[TS+] Majoration de suites

[invite9a322bed]

Voici de bons exos pour majorations de suites, je les proposes aux TS et pour les gens en sup :

Majorer les suites suivantes :

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Si vous avez d'autres, n'hésitez pas à poster !
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[invite2220c077]

Faut déterminer la limite ?

[invite9a322bed]

Si tu veux, déterminer la limite c'est aussi prouver qu'elle est majorée ou minorée. (sauf erreur la plupart de ces suites sont majorées)

[invitef1b93a42]

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, .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

C'est inégalité stricte

[invite2220c077]

La 2) c'est connu, la limite est e

Pour la 3), on montre facilement par récurrence pour tout , d'où

[Seirios]

Majorer les suites suivantes :

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Résultats très classiques :

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Puisqu'une suite convergente est une suite bornée, il suffit de montrer que les deux suites admettent une limite : et .

[invited63d3707]

pour la premiere tu fais une comparaison série integrale

tu prend t compris entre n et n+1 donc 1/(n+1)²<1/t²<1/n²

ensuite en integrant par rapport a t tu trouve que Un est majorée par 2

[invited63d3707]

phys 2 tu as inversé c'est le contraire, ça se demontre immediatement si tu admet le devellopement en serie entiere de x-> exp(x)

[inviteaeeb6d8b]

@ Phys2 :

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C'est mieux comme ça

[invite2220c077]

Phy2 > Oui "il suffit" ... Sauf que c'est loin d'être simple à trouver (avec des outils de T°S), enfin, quand on ne connait pas la solution.

Pour montrer que le 1) est majoré par 2, on utilise simplement le fait que pour tout naturel ,

[invited63d3707]

c'est pas plus simple en plus il faut savoir developper en element simple ce qui n'est pas au programme de T°S

[Seirios]

@ Phys2 :

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C'est mieux comme ça

Je ne comprends pas la différence ; n'a-t-on pas de manière générale ?

Phy2 > Oui "il suffit" ... Sauf que c'est loin d'être simple à trouver (avec des outils de T°S), enfin, quand on ne connait pas la solution.

Tout à fait.

[inviteaeeb6d8b]

Je ne comprends pas la différence ; n'a-t-on pas de manière générale ?

Et bien si, les écritures ou encore ne sont que des notations pour ...

mais ce n'était pas ça que je mettais en avant

[invite2220c077]

niclemad > Bah pas besoin de les avoir vus pour "voir" que

[invited63d3707]

La majoration par Pi²/6 est la meilleure cependant elle est difficile a obtenir et a demontrer (par les series de fourrier je crois que ca se fait). Je pense que les majoration servent ici a demontrer la convergence quoique dans ce genre de series on ne demontre que tres(tres tres) rarement la convergence par majoration du signe somme.

[invitef1b93a42]

Pour la suite 4) , , doit-on lire ou ?

[invite55dcb7a8]

pour n > 1

(je vais essayer de le prouver dans le prochain post)

Donc (un) est décroissante et minorée par 0 bien entendu, elle est donc convergente

[Seirios]

Et bien si, les écritures ou encore ne sont que des notations pour ...

mais ce n'était pas ça que je mettais en avant

Effectivement, je n'avais pas fait attention que j'avais inversé mes deux expressions

[invitec317278e]

.............

[invite9a322bed]

Re,

Essayez de les résoudre avec des moyens de TS, perso j'ai tout fait avec mes acquis de cette année.

Pour la 4) c'est bien (ln(n))^n

[invite2220c077]

A mon tour :

Calculer :

[invited63d3707]

je trouve 13/8 est-ce ca? (le calcul serait vraiment trop long a ecrire)

[invitef1b93a42]

Aurais-tu un indice à fournir Zweig ? Je vois pas trop comment commencer mis à part factoriser sans rien réelement changer...

[invited63d3707]

je l'ai refais est en fait c'est 7/4
tu considére une série avec une seule somme (celle de gauche) la somme de droite etant une suite Un.
il faut d'abord demontrer que les terme de la suite Un existe pour cela tu considére un seul signe somme( celui de droite) avec un n fixée et tu calcule les termes de cette suite.
Une fois que tu as une expression de Un ca se fait

[invite2220c077]

C'est bien 7/4 en effet.

Equinoxx > Oui, factorise d'abord par au dénominateur puis "enlève" le de la somme de droite comme ce n'est que qui varie.

On veut donc dans un premier temps calculer



Maintenant (et tu devras le réutiliser par la suite), utilise le fait que si tu as un nombre de la forme , alors il existe des réels et tels que

Je te laisse continuer.

[invited63d3707]

au fait -Zweig- tu es en Terminale S? parce que ce genre d'exos n'est pas du tout du programme de terminale ni du programme de sup d'ailleur. Je trouve qu'il s'agit plutot d'un exo de spé difficile.....

[invite2220c077]

Oui je suis en Terminale S. Je sais bien que ce genre d'exercices n'est pas au programme de T°S mais comme tu as pu le remarquer quand tu l'as résolu, cet exercice ne demande aucune connaissance qui ne dépasse la Première (bien sûr, il faut avoir l'idée de décomposer la fraction, c'est pourquoi je lui ai donné un coup de pouce, comme ce n'est pas quelque chose de très naturel disons), donc c'est pour ça que je l'ai quand même proposé.

[invited63d3707]

non je ne suis pas daccord la decomposition en element simple n'est par êxemple pas au programme de T°S mais encore ca c'est trouvable. Par contre les convergence de somme infini qui serve a pouvoir (avoir le droit) de separer en deux la somme ou seulement travailler deçu ne sont pas faisable en Tle. Apres j'immagine que pour le faire tu n'as pas du considerer ces details(qui sont malgre tout tres important). Mais tu as du obligatoirement ecrire des choses comme : "somme de n=1 a l'infini de 1/n" qui sont mathématiquement pas concevable car divergent.

[invite2220c077]

Oui, je n'ai pas considéré ces détails car ils me paraissaient évidents ... Par contre, pour la décomposition en éléments simples, je ne suis pas d'accord. On voit ça en Première, pour déterminer les asymptotes obliques à une fonction. On le revoit aussi en T°S pour calculer certaines intégrales.