= (2^(x+1)/(x+2)) '
f '(x)= ((x+2) ln2 2^(x+1) - 2^(x+1))/ (x+2)^2
(voir ci-dessus)
f ' strictement positive donc f est strictement croissante
de plus f(0)= 1 donc f(x) >= 1 sur les positifs
On en déduit donc que (2^(n+1) - 2)/ n >=1
par conséquent 2^(n+1) - 1 >= n+1
Voila j'espère que c'est pas trop "fouillis" mais j'aimerais qu'on me corrige cette question, d'avance merci.
c'était surtout pour savoi si il n'y avait pas plus rapide mais bon...
J'ai trouvé plus simple avec l'inégalité de Bernouilli:
(1+x)^n > 1+nx pour tout n>=2
merci à ceux qui auront cherché...
