[TS+] Majoration de suites

[Thorin]

au fait -Zweig- tu es en Terminale S? parce que ce genre d'exos n'est pas du tout du programme de terminale ni du programme de sup d'ailleur. Je trouve qu'il s'agit plutot d'un exo de spé difficile...

exo de spé, si on veut, mais ça peut être introduit dès la sup' dans le chapitre des suites ou des DES...et surtout, c'est pas un exo de spé difficile...
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[Seirios]

Oui, factorise d'abord par au dénominateur puis "enlève" le de la somme de droite comme ce n'est que qui varie.

On veut donc dans un premier temps calculer



Maintenant (et tu devras le réutiliser par la suite), utilise le fait que si tu as un nombre de la forme , alors il existe des réels et tels que

Je te laisse continuer.

J'étais arrivé jusqu'ici, et j'avais également eu l'idée de la décomposition en éléments simples, mais je l'ai abandonnée parce que je n'ai pas réussi à trouver de décomposition qui fonctionne...Un petit indice ?

[invitef1b93a42]

Je trouve que . Après je ne vois pas trop.

[invite2220c077]

La bonne forme à utiliser est la suivante (enfin comme j'ai fait en tout cas) :



Après tu fais sortir le et tu continues ...

[mx6]

Voici une chaude aussi :

Calculer la limite de la suite définie pour par :

[invitef1b93a42]

 Cliquez pour afficher

.

Concernant la double somme, je suis bloqué Zweig , voilà ce que je trouve : avec qu'on fait tendre vers l'infini.

[Thorin]

t'as pas l'impression que le deuxième terme tend vers 0 ?

[invitef1b93a42]

Oui il tend effectivement vers 0 Mais je reste encore bloqué malheureusement, ça doit être la fatigue

[mx6]

Oui Equinoxx, c'est bien ça, tu peux poster la démo ? car ce n'est pas si triviale que ca a l'air.....

[invitef1b93a42]

Alors, pour mx6

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Or, d'où . En faisant le DL de , on a : ainsi et donc . Ainsi,

[invitef1b93a42]

Je demande juste un peu d'aide à Zweig concernant la double somme parce que je bloque un peu là... Et je suis intéressé de voir la méthode que tu as employé mx6 pour trouver la limite de la suite sans développement limité.

[Universus]

Pour la limite de la suite, voici ce que j'ai fait (ce n'est pas tout à fait rigoureux, étant donné que je ne voulais pas mentionner à chaque fois pourquoi il est légitime de faire certaines opérations en vertu de la continuité des fonctions traitées. J'ai à la place passer par une limite à deux variables sans savoir s'il est rigoureux de faire ça, mais l'idée est là) :

 Cliquez pour afficher

[mx6]

Pour Equinoxx (solution niveau TS) :

Attention ça manque de rigueur sinon ca va prendre une page ^^

On a

Posons pour ,

Il est clair que la limite de est .

De plus,

On sait que limite de est et que limite en 0 de , on déduit que limite en l'infini de :

D'autre part :

Or lim de est , on déduit par composition que :

limite en l'infinie de

Donc lim de soit : lim de

[mx6]

Une autre pour ce magnifique matin ensoleillé !

Déterminer la limite en l'infini de :

[invite652ff6ae]

J'en ai une pas mal.

[invited63d3707]

mx6 pour ta suite je dirais 4/e (merci strirling!!!) et pour SoaD25 je dirais 1/e (encore merci stirling)

[Seirios]

Je demande juste un peu d'aide à Zweig concernant la double somme parce que je bloque un peu là...

Je pense que pour continuer, tu dois utiliser une seconde fois une décomposition en élément simple : . Personnellement, je trouve 23/16...Voici ce que j'ai fait, une petite erreur a dû se glisser dans mes calculs :

 Cliquez pour afficher

, puis avec une décomposition en éléments simples comme indiqué ci-dessus : ...

[mx6]

Je ne connais pas ces formules de Striling, j'ai utilisé une somme de Riemann

[invited63d3707]

-phys 2 apres ta decomposition en element simple t'es obligé de faire un changement de variable de n, mais je pense que tu as du oublié que le n intervenait egalement dans la 2eme somme...

-mx6 stirling te donne un equivalent de n! en +infini avec n! ~ [(n/e)^n]*rac(2*Pi*n)
~ signifie equivalent (en +infini)

[Seirios]

-phys 2 apres ta decomposition en element simple t'es obligé de faire un changement de variable de n, mais je pense que tu as du oublié que le n intervenait egalement dans la 2eme somme...

Je ne vois pas très bien ce que tu veux dire ; où devrait intervenir un tel changement de variable ?

[invited63d3707]

ta decomposition en element simple sert a avoir 2 somme avec un signe -. Ensuite tu fait un chanchement de variable dans l'une(N->n+2) pour avoir des sommes telescopiques. cependant il ne faut pas oublier (lorque tu fais ce changement) qu'il faut changer le n+2 en haut de la seconde somme. Le resultat n'est alors pas immediat il te reste encore une somme infini a laquelle tu doit faire un nouveau changement de variable...

[invited63d3707]

y'en a une qui est amusante pour ceux qui veulent:

limite en +infini de [(4^n)(n!)²]/[(2n)!*rac(n)]

p.s le carré n'est que sur le (n!)

[Romain-des-Bois]

y'en a une qui est amusante pour ceux qui veulent:

limite en de

Et si on pose pour .
Vous connaissez la limite de ?

[invited63d3707]

oui c'est Pi^4/90 (j'en ai pas eu besoin)

[Romain-des-Bois]

oui c'est Pi^4/90 (j'en ai pas eu besoin)

Tu n'en as pas eu besoin ?

(et le spoiler ?!)

[mx6]

Je voudrais bien que vous postiez vos démonstrations, Maple sait faire tout ça

[Romain-des-Bois]

Pour la somme des inverses des carrés, il y a un certain nombre de méthodes (plus ou moins classiques), dont ma préférée avec les séries de Fourier. Mais en TS...

La somme des inverses des carrés des carrés se détermine aussi avec les séries de Fourier.

[invited63d3707]

n!~ (n/e)^n*rac(2*Pi*n)
donc 2n!~(2n/e)^2n*rac(4*Pi*n)
donc 2n!/n!~rac(2)*[4n/e]^n
donc Un~(4/e)*2^(1/2n)

donc Un tend vers 4/e

[invite2220c077]

Pour la somme des inverses des carrés, il y a un certain nombre de méthodes (plus ou moins classiques), dont ma préférée avec les séries de Fourier. Mais en TS...

La somme des inverses des carrés des carrés se détermine aussi avec les séries de Fourier.

Pour une méthode élémentaire de niveau T°S, voir mon PDF page 5 : http://www.uniontvdfrance.com/images...Enement_cg.pdf

[mx6]

Pour une méthode élémentaire de niveau T°S, voir mon PDF page 5 : http://www.uniontvdfrance.com/images...Enement_cg.pdf

Oui mais cette méthode pour prouver qu'elle est majorée par 2, pour trouver que c'est par Pi²/6 faut faire tout l'exercice :d