Limite de suite

[invitebb2c02e8]

Bonjour à tous !

J'ai une question dans un DM de maths que je n'arrive pas à résoudre. Cela fait quelques jours que je suis dessus maintenant et mon cerveau n'a toujours pas fait tilt -_-

Je vous livre la question :

Soit (Un), la suite définie par Un=(2+sin(racine n))/n pour tout entier n sup ou égal à 1.

a) Démontrer que, pour tout entier n sup ou égal à 1 ;

0 inf ou égal à (Un) inf ou égal à 3/n

b) En déduire que la suite (Un) est convergente et préciser sa limite ==> cella là je pense que c'est en utilisant le théorème des gendarmes que j'y arriverais... Je ne m'y suis pas encore penché.


C'est pour partir que j'ai le plus de mal pour le a). On commence comment ? Avec un encadrement ?
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Avec un encadrement ?

Oui.

[invitebb2c02e8]

J'ai déjà essayé une bonne dizaine de fois, et je n'y arrive pas -_- On part de quel encadrement ?

[Flyingsquirrel]

On part de quel encadrement ?

Celui du sinus : il est borné par -1 et 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb2c02e8]

Avec celui du sinus ? Oo On dit pourtant que n sup ou égal à 1... On peut donc pas prendre cet encadrement-là, non ?

[invite34b13e1b]

pourquoi pas?
pour tout réel, et en particulier pour tout entier positif (c'est ce qui nous interesse ici):
-1<=sin(sqrt(n))<=1
et après tu continues ton encadrement:
2+-1<=2+sin(sqrt(n))<=1+2
...

En fait, n>=1 est important pour la ligne qui suit (et je te laisse le soin de la rédiger!!)

[invitebb2c02e8]

Ah tu mets directement l'encadrement avec la racine de n dans le sinus ? J'avais commencé juste avec le sinus et donc après la racine de -1 me bloquait tout x)

Et pourrais-tu juste m'expliquer ta remarque concernant n sup ou égal à 1 ?

[invite6e71eaf9]

désolé je passais par là ...
n>=1
tu as 2+-1<=2+sin(sqrt(n))<=1+2
Un=(2+sin(racine n))/n
donc en divisant par n tu ne change pas le sens de l'inéquation...

[invitebb2c02e8]

Ah exact ! Merci beaucoup =D

J'ai encore un léger soucis. A gauche, l'encadrement est 1... On divise donc par n, ça fait donc 1/n et non pas 0... Ou alors j'ai rien compris, ce qui ne m'étonnerait pas u_u

[invite6e71eaf9]

1/n>=0 puisque n>=1
...

[invitebb2c02e8]

mmmmmh logique. -_- Merci d'avoir utilisé de ton temps pour moi ^^

[invite6e71eaf9]

je suis pas loin si t'as encore des questions