Bonjour a tous
Je vous poste ici un exercice que j'ai assez bien réussi sauf la derniere partie, qui me pose probleme, si quelqu'un passant par ici pouvait m'aider sur les pistes a suivre, merci d'avance
Mon exo :
A,B et C sont trois points non alignés tels que
AB=AC=5cm et BC=6cm
On note A' le milieu de [BC]
1.a) Construire une figure
b) Calculer cos A puis montrer que AB.AC = 7
2. G représente le barycentre de (A,2)(B,3)(C,3)
a) Définir G et le construire
b) Calculer GA et GB
3. f est l'application qui a tout point M du plan associe le réel f(M)=A'M.BC ( ce sont des vecteurs le . est un scalaire )
Quel est l'ensemble des points tels que f(M) = k?
4. g est l'application qui a tout point M du plan associe le réel g(M) = 2MB.MC+MC.MA+MA.MB
a) Démontrer que pour point M, g(M) = g(G)+4MG²
b)Calculer g(A) et g(G)
c) Quel est l'ensemble des points M tels que g(M) = g(A)
Et voici mes réponses :
1.a) Donc c'est un triangle isocèle en A, avec AA' hauteur et médiatrice issue de A
b) J'utilise Al Kashi:
BC²=AC²+AB² -2ACxBCxcosÂ
36=25+25-2x25xcosÂ
cosÂ=-14/-50 = 14/50
AB.AC = ABxACxcosÂ
= 25x 14/50 = 7
2.a) Je dis que A' est le mileu de BC et donc le barycentre de (B,3)(C,3) qui ont le meme poids. Puis je dis que G est le barycentre de (A,2)(A',b+c) donc de (A,2)(A',6)
AG= a' / (a+a') AA' (en vecteurs)
= (6/8)AA'
b)Je dis que dans ce triangle, [AA'] est perpendiculaire a [BC]
Donc, AC² = AA'²+CA'²
AA' = √(AC²+CA'²)
=√16 = 4
Puis comme dit dans le a) AG=(6/8)AA'
Donc AG= AA' x 6/8 = 3
On cherche ensuite BG
A'G=A'A-AG=4-3=1
On utilise ensuite Pythagore,
BG² = A'G²+BA'²
BG= √1²+3²
= √10
3. f(M) = A'M.BC
Si k = 0 , l'ensemble des points tel que f(M)=k est la droite perpendiculaire a [BC] passant par A' et par conséquent la médiatrice et hauteur issue de A
Si k est différent de 0, l'ensemble des points pour f(M) = k sera un droite passant par A' mais non perpendiculaire a [BC]
4.a) g(M) = 2MB.MC+MC.MA+MA.MB
= 2(MG+GB).(MG+GC)+(MG+GC).(MG.G A)+(MG+GA).(MG+GB)
= 2MG²+2MG.GC+2GB.MG+2GB.GC+MG²+ MG.GA +GC.MG+ GC.GA+MG²+MG.GB+MG.GA+GA.GB
=4MG²+2GB.GC+GC.GA+GA.GB+MG.(2 GA+3GB+3GC)
=4MG² + g(G)
2GA+3GB+3GC =0 puisque G barycentre de (A,2)(B,3)(C,3)
b) g(A) = 2AB.AC + AC.AA' + AA.AB
= 2 x 7 + 0 + 0
= 14
g(G) = 2GB.GC+GC.GA+GA.GB
Et la je bloque
Donc pouvez vous m'aidez et me dire si ce que j'ai fait jusqu'a maintenant est juste? ^^
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